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第第 8 章章 扭扭 转转8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能8-5 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第1页/共76页第六章涉及到第六章涉及到杆件扭转问题杆件扭转问题ABabobM|m|mLMBxMTMmmAMTxM 杆件在横向平面内外力偶作用下发生扭扭转转变变形形，B B截面相对于A A截面产生相对扭扭转转角角 bobo b b第2页/共76页本章研究内容（1）薄壁圆筒薄壁圆筒扭转时的应力和应变；（2）圆截面等直杆圆截面等直杆受扭时的应力和应变；（3）简要介绍非圆截面杆非圆截面杆受扭变形。ABabobM|m|mLM第3页/共76页薄壁圆筒受扭后，圆周线与纵直线之间直角改变了一个小角度剪应变剪应变。8-1 8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变LMM(rad)厚度，r r半径第4页/共76页变形特点：变形特点：LMM(rad)(2)假设材料均匀连续，圆筒横截面周线上剪应力大小必相等。MMT(1)圆筒横截面周线上各处剪应变相同;剪应力的方向：横截面外圆的切向横截面外圆的切向剪应力发生在圆筒的外切平面内第5页/共76页 （3）薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿 外周线的切线。说明：（2）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应力值相同；（1）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应变值相同；第6页/共76页薄薄壁壁圆圆筒筒受扭时，可以认为横截面上的剪应力大小处处相等，方向则垂直于相应半径的径向。MMT（=M）第7页/共76页从而有r用平均半径 r0 近似代替，则已知剪应力的分布规律，则可由静力学关系当d d/r0=10%，其误差为4.5%计算公式前提：假设薄壁圆筒扭转剪应力大小沿径向不变第8页/共76页由图得知则r半径LMM(rad)厚度 r 薄壁圆筒纯扭转实验表明当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角f f与外力偶矩MT T之间成正比。MTO第9页/共76页t tp剪应比例极限ot tpMTO材料的剪切虎克定律G材料剪切弹性模量，量纲MPa 普通钢:G约为 8.0104MPa p随钢种而异,对A3钢 120 MPa物理关系第10页/共76页 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量G与两弹性参数E和之间存在关系：泊桑比E弹性模量第11页/共76页回顾回顾(07-11-7)几何方程静力学方程物理方程薄壁圆筒、实心圆剪应力分布规律？G、E、关系？剪切应变定义平面假设第12页/共76页 实心圆截面和非薄壁空心圆截面杆受扭时，横截面上的剪应力并非如受扭薄壁圆筒截面中那样均匀分布。横截面上的剪应力确定剪应力在圆横截面上的变化规律任务8-2 圆杆扭转时的应力与变形根据横截面上任意半径为 圆上的某点处剪应力 与 的关系。（1）静力学关系（2）几何关系（3）物理关系第13页/共76页实验如图表明：（1）等直圆杆受扭时，表面上原来圆周线变形后只是绕杆轴线转动，其大小和形状都未改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。几何关系（2）平面假设：等直杆受扭时，其横截面如刚性圆盘般绕杆轴线转动。此时，其横截面上任一半径直线绕圆心旋转了一个角度，其形状仍然保持为直线。ABabMTMTob第14页/共76页dx圆柱面上剪应变：按平面假设，一定时为常量，故d/dx也为常量，即：d取圆柱微段 长：dx 半径：扭矩：MT等直圆柱受扭时 与 成线性关系第15页/共76页在圆柱表面：在线弹性范围内受扭等直杆 横截面上剪应力 (1)在同一半径 的圆周上各点处大小相同，方向垂直于半径，(2)随 线性变化；(3)最大剪应力在圆周边缘上。MTmax物理关系几何关系第16页/共76页下图为空心圆轴之横截面，受扭矩为 MT，试绘出水平直经AB上各点处剪应力的变化图。思考题8-1.OABMT第17页/共76页MT12思考题8-2 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出剪应力沿水平直经的变化图，若（1）两杆材料相同，即 G1=G2=G；（2）两材料不同，G1=2G2。第18页/共76页MTG1=G2=G21第19页/共76页MTG1=2G221第20页/共76页静力学关系与 MT没有联系起来若等截面圆杆在 MT作用下，则如何？?r第21页/共76页d/dx为常数第22页/共76页IP是 一 个 反 映 截 面 几 何 特 征 的 参 数，称 为横截面极惯性矩定义第23页/共76页抗扭截面模量r定义常用单位：mm3，m3(1)适用于圆截面等直杆在线弹性范围内受扭情况;(2)r是等直杆外径。第24页/共76页可见 对象：实心圆截面、空心圆截面极惯性矩IP和抗扭截面模量WTo求解：d(1)对实心圆棒第25页/共76页（外径D，内径d）式中：(2)对于空心圆截面 不要出错！薄壁圆环 Dd2t (t10狭长狭长第65页/共76页 一一矩矩形形截截面面等等直直钢钢杆杆，其其横横截截面面尺尺寸寸为为h=100 mm,b=50 mm,长长度度l=2 m，在在杆杆的的两两端端作作用用一一对对矩矩为为T的的扭扭转转力力偶偶。已已知知T=4000 Nm，钢钢的的允允许许切切应应力力 t t=100MPa，G=8104 MPa,q q=1o/m,试试校校核杆的强度和刚度。核杆的强度和刚度。解：解：例题例题 8-11已知第66页/共76页以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。例题例题 8-11第67页/共76页1.薄壁圆筒扭转时的应力和变形薄壁圆筒扭转时的应力和变形小结小结(09-11-11)2.圆杆扭转时的应力和变形圆杆扭转时的应力和变形(1)横截面上的应力横截面上的应力材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律、n n三者之间的关系三者之间的关系第68页/共76页(a)几何关系几何关系 (b)物理关系物理关系(c)静力学关系静力学关系第69页/共76页(d)极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量实心圆截面实心圆截面代入代入Ip得得第70页/共76页空心圆截面空心圆截面扭转角扭转角斜截面上的应力斜截面上的应力yabcdenxa第71页/共76页矩形截面杆扭转 截面翘屈不满足平面假设，有限元、弹性力学求解杆扭转小结杆扭转小结几何方程静力学方程物理方程导出方程导出方程平面假设、线弹性、圆截面，t t分布规律斜截面应力强度刚度条件应变能代表单元定义第72页/共76页可能变形可能变形 轴向拉压弯 曲 扭 转直杆变形直杆变形扭扭 转转弯弯 曲曲轴向拉压轴向拉压内力 符号类型类型载荷 符号扭矩弯矩轴力剪力T T,M MT TF FN N,N NM MF Fs s拉压力外力偶矩集中外力偶矩集中力、分布力F,PF,PM Me eM Me eF F、q q教材中的内力符号教材中的内力符号第73页/共76页作业 9，10，11，13第74页/共76页第75页/共76页感谢您的观看。第76页/共76页
