线性代数第一章行列式课件.ppt

线性代数第一章行列式现在学习的是第1页，共109页现在学习的是第2页，共109页同济大学数学系同济大学数学系.线性代数线性代数M.第第六版六版.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2014.现在学习的是第3页，共109页课程简介：课程简介：“线性代数线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内容主要是一门本科阶段必修的主干课程，课程内容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方程组中的应包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方程组中的应用。用。通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性代数的基通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业学习打下良好的数本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力、空间想象能力、综合运用学基础。另一方面培养学生抽象思维能力、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问题的能力。所学的知识来分析和解决实际问题的能力。现在学习的是第4页，共109页现在学习的是第5页，共109页第一章第一章行列式行列式n内容提要内容提要1 二二阶与三与三阶行列式行列式2 全排列和全排列和对换3 n 阶行列式的定行列式的定义4 行列式的性行列式的性质5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 行列式的概念行列式的概念.行列式的行列式的计算算.现在学习的是第6页，共109页在以往的学在以往的学习中，我中，我们接触接触过二元、二元、三元等三元等简单的的线性方程性方程组.但是，从但是，从许多多实践或理践或理论问题里里导出的出的线性方程性方程组常常含有相当多的常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等的个数也不一定相等.现在学习的是第7页，共109页我我们先先讨论未知量的个数与方程的个数未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形相等的特殊情形.在在讨论这一一类线性方程性方程组时，我，我们引引入行列式入行列式这个个计算工具算工具.现在学习的是第8页，共109页1 二二阶与三与三阶行列式行列式我我们从最从最简单的二元的二元线性方程性方程组出出发，探，探求其求解公式，并求其求解公式，并设法化法化简此公式此公式.现在学习的是第9页，共109页一、二元一、二元线性方程性方程组与二与二阶行列式行列式二元二元线性方程性方程组 由消元法，得由消元法，得当当时，该方程方程组有唯一解有唯一解 现在学习的是第10页，共109页求解公式求解公式为二元二元线性方程性方程组 请观察，此公式有何特点？察，此公式有何特点？分母相同，由方程分母相同，由方程组的四个系数确定的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两分子、分母都是四个数分成两对相乘再相乘再 相减而得相减而得.现在学习的是第11页，共109页其求解公式其求解公式为二元二元线性方程性方程组 我我们引引进新的符号来表示新的符号来表示“四个数分四个数分成两成两对相乘再相减相乘再相减”.记号号 数表数表 表达式表达式称称为由由该数表所确定的数表所确定的二二阶行列式行列式，即，即其中，其中，称称为元素元素.i 为行行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为列列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列.原原则：横行：横行竖列列现在学习的是第12页，共109页二二阶行列式的行列式的计算算 主主对角角线 副副对角角线 即：主即：主对角角线上两元素之上两元素之积副副对角角线上两元素之上两元素之积 对角角线法法则 现在学习的是第13页，共109页二元二元线性方程性方程组 若令若令(方程方程组的系数行列式的系数行列式)则上述二元上述二元线性方程性方程组的解可表示的解可表示为现在学习的是第14页，共109页例例1 求解二元求解二元线性方程性方程组解解 因因为 所以所以 现在学习的是第15页，共109页二、三二、三阶行列式行列式定定义 设有有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原原则：横行：横行竖列列引引进记号号称称为三三阶行列式行列式.主主对角角线 副副对角角线 二二阶行列式的行列式的对角角线法法则并并不适用！不适用！现在学习的是第16页，共109页三三阶行列式的行列式的计算算 对角角线法法则 注意：注意：对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式.实线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠正号，冠正号，虚虚线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠冠负号号.现在学习的是第17页，共109页例例2 计算行列式算行列式解解按按对角角线法法则，有，有现在学习的是第18页，共109页方程左端方程左端解解由由 得得例例3 求解方程求解方程 现在学习的是第19页，共109页练习1：利用利用对角角线法法则计算下列三算下列三阶行列式：行列式：现在学习的是第20页，共109页2 全排列及其全排列及其对换主要内容：主要内容：一、排列及其逆序数一、排列及其逆序数二、二、对换的定的定义三、三、对换与排列奇偶性的关系与排列奇偶性的关系现在学习的是第21页，共109页引例引例用用1、2、3三个数字，可以三个数字，可以组成多少个没有重成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位1232种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有一、排列及其逆序数一、排列及其逆序数现在学习的是第22页，共109页问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的个元素的全排列全排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.显然然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n!种不同的排法种不同的排法.现在学习的是第23页，共109页所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数数排排在小的数之前在小的数之前.因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺序序”，而而是是“逆序逆序”.3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3!=6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321现在学习的是第24页，共109页对于于n 个不同的元素，可个不同的元素，可规定各元素之定各元素之间的的标准次序准次序.n 个不同的自然数，个不同的自然数，规定从小到大定从小到大为标准次序准次序.定定义 当某两个元素的先后次序与当某两个元素的先后次序与标准次序不同准次序不同时，就称就称这两个元素两个元素组成一个成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考思考题：还能找到其它逆序能找到其它逆序吗？答：答：3和和1，2和和1也构成逆序也构成逆序.25现在学习的是第25页，共109页定定义 排列中所有逆序的排列中所有逆序的总数称数称为此排列的此排列的逆序数逆序数.排列排列的逆序数通常的逆序数通常记为.奇排列：奇排列：逆序数逆序数为奇数的排列奇数的排列.偶排列：偶排列：逆序数逆序数为偶数的排列偶数的排列.思考思考题：符合符合标准次序的排列是奇排列准次序的排列是奇排列还是偶排列？是偶排列？答：答：符合符合标准次序的排列（例如：准次序的排列（例如：123）的逆序数等于）的逆序数等于零，因而是偶排列零，因而是偶排列.现在学习的是第26页，共109页计算排列的逆序数的方法算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数此排列的逆序数为设 是是 1,2,n 这n 个自然数的任一排列，并个自然数的任一排列，并规定由定由小到大小到大为标准次序准次序.先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，前面，记为 ;现在学习的是第27页，共109页例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：练习1：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.解：解：思考思考1：设n阶排列排列a1 a2 an-1 an的逆序数的逆序数为k，求，求n阶排列排列an an-1 a2 a1的逆序数？的逆序数？解：解：现在学习的是第28页，共109页练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性现在学习的是第29页，共109页二、二、对换的定的定义定定义 在排列中，将任意两个元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不，其余的元素不动，这种作出新排列的手种作出新排列的手续叫做叫做对换将相将相邻两个元素两个元素对换，叫做，叫做相相邻对换例如例如 现在学习的是第30页，共109页备注注1.1.相相邻对换是是对换的特殊情形的特殊情形.2.2.一般的一般的对换可以通可以通过一系列的相一系列的相邻对换来来实现.3.3.如果如果连续施行两次相同的施行两次相同的对换，那么排列就，那么排列就还原了原了.m 次相次相邻对换 m+1次相次相邻对换 m 次相次相邻对换 m+1次相次相邻对换 现在学习的是第31页，共109页三、三、对换与排列奇偶性的关系与排列奇偶性的关系定理定理1对换改改变排列的奇偶性排列的奇偶性.证明明先考先考虑相相邻对换的情形的情形现在学习的是第32页，共109页注意到除注意到除外，其它元素的逆序数不改外，其它元素的逆序数不改变.现在学习的是第33页，共109页当当时，.当当时，.因此相因此相邻对换改改变排列的奇偶性排列的奇偶性.现在学习的是第34页，共109页既然相既然相邻对换改改变排列的奇偶性，那么排列的奇偶性，那么2m+1次相次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改，排列的奇偶性改变.推推论 奇排列奇排列变成成标准排列的准排列的对换次数次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成成标准排列的准排列的对换次数次数为偶数偶数.由定理由定理1知，知，对换的次数就是排列奇偶性的的次数就是排列奇偶性的变化次数，而化次数，而标准排列是偶排列准排列是偶排列(逆序数逆序数为零零)，因此可知推，因此可知推论成立成立.证明明 现在学习的是第35页，共109页现在学习的是第36页，共109页现在学习的是第37页，共109页例例1 试判断判断和和是否都是六是否都是六阶行列式中的行列式中的项.解解下下标的逆序数的逆序数为所以所以 是六是六阶行列式中的行列式中的项.行行标和列和列标的逆序数之和的逆序数之和所以所以 不是六不是六阶行列式中的行列式中的项.现在学习的是第42页，共109页例例2 用行列式的定用行列式的定义计算算 现在学习的是第43页，共109页解解现在学习的是第44页，共109页1.对换改改变排列奇偶性排列奇偶性2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小三、小结现在学习的是第45页，共109页1.3 n 阶行列式的定行列式的定义第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开现在学习的是第46页，共109页一、概念的引入一、概念的引入规律：律：1.1.三三阶行列式共有行列式共有6项，即，即3!项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成（正（正负号除外），其中号除外），其中是是1、2、3的某个排列的某个排列.4.4.当当是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号；当当是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号.现在学习的是第47页，共109页所以，三所以，三阶行列式可以写成行列式可以写成其中其中表示表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和.二二阶行列式有行列式有类似似规律律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形.现在学习的是第48页，共109页二、二、n 阶行列式的定行列式的定义1.n 阶行列式共有行列式共有 n!项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成（正（正负号除外），其中号除外），其中是是1,2,n 的某个排列的某个排列.4.4.当当是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号；当当是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号.简记作作，其中其中为行列式行列式D的的(i,j)元元现在学习的是第49页，共109页思考思考题：成立成立吗？答：答：符号符号可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成若理解成绝对值，则；若理解成一若理解成一阶行列式，行列式，则.注意：注意：当当n=1时，一，一阶行列式行列式|a|=a，注意不要与，注意不要与绝对值的的记号相混淆号相混淆.例如：一例如：一阶行列式行列式 .现在学习的是第50页，共109页例：例：写出四写出四阶行列式中含有因子行列式中含有因子的的项.例：例：计算行列式算行列式解：解：和和现在学习的是第51页，共109页解：解：其中其中 现在学习的是第52页，共109页现在学习的是第53页，共109页四个四个结论：(1)对角行列式角行列式(2)现在学习的是第54页，共109页(3)上三角形行列式上三角形行列式（主（主对角角线下下侧元素都元素都为0）(4)下三角形行列式下三角形行列式（主（主对角角线上上侧元素都元素都为0）现在学习的是第55页，共109页思考思考题：用定用定义计算行列式算行列式解：用解：用树图分析分析-1-11 13 33 31 12 23 3-1-1-2-2-2-2-1-1故故1130230021011210-=D现在学习的是第56页，共109页思考思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数.现在学习的是第57页，共109页故故 的系数的系数为1.解解含含的的项有两有两项，即，即对应于于现在学习的是第58页，共109页三、三、n 阶行列式定行列式定义的的进一步一步讨论因因为数的乘法是可以交数的乘法是可以交换的，的，所以所以 n 个元素相乘的次序是可以任个元素相乘的次序是可以任意的，即意的，即 每作一次交每作一次交换，元素的行，元素的行标与列与列标所成的排列所成的排列与与都同都同时作一次作一次对换，即，即与与同同时改改变奇奇偶性，但是偶性，但是这两个排列的逆序数之和的两个排列的逆序数之和的奇偶性不奇偶性不变.现在学习的是第59页，共109页于是于是与与同同时为奇数或同奇数或同时为偶数偶数.即即是偶数是偶数.因因为对换改改变排列的奇偶性，排列的奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数.设对换前行前行标排列的逆序数排列的逆序数为 ，列，列标排列的逆序数排列的逆序数为 .所以所以是偶数，是偶数，因此，交因此，交换中任意两个元素的位置后，其行中任意两个元素的位置后，其行标排列排列与列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不排列的逆序数之和的奇偶性不变.设经过一次一次对换后行后行标排列的逆序数排列的逆序数为列列标排列的逆序数排列的逆序数为现在学习的是第60页，共109页经过一次一次对换是如此，是如此，经过多次多次对换还是如此是如此.所以，在一系列所以，在一系列对换之后有之后有现在学习的是第61页，共109页定理定理2 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 现在学习的是第62页，共109页例例1 试判断判断和和是否都是六是否都是六阶行列式中的行列式中的项.解解下下标的逆序数的逆序数为所以所以 是六是六阶行列式中的行列式中的项.行行标和列和列标的逆序数之和的逆序数之和所以所以 不是六不是六阶行列式中的行列式中的项.现在学习的是第63页，共109页例例2 用行列式的定用行列式的定义计算算 现在学习的是第64页，共109页解解现在学习的是第65页，共109页小小结：行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法现在学习的是第66页，共109页1.4行列式的性行列式的性质第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开现在学习的是第67页，共109页一、行列式的性一、行列式的性质行列式行列式称称为行列式行列式的的转置行列式置行列式.若若记，则.记性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等,即即.现在学习的是第68页，共109页性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等.证明明根据行列式的定根据行列式的定义，有，有若若记，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性行列式的性质凡是凡是对行成立行成立的的对列也同列也同样成立成立.现在学习的是第69页，共109页性性质2 互互换行列式的两行（列）行列式的两行（列）,行列式行列式变号号.验证于是于是推推论如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式此行列式为零零.证明明互互换相同的两行，有相同的两行，有，所以，所以.备注：交注：交换第第 行（列）和第行（列）和第 行（列），行（列），记作作.现在学习的是第70页，共109页性性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数，等于用数乘以此行列式乘以此行列式.验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例.记 根据三根据三阶行列式的行列式的对角角线法法则，有，有备注：第注：第 行（列）乘以行（列）乘以，记作作.现在学习的是第71页，共109页推推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面列式符号的外面备注：第注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子，记作作.现在学习的是第72页，共109页验证我我们以以4阶行列式行列式为例例.性性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式此行列式为零零现在学习的是第73页，共109页性性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如第例如第i行的元素都是两数之和：行的元素都是两数之和：则现在学习的是第74页，共109页验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例.现在学习的是第75页，共109页性性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列另一列(行行)对应的元素上去，行列式不的元素上去，行列式不变则验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例.记 备注：以数注：以数乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，行（列）上，记作作.现在学习的是第76页，共109页例例二、二、应用用举例例计算行列式常用方法：利用运算算行列式常用方法：利用运算 把行列式化把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的上三角形行列式，从而算得行列式的值现在学习的是第77页，共109页解解现在学习的是第78页，共109页现在学习的是第79页，共109页现在学习的是第80页，共109页现在学习的是第81页，共109页现在学习的是第82页，共109页例例2 计算算 阶行列式行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得现在学习的是第83页，共109页现在学习的是第84页，共109页例例3 设 证明明 现在学习的是第85页，共109页证明明对作运算作运算，把，把化化为下三角形行列式下三角形行列式 设为对作运算作运算，把，把化化为下三角形行列式下三角形行列式 设为现在学习的是第86页，共109页对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再，再对后后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化化为下三角形行列式下三角形行列式故故现在学习的是第87页，共109页 (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,凡是凡是对行成立的性行成立的性质对列也同列也同样成立成立).计算行列式常用方法：算行列式常用方法：(1)利用定利用定义;(2)利用性利用性质把把行列式化行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的上三角形行列式，从而算得行列式的值三、小三、小结行列式的行列式的6个性个性质现在学习的是第88页，共109页6 行列式按行(列)展开对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式.本本节主要考主要考虑如何用低如何用低阶行列式来表示高行列式来表示高阶行行列式列式.现在学习的是第89页，共109页一、引言结论三三阶行列式可以用二行列式可以用二阶行列式表示行列式表示.思考思考题任意一个行列式是否都可以用任意一个行列式是否都可以用较低低阶的行列式表示？的行列式表示？现在学习的是第90页，共109页例如例如 把把称称为元素元素的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，留下来列划后，留下来的的n1阶行列式叫做元素行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作作 .结论因因为行行标和列和列标可唯一可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式着一个余子式和一个代数余子式.现在学习的是第91页，共109页引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都外都为零，那么零，那么这行列式等于行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即，即 例如例如 现在学习的是第92页，共109页即有即有又又从而从而下面再下面再讨论一般情形一般情形.分析分析 当当位于第位于第1行第行第1列列时,（根据（根据P.14例例10的的结论）现在学习的是第93页，共109页我我们以以4阶行列式行列式为例例.思考思考题：能否以能否以代替上述两次行代替上述两次行变换？现在学习的是第94页，共109页思考思考题：能否以能否以代替上述两次行代替上述两次行变换？答：答：不能不能.现在学习的是第95页，共109页 被被调换到第到第1行，第行，第1列列现在学习的是第96页，共109页二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数的代数余子式乘余子式乘积之和，即之和，即现在学习的是第97页，共109页同理可得同理可得现在学习的是第98页，共109页例例（P.17例例7续）现在学习的是第99页，共109页 证明明用数学用数学归纳法法例例12证明范德蒙德明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时(1)式成立式成立.现在学习的是第100页，共109页假假设(1)对于于n1阶范德蒙行列式成立，从第范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有现在学习的是第101页，共109页 n1阶范德蒙德行列式范德蒙德行列式现在学习的是第102页，共109页推推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素元素的代数余子式乘的代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即分析分析我我们以以3阶行列式行列式为例例.把第把第1行的元素行的元素换成第成第2行的行的对应元素，元素，则 现在学习的是第103页，共109页定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数的代数余子式乘余子式乘积之和，即之和，即推推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的元素的代数余子式乘代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即综上所述，有上所述，有同理可得同理可得现在学习的是第104页，共109页例例计算行列式算行列式解解现在学习的是第105页，共109页现在学习的是第106页，共109页例例13设,的的元的余子式和元的余子式和代数余子式依次代数余子式依次记作作和和，求，求分析分析利用利用及及现在学习的是第107页，共109页解解现在学习的是第108页，共109页感感谢谢大大家家观观看看2022/10/17现在学习的是第109页，共109页