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解析几何课件(第四版第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程下一页返回例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一页返回以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：当当 A2+B2+C2-4D 0 时时,是球面方程是球面方程.由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为上一页下一页返回根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解上一页下一页返回例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.上一页下一页返回以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页返回抛物柱面抛物柱面平面平面抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：2.3 2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面，抛物柱面，抛物柱面，母线母线/轴轴母线母线/轴轴母线母线/轴轴上一页下一页返回abzxyo椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxy=0yo 双曲双曲柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxyo抛物抛物柱面柱面柱面柱面上一页返回空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程下一页返回 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解上一页下一页返回螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：4.1 4.1 柱面柱面下一页返回观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面.这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.母线母线准准线线上一页下一页返回柱面举例：柱面举例：抛物柱面抛物柱面平面平面抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：上一页下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面，抛物柱面，抛物柱面，母线母线/轴轴母线母线/轴轴母线母线/轴轴上一页下一页返回1.椭圆柱面椭圆柱面xyzO2.双曲柱面双曲柱面上一页返回 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面.这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线.那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点.锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程.特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时：4.2 4.2 锥面锥面下一页返回 n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)=0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)=0是是 n次齐次方程次齐次方程：准线准线顶点顶点F(x,y,z)=0.反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线.上一页下一页返回请同学们自己用截痕法请同学们自己用截痕法研究其形状研究其形状.椭圆锥面椭圆锥面上一页下一页返回解解 圆锥面方程圆锥面方程或或上一页返回 定义定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为转一周所产生的曲面称为旋转曲面旋转曲面或称或称回旋回旋曲面曲面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的旋转轴旋转轴这条曲线叫旋转曲面的这条曲线叫旋转曲面的母线母线4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面下一页返回曲线曲线 CCy zo绕绕 z轴轴上一页下一页返回曲线曲线 CxCy zo绕绕z轴轴.上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMNzPy zo绕绕 z轴轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).x S上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMNzP.绕绕 z轴轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y zo S上一页下一页返回建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入得方程得方程上一页下一页返回方程方程上一页下一页返回例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox上一页下一页返回 xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面上一页下一页返回旋旋转转椭椭球球面面xyzxyz上一页下一页返回旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo上一页下一页返回几种 特殊旋转曲面v1 双叶旋转曲面v2 单叶旋转曲面v3 旋转锥面v4 旋转抛物面v5 环面上一页下一页返回x0y1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回x0zy.绕绕 x 轴一周轴一周1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面上一页下一页返回x0zy.1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面.绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回axyo2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回axyoz.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上一页下一页返回a.xyoz.2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回3 3 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo上一页下一页返回.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回x yoz.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面.3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回yoz4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周上一页下一页返回yoxz.抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面上一页下一页返回y.oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面上一页下一页返回5 5环面环面环面环面yxorR绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo.上一页下一页返回二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面二次曲面4.4 4.4 椭球面椭球面下一页返回截痕法截痕法用用z=h截曲面截曲面用用y=m截曲面截曲面用用x=n截曲面截曲面abcyx zo椭球面椭球面上一页下一页返回椭球面的方程 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭球面椭球面上一页下一页返回椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.上一页下一页返回椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.上一页下一页返回球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为上一页返回单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与与 曲面相截截得中心在原点曲面相截截得中心在原点 的的椭圆椭圆一、单叶双曲面一、单叶双曲面4.5 4.5 双曲面双曲面下一页返回与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.上一页下一页返回单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截，与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.上一页下一页返回二、双叶双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyoz上一页下一页返回 单叶单叶：双叶双叶：.yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。在平面上，双曲线有渐进线。相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面。用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当|h h|无限增大无限增大时，时，双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进锥锥面面面面上一页返回第五章 二次曲线的一般理论 在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。下一页返回为了方便起见，特引进一些记号：上一页下一页返回上一页返回1.二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.1满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.定义定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.即1)椭圆型：I20 2)抛物型：I20 3)双曲型：I205.2 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线下一页返回2.二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.定理定理5.2.1 点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：推论推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.上一页下一页返回二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I20，分两种情况：上一页下一页返回 定义定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次中心二次曲线曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线非中心二次曲线.定义定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.定理定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.上一页返回 定义定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线切线，这个重合的交点叫做切点切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线切线，直线上的每个点都可以看作切点切点.定义定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.5.3 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线下一页返回 定理定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：上一页下一页返回 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且 F1(2,1)=5/20,F 2(2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为：5/2(x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0上一页返回此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢