微分的概念及运算上课讲义.ppt
二、微分二、微分(wi fn)运运算法则算法则三、微分三、微分(wi fn)在近似计算中在近似计算中的应用的应用一、微分一、微分(wi(wi fn)fn)的概念的概念 2.32.3 微分的概念及运算微分的概念及运算第一页，共22页。正方形金属薄片受热正方形金属薄片受热(shu r)(shu r)后面积的后面积的改变量改变量.一一.微分微分(wi fn)的概念的概念 1.1.引例引例(yn l)(yn l)：第二页，共22页。再例如再例如(lr),(lr),既容易既容易(rngy)计算又是较好的近似值计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(hnsh)(hnsh)(改变量的主要部改变量的主要部分分)是否所有函数是否所有函数(hnsh)(hnsh)的改变量都有的改变量都有?它是它是什么什么?如何求如何求?第三页，共22页。的微分的微分(wi fn),2.2.定义定义(dngy):(dngy):若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数(chngsh)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理:函数函数在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是即即在点在点可微可微,在点在点 处可导处可导,且且3.3.可微的条件：可微的条件：第四页，共22页。定理定理(dngl):函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 可导可导,且且在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是在点在点 处可导处可导,且且即即第五页，共22页。定理定理(dngl):函数函数在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性充分性”已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则第六页，共22页。说明说明(shum(shumng):ng):时时,所以所以(suy)时时很小时很小时,有近似有近似(jn s)(jn s)公式公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当第七页，共22页。二二.微分的几何微分的几何(j(j h)h)意义意义当当 很小时很小时,则有则有从而从而(cng r)导数导数(do sh)也叫也叫作微商作微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记作记记第八页，共22页。三三.微分微分(wi fn)(wi fn)的的计算计算求法求法:计算函数的导数计算函数的导数(do sh),(do sh),乘以自变量的乘以自变量的微分微分.1.1.基本基本(jbn)(jbn)初等函数的微分公式初等函数的微分公式(P57)(P57)第九页，共22页。第十页，共22页。2.2.微分运算微分运算(yn sun)(yn sun)法则法则设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数(chngsh)分别分别(fnbi)可可微微,的微分为的微分为微分形式不变性微分形式不变性5.复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数第十一页，共22页。例例1 1解解方法方法(fngf(fngf)二二:用微分形式的不变性用微分形式的不变性方法方法(fngf(fngf)一一:用定义用定义(dngy)(dngy)第十二页，共22页。例例2 2解解第十三页，共22页。例例3 3.设设求求 解解:利用利用(lyng)一阶微分形式不变一阶微分形式不变性性,有有例例4.在下列括号中填入适当在下列括号中填入适当(shdng)的函数使等的函数使等式成立式成立:说明说明(shumng):上述微分的反问题是不定积分要研上述微分的反问题是不定积分要研究的内容究的内容.第十四页，共22页。练习练习(linx)P.60 3(1,3,5,7)第十五页，共22页。1.1.计算计算(j sun)(j sun)函数增量的近似值函数增量的近似值四四.微分微分(wi fn)(wi fn)在近似计算在近似计算中的应用中的应用2.2.计算计算(j sun)(j sun)函数的近似值函数的近似值使用原则使用原则:第十六页，共22页。的近似值的近似值.解解:取取则则例例.求求设设第十七页，共22页。常用常用(chn yn)近似公式近似公式:很小很小)证明证明(zhngmng)(5)3.3.计算计算(j sun)(j sun)在在 点附近的函数近点附近的函数近似值似值第十八页，共22页。例例解解第十九页，共22页。例例.有一批半径有一批半径(bnjng)为为1cm 的球的球,为了为了(wi le)(wi le)提高球面提高球面的光洁度的光洁度,解解:已知球体已知球体(qit)体积为体积为镀铜体积为镀铜体积为 V V 在在时体积的增量时体积的增量因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克用铜多少克.估计一下估计一下,每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,第二十页，共22页。练习练习(linx)P.60 5(2,4),6作业作业(zuy)P.60 3(2,4,6),4(在书上在书上填填),5(3)小结小结(xioji)第二十一页，共22页。第二十二页，共22页。
