线性代数的应用.pptx

第1页/共52页7假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：第2页/共52页第一个矩阵为A，第二个矩阵为B，而第 三个矩阵为C。（a）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水 果的费用是多少？（b）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购 买量是多少？第3页/共52页（a）设该矩阵为D，则：D=BA，即：（b）设该矩阵为E，则：E=CB，即：第4页/共52页 ：所求矩阵D和E能分别给出在每个商店购买水果的费用 和每个城镇每种水果的购买量。这是一个矩阵的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）；城镇1中有人员A（1000）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000）和人员B（1000）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、0.15和0.10，而商店B中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。现问:（a）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（b）每个城镇每种水果的购买量是多少？第5页/共52页（a）商店A：人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：商店B:人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：第6页/共52页此时如果用矩阵表示的话，有：显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（b）也是一样的。然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。就此问题而言，数据即简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有10个，商店有50个的话。显然用一般解法是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。第7页/共52页矩阵运算应用示例二矩阵运算应用示例二第8页/共52页问题描述问题描述设下列距阵设下列距阵A A是在是在3 3家不同商店购买家不同商店购买3 3种不同糖果的价格（以美种不同糖果的价格（以美分计）：分计）：糖果糖果A A 糖果糖果B B 糖果糖果C C问题问题a:a:若糖果的价格加倍，糖果的价格距阵是什么？若糖果的价格加倍，糖果的价格距阵是什么？问题问题b:b:若糖果价格上涨若糖果价格上涨50%50%，每块糖果的税为，每块糖果的税为5 5美分，那么糖美分，那么糖果的价格距阵是什么？果的价格距阵是什么？第9页/共52页本题的问题只是一个简单的距阵本题的问题只是一个简单的距阵 运运算，利用算，利用MatlabMatlab软件既可以容易的解软件既可以容易的解决。利用以下问题假设的决。利用以下问题假设的 内容，既内容，既可以方便的解决。可以方便的解决。第10页/共52页现在我们设糖果的初始价格距阵为：现在我们设糖果的初始价格距阵为：问题问题A A：设糖果价格加倍以后的价格距阵为设糖果价格加倍以后的价格距阵为B,B,则则B=2*AB=2*A。问题问题B B：设糖果价格上涨设糖果价格上涨50%50%，而交纳每块糖果，而交纳每块糖果5 5美分的税后的价格距阵为美分的税后的价格距阵为C C，则，则C=A+0.5*A-C=A+0.5*A-5*E;5*E;其中其中E E 为各个元素值为为各个元素值为1 1的的3 3阶距阵。阶距阵。第11页/共52页利用利用MatlabMatlab软件可以得到以下的数据：软件可以得到以下的数据：A=10,20,20;25,30,20;30,40,35A=10 20 20 25 30 20 30 40 35 B=2*AB=20 40 40 50 60 40 60 80 70 E=1,1,1;1,1,1;1,1,1E=1 1 1 1 1 1 1 1 1 C=A+0.5*A-5*EC=10.0000 25.0000 25.0000 32.5000 40.0000 25.0000 40.0000 55.0000 47.5000第12页/共52页则满足问题则满足问题A A的价格距阵为：的价格距阵为：糖果糖果A A 糖果糖果B B 糖果糖果C C则满足问题则满足问题B B的价格距阵为：的价格距阵为：糖果糖果A A 糖果糖果B B 糖果糖果C C第13页/共52页矩阵运算应用示例三第14页/共52页问题描述：设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14 升译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这些商品的单价：第15页/共52页供货商A 供货商B 供货商C巨无霸$4.00$6.00$5.00 果汁饮料$2.00$1.00$0.85 土豆沙拉$0.65$0.85$1.00 开胃菜$6.00$5.00$7.00第16页/共52页（a）用矩阵向量乘积把确定每供应商为聚会备餐的价格问题表述出来（注意在乘积中向量处于第一位还是第二位）。(b)确定每一个供货商的备餐价格。第17页/共52页准备知识：矩阵与向量乘积：实际上为两个矩阵乘积只不过有一个矩阵为一n维向量。所以应用矩阵乘法原理可以很快得出结果。第18页/共52页问题解答1：根据题意此向量为一四维行向量，具体表示为：10个 6夸脱 3夸脱 2盘第19页/共52页问题解答2：根据第一个问题的要求，我们可以知道该向量处于矩阵乘积的第一位，而第一题的具体矩阵形式表述为下：第20页/共52页10 6 3 2 4.00 6.00 5.00 2.00 1.00 0.85 0.65 0.85 1.00 6.00 5.00 7.00第21页/共52页问题解答3：在MATLAB运算结果如下：C=A*BC=65.9500 78.5500 72.1000第22页/共52页其中A为行向量，B为矩阵。因此，第二个问题的结果也就得到相应的解答：对于供货商A的备餐价格为$65.9500，对于供货商B的备餐价格为$78.5500，对于供货商C的备餐价格为$72.1000。第23页/共52页小结：通过对矩阵向量乘积的学习使我认识到了它在应用生产的重要性，本题就是很好的例子。第24页/共52页矩阵运算应用示例四第25页/共52页问题内容假设我们已知下列矩阵：矩阵A给出3种作业中的每一种，为了进行输入/输出（I/O），执行程序及系统总开销所需的机时；矩阵B给出了在两种不同收费方式下，不同的计算机活动（每个单位时间）所需要的费用；矩阵C（实际上为一向量）给出每种类型的工作有多少；矩阵D给出每天使用每种收费方式的机时的比。第26页/共52页 机时A I/O 执行 系统作业A作业B作业C计时收费B 方式 方式I/0 执行系统第27页/共52页 C 每种类型的作业数量 D 机时比作业A 方式作业B 方式 作业C利用A，B，C和D，按照下列要求求出矩阵乘积，并计算这些矩阵的数字：第28页/共52页(a)计算矩阵乘积AB。(b)对每种收费方式，求出每一种作业所需的总费用。(c)计算为完成所有作业的(所有作业已概括在矩阵C中)输入/输出，执行程序及系统开销所需的总机时。(d)在方式和方式下，求所有作业所需总开销。(e)计算输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位机时的平均费用。第29页/共52页问题求解：(a)AB=(b)根据矩阵A与B的乘积可知在方式下：作业A所需的总费用为160，作业B所需的总费用为182，作业C为95，在方式下作业A所需的总费用为155，作业B所需的总费用为167，作业C所需的总费用为100。第30页/共52页(c)所需的总机时为：(5+20+10)4+(4+25+8)5+(10+10+5)5=400;(d)在方式下：=E第31页/共52页把E转置后成为 再与C作矩阵乘积 ：=则在方式下所需费用为1835；第32页/共52页同理在方式下所需费用为1765：=第33页/共52页(e)=输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位机时的平均费用分别为：2.7,5.3,3.7。第34页/共52页实验总结矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。矩阵及矩阵的乘法使现实生活中繁琐的方阵计算得到了简化。这道题就充分应用到矩阵的乘法。第35页/共52页矩阵运算应用示例五第36页/共52页问题描述：问题描述：假设我们已知下列矩阵：矩阵假设我们已知下列矩阵：矩阵A给出制造不同物品所需原材料的数量；矩阵给出制造不同物品所需原材料的数量；矩阵B给出两个不同国家中，原材料给出两个不同国家中，原材料的价格；矩阵的价格；矩阵C给出为了建造两种类型的住宅，需要多少物品；矩阵给出为了建造两种类型的住宅，需要多少物品；矩阵D给出这两个国家对两种住宅的需求。给出这两个国家对两种住宅的需求。第37页/共52页A 原材料 物 品 A物 品 B物 品 C5 20 104 25 810 10 5B木材 劳力 钢材木 材 劳 力 钢 材 价 格西班牙 意大利$2$3$6$5$3$4第38页/共52页C 住宅对物品的需求住 宅 一住 宅 二A B C4 8 3 5 5 2D西 班 牙 意 大 利住宅一 住宅二50000 20000080000 500000第39页/共52页(a)哪个矩阵乘积给出了为建造每中类哪个矩阵乘积给出了为建造每中类型住宅需要各种物品的数量？型住宅需要各种物品的数量？（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造每种物品需要多少费用？（c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用？第40页/共52页预备知识：预备知识：两个矩阵乘积的定义：矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中，我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。第41页/共52页问题分析一：问题分析一：问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以局阵乘积所代表的含义也尽不相同。第42页/共52页问题分析二：问题分析二：对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物品需要多少费用，由题目对矩阵A和矩阵B的定义。矩阵A的行向量代表制造一个物品所需要各种原材料的数目，而矩阵B的列向量第43页/共52页问题分析二（续）：问题分析二（续）：代表制造一个物品所需要各种原材料的价格。所以前者与后者的乘积正是制造一个物品所需要的费用。而相应的矩阵乘积即AB就代表了在每个国家制造每种物品需要多少费用。对于第三个问题要求出在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用。因为矩阵C的定义是为了建造两种类型的住宅需要多少物品，而由前面已求出AB矩阵乘积所代表的意义第44页/共52页问题分析二（续）：问题分析二（续）：是在每个国家制造每种物品需要多少费用。所以用C的行向量去乘以AB乘积的列向量就是在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用，所以第三个问题答案为CAB。第45页/共52页问题求解：问题求解：对于第一个问题的答案就是矩阵C本身即：住 宅 一住 宅 二A B C4 8 3 5 5 2第46页/共52页问题求解（续）：问题求解（续）：对于第二个问题的答案就是矩阵A与B的乘积即AB在MATLAB运算后得到的结果为：E=A*BE=160 155 182 169 95 100第47页/共52页问题求解（续）：问题求解（续）：E矩阵所代表的意义为：物 品A$160$155$182$169$95$100西班牙 意大利 物 品B 物 品C第48页/共52页问题求解（续）：问题求解（续）：对于第三个问题的答案就是矩阵C与AB的乘积即：CAB在MATLAB运算后得到结果为：F=C*EF=2381 2272 1900 1820第49页/共52页问题求解（续）：问题求解（续）：F矩阵所代表的意义为：住 宅 一住 宅 二$2381$2272$1900$1820西班牙 意大利第50页/共52页小结：小结：通过对矩阵乘积含义的了解，使我们明白了在应用生产中矩阵所扮演的重要角色。不同矩阵间的运算代表的含义也不尽不同。所以我们应更努力的学习本专业的知识以便更好的应用于生产实践之中，为社会做出贡献。第51页/共52页感谢您的观看！第52页/共52页