数值分析研究生数值积分与数值微分二.pptx

一、梯形公式的递推公式及事后估计法一、梯形公式的递推公式及事后估计法 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的恰当的步长又往往是困难的 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半半(即步长二分即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止直至所求得的积分值满足精度要求为止 设将求积区间设将求积区间a，b分成分成n等分，则一共有等分，则一共有n+1个分点，按个分点，按梯形公式计算积分值梯形公式计算积分值Tn，需要提供，需要提供n+1个函数值如果将求积个函数值如果将求积区间再二分一次，则分点增至区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察分值联系起来加以考察5 龙贝格求积公式龙贝格求积公式第1页/共37页 注意到每个子区间注意到每个子区间xk，xk+1经过二分只增加了一个分点经过二分只增加了一个分点xk+1/2(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为值为第2页/共37页第3页/共37页第4页/共37页二、龙贝格算法二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.这种利用计这种利用计算结果估计误差的方法称为算结果估计误差的方法称为事后估计法事后估计法.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形改进梯形求积公式求积公式”：第5页/共37页改进梯形求积公式的右边实际是改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积分值这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与与T2n的线性组的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式合的结果得到复化辛普森法求积公式第6页/共37页 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式 重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式求积公式 我们在变步长的过程中运用加速公式我们在变步长的过程中运用加速公式(5.1)、(5.2)、(5.3)，就能将粗糙的梯形值，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值、柯特斯值Cn和龙贝格值和龙贝格值Rn.龙贝格求积算法可用下表来表示：龙贝格求积算法可用下表来表示：第7页/共37页第8页/共37页 例例2 用龙贝格方法计算椭圆用龙贝格方法计算椭圆 x2/4+y2 l 的周长，使结果具有的周长，使结果具有五位有效数字五位有效数字 分析分析 为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示，再根据弧为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示，再根据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示由于计算结果要求具有五位有效长公式将椭圆周长用积分形式表示由于计算结果要求具有五位有效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分值的数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分值的绝对误差限最后再应用龙贝格方法计算积分绝对误差限最后再应用龙贝格方法计算积分 解解 令令 x 2cosq q，y sinq q 则椭圆的周长为则椭圆的周长为第9页/共37页第10页/共37页三、理查森三、理查森(Richardson)外推加速法外推加速法 上面讨论说明由梯形公式出发，将区间上面讨论说明由梯形公式出发，将区间a，b逐次二分可逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即据是梯形公式的余项展开，即若记若记Tn=T(h)，当区间，当区间a，b分为分为2n等分时，有等分时，有 ，则，则可见可见I=T(h)的误差为的误差为O(h2)阶阶.若记若记 ，则，则 第11页/共37页显然显然T1(h)与积分值与积分值 I 近似的阶为近似的阶为O(h4).这样构造的这样构造的就是辛普森公式序列就是辛普森公式序列Sn，S2n，.若令若令 ，则又可进一步从余项中消去则又可进一步从余项中消去 h4 项，这样构造出的项，这样构造出的 ，其实，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值就是柯特斯公式序列，它与积分值 I 的逼近阶为的逼近阶为O(h6).如此继如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，一般地，若记阶，一般地，若记T0(h)=T(h)，经过，经过m(m=1，2，)次加速后，则有次加速后，则有第12页/共37页 可以证明，如果可以证明，如果 f(x)充分光滑，那么充分光滑，那么T 数表每一列的元数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I，即，即第13页/共37页第14页/共37页 机械求积公式机械求积公式 含有含有2n+2个待定参数个待定参数xk、Ak(k0，1，n)当当 xk 为等距节点时得到的插值求积公式的代为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为数精度至少为n次，如果适当选取次，如果适当选取 xk(k0，1，n)，有可能使求积，有可能使求积公式具有公式具有 2n+1 次代数精度，这类求积公式称为次代数精度，这类求积公式称为高斯高斯(Gauss)求积公式求积公式.为使问题更具一般性，我们研究带权积分为使问题更具一般性，我们研究带权积分 ，这里这里r r(x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为 Ak(k0，1，n)为不依赖于为不依赖于f(x)的求积系数，的求积系数，xk(k0，1，n)为求积节点，可适当选取为求积节点，可适当选取 xk 及及 Ak(k0，1，n)使求积公式使求积公式(6.1)具具有有2n+1次代数精度次代数精度6 6 高斯求积公式第15页/共37页一、高斯点一、高斯点 定义定义4 如果求积公式如果求积公式(6.1)具有具有2n+1次代数精度，则称其节点次代数精度，则称其节点 xk(k0，1，n)为高斯点，相应公式为高斯点，相应公式(6.1)称为称为高斯求积公式高斯求积公式.根据定义要使根据定义要使(6.1)具有具有2n+1次代数精度，只要取次代数精度，只要取f(x)xm，对对m0，1，2n+1，(6.1)精确成立，则得精确成立，则得 当给定权函数当给定权函数r r(x)，求出右端积分，则可由，求出右端积分，则可由(6.2)解得解得 Ak 及及 xk(k0，1，n)求解非线性方程组求解非线性方程组(6.2)较复杂，通常较复杂，通常n2就很难求解故一就很难求解故一般不通过解方程般不通过解方程(6.2)求求 xk 及及 Ak(k0，1，n)，而从分析高，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式斯点的特性来构造高斯求积公式第16页/共37页 定理定理5 插值型求积公式插值型求积公式(6.1)的节点的节点 ax0 xlxnb是是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过与任何次数不超过n的多项式的多项式P(x)带权带权r r(x)正交，即正交，即 定理表明在定理表明在a，b上带权上带权r r(x)的的n+1次正交多项式的零点就是次正交多项式的零点就是求积公式求积公式(6.1)的高斯点，有了求积节点的高斯点，有了求积节点 xk(k0，l，n)，再，再利用利用(6.2)对对m0，l，n 成立，则得到一组关于求积系数成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，An 的线性方程解此方程则得的线性方程解此方程则得Ak(k0，1，n).也也可直接由可直接由x0，x1，xn 的插值多项式求出求积系数的插值多项式求出求积系数Ak(k=0,1,n).第17页/共37页二、高斯求积公式的余项二、高斯求积公式的余项 利用利用 f(x)在节点在节点xk(k=0，1，n)的的埃尔米特插值埃尔米特插值 H2n+1(x)，即，即于是于是 ，两端乘，两端乘r r(x)，并由，并由a到到b积积分，则得分，则得其中右端第一项积分对其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故次多项式精确成立，故 由于由于 0，故由积分中值定理得，故由积分中值定理得(6.1)的余项为的余项为第18页/共37页 与积分相反，数值微分非常困难与积分相反，数值微分非常困难.积分描述了一个函数的积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质是函数的微观性质.因此积分对函数的形状在小范围内的改变因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感不敏感。而微分却很敏感.一个函数小的变化，容易产生相邻一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变点的斜率的大的改变.由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分特别是对实验获得的数据进行微分.在这种情况下，最好用最在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分.或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样条函数的微分条函数的微分.7 7 数值微分第19页/共37页一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数 值按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几值按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式种数值微分公式 其中其中h为一增量称为步长后一种数值微分方法称为中点为一增量称为步长后一种数值微分方法称为中点方法、它是前两种方法的算术平均但它的误差阶却由方法、它是前两种方法的算术平均但它的误差阶却由O(h)提提高到高到O(h2)上面所给出的三个公式是很实用的尤其是中点公上面所给出的三个公式是很实用的尤其是中点公式更为常用式更为常用第20页/共37页为要利用中点公式为要利用中点公式计算导数计算导数的近似值，首先须选取合适的步长为此需要进行误差分析的近似值，首先须选取合适的步长为此需要进行误差分析分别将分别将在在 x=a 处做泰勒展开有处做泰勒展开有代入代入G(h)得得 由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确准确.且且其中其中第21页/共37页 再考察舍入误差按中点公式计算，当再考察舍入误差按中点公式计算，当h很小时，因很小时，因 f(a+h)与与 f(a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第参看第1章第章第4节节)因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小则计算则计算 当当 f(a+h)及及 f(a-h)分别有舍入误差分别有舍入误差 1及及 2时，若令时，若令的舍入误差上界为的舍入误差上界为步长步长h不宜太大，也不宜太小其最优步长应为不宜太大，也不宜太小其最优步长应为 它表明它表明h越小，舍入误差越小，舍入误差越大，故它是病态的用中点越大，故它是病态的用中点公式计算公式计算的误差上界为的误差上界为要使误差要使误差E(h)最小，最小，第22页/共37页二、插值型的求导公式二、插值型的求导公式 x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn 对于列表函数对于列表函数 y=f(x)：运用插值原理，可以建立插值多项式运用插值原理，可以建立插值多项式 y=Pn(x)作为它的近作为它的近似由于多项式的求导比较容易，我们取似由于多项式的求导比较容易，我们取统称插值型的求导公式统称插值型的求导公式的近似值，这样建立的数值公式的近似值，这样建立的数值公式的值作为的值作为 依据插值余项定理，求导公式依据插值余项定理，求导公式(7.1)的余项为的余项为式中式中第23页/共37页 如果我们限定求某个节点如果我们限定求某个节点 xk 上的导数值，那么上面的第上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式二项因式变为零，这时有余项公式 下面我们仅仅考察节点处的导数值为简化讨论，假定所下面我们仅仅考察节点处的导数值为简化讨论，假定所给给的节点是等距的的节点是等距的1两点公式两点公式 设已给出两个节点设已给出两个节点 x0，x1 上的函数值上的函数值 f(x0)，f(x1)，做线性，做线性插值得公式插值得公式对上式两端求导，记对上式两端求导，记x1 x0=h，有，有第24页/共37页于是有下列求导公式：于是有下列求导公式：而利用余项公式而利用余项公式(7.2)知，带余项的两点公式是：知，带余项的两点公式是：第25页/共37页 2三点公式三点公式 设已给出三个节点设已给出三个节点x0，xl=x0+h，x2=x0+2h上的函数值，上的函数值，做二次插值做二次插值令令 x=x0+th，则，则第26页/共37页这里撇号这里撇号()表示对变量表示对变量x求导数上式分别取求导数上式分别取t=0，1，2，得，得到三种三点公式：到三种三点公式：而带余项的三点求导公式如下：而带余项的三点求导公式如下：第27页/共37页公式公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式在三点公式中，它由于少是我们所熟悉的中点公式在三点公式中，它由于少用了一个函数值用了一个函数值 f(x1)而引人注目而引人注目 用插值多项式用插值多项式Pn(x)作为作为 f(x)的近似函数，还可以建立高的近似函数，还可以建立高阶阶数值微分公式：数值微分公式：例如，将式例如，将式(6.5)再对再对t求导一次，有求导一次，有于是有于是有而带余项的二阶三点公式如下：而带余项的二阶三点公式如下：第28页/共37页例例4 4第29页/共37页第30页/共37页第31页/共37页三、利用数值积分求导三、利用数值积分求导 微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分设值微分设 f(x)是一个充分光滑的函数，设是一个充分光滑的函数，设则有：则有：对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式例如，对公式例如，对用中矩形公式用中矩形公式则得则得从而得到中点微分公式从而得到中点微分公式第32页/共37页若对若对(7.6)右端积分用辛普森求积公式，则有右端积分用辛普森求积公式，则有上式略去余项，并记上式略去余项，并记普森数值微分公式普森数值微分公式的近似值为的近似值为mk，则得到辛，则得到辛这是关于这是关于m0，m1，mn这这 n+1 个未知量的个未知量的 n-1 个方程组，个方程组，可用解方程的方法求解可用解方程的方法求解.第33页/共37页四、三次样条求导四、三次样条求导 三次样条函数三次样条函数 S(x)作为作为 f(x)的近似，不但函数值很接近，的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有导数值也很接近，并有(见第见第2章定理章定理4)，因此利用三次样条函数，因此利用三次样条函数S(x)直接得到直接得到根据第根据第2章章(6.6)可求得可求得式中式中 f xk，xk+1为一阶均差为一阶均差.第34页/共37页五、数值微分的外推算法五、数值微分的外推算法(6.8)(6.8)53-1第35页/共37页(6.8)3-1第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页