工学线性定长动态电路分析课件.pptx
3-1 电容元件与电感元件 3-1-1 电容元件 一、电容的定义和符号 一个二端元件，如果在任一时刻t，它所存储的电荷 q(t)与其端电压u(t)之间的关系可以用u(t)-q(t)平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件 线性电容 时变电容 非线性电容 非时变电容电容的分类：第1页/共73页电容符号线性电容u-q 特性 线性电容存储的电荷q(t)和端电压u(t)有如下关系 C为与电荷、电压无关的常量，表示元件存储电荷的能力，称为电容。第2页/共73页二、电容的单位电容C的单位为法拉（F），但因法拉这个单位太大，所以通常采用微法（F）或皮法（pF）三、电容的伏安关系设电容上流过的电流与其两端的电压为关联参考方向 则根据电流的定义有 对线性电容又有 线性电容的伏安关系为第3页/共73页四、电容的特点1电容能隔直流通交流；电容的阻抗与频率有关。由电容的伏安关系 可知电容有如下基本性质：2在有限电容电流的前提下，电容上的电压只能连续变化，不能发生跳变。电容电压的连续性可表示为在动态电路分析中常用这一结论，并称之为“换路定则”。第4页/共73页3电容是一种有记忆的元件。根据电容的伏安关系可得：任一时刻电容上的电压不仅取决于该时刻的电流值，而是取决于从 到所有时刻的电流值，即与电流的全部历史有关，所以电容是一种“有记忆”元件。称为电容的初始电压，反映 时刻之前电流的全部作用。第5页/共73页五、电容的储能 在电容的电压和电流为关联参考方向下，其吸收的瞬时功率为由功率的定义，可得在t时刻电容吸收的电能为第6页/共73页因为 ，故有上式表明，任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关 例4-1 图（a）所示电容中电流i的波形如图（b）所示，已知 ，试分别求 时电容上的电压。第7页/共73页解：由 的波形可写出其数学表达式为因为 所以第8页/共73页 例4-2 电路如图(a)所示，开关打开前电路已处于稳态，在 时刻将开关K打开，求电容的初始值 。第9页/共73页解：因为在 时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路。这时其等效电路如图（b）所示。又根据换路定则，可得 根据图（b）可算出第10页/共73页 3-1-2 电感元件 一、电感的定义 一个二端元件，如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链 与其流过的电流 的关系可以用 平面上的一条曲线来确定，则称此二端元件为电感。电感的符号 非时变线性电感 二、电感的符号和单位第11页/共73页电感的单位：亨利（H）三、电感的伏安关系对非时变线性电感有非时变线性电感 L是与 无关的常量，表示元件产生磁链的能力，称为该元件的电感量。在电感上电压、电流为关联参考方向时，由电磁感应定律可得第12页/共73页四、电感的特点1.电感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也随信号的频率而变化.2在有限电感电压的前提下，电感上的电流只能连续变化，不能发生跳变。电感电流的连续性可表示为 上式也称为换路定则，在动态电路初始值确定时，该式也是非常重要的依据 3电感也是一种有记忆的元件。第13页/共73页根据电感的伏安关系有 任一时刻电感上的电留不仅取决于该时刻的电压值，而是取决于从 到所有时刻的电压值，即与电压的全部历史有关，所以电感是一种“有记忆”元件。称为电感的初始电流，反映 时刻之前电压的全部作用。第14页/共73页五、电感的储能由功率的定义，可得在t时刻电干吸收的电能为第15页/共73页上式表明，任一时刻电感的储能只与该时刻电感的电流有关 例4-3 图(a)所示电路，电感上的电流波形如图(b)所示，求电压 ，电感吸收的功率 ，电感上的储能 ，并绘出它们的波形。第16页/共73页解：根据图(b)，写出 的数学表达式：由电感的伏安关系可得 第17页/共73页电感上吸收的功率为 电感上的储能为 第18页/共73页例4-4 图(a)所示电路,时开关K闭合，电路已达到稳态。在 时刻，打开开关K，求初始值 。解：时K闭合，电路已达到稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路，故可求得第19页/共73页t=0时,K打开,根据换路定则有 t=0+时的等效电路见图(b)第20页/共73页3-2 一阶电路的零输入响应 一阶电路就是包含一个动态元件的电路。分为一阶RC电路和一阶RL电路。所谓零输入响应即是由动态元件的初始态在电路中产生的响应。3-2-1 一阶RC电路的零输入响应 因为在换路前，电路已达到稳态，所以 第21页/共73页换路后，根据KVL可得因为 所以可得 初始条件为 其特征方程为 特征根为 第22页/共73页故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定 电容电压的零输入响应为 称为电路的时间常数,单位为秒（S）第23页/共73页由电容的伏安关系可求得电路中流过的电流为 的波形图 第24页/共73页从以上的分析,可以得到如下结论：1一阶RC电路的 和 均是随时间呈指数衰减的。2 与 随时间衰减的快慢由 决定 与 的关系t 023450.006US 从上表中可以看出，时,已下降为初始值的1.8%，在工程中一般认为此时零输入响应已基本结束。第25页/共73页 3-2-2 一阶RL电路的零输入响应 在换路前电路已达到稳态，根据换路定则知:换路后，根据KVL可得将电阻、电感的伏安关系代入上式，得 初始条件为 第26页/共73页其特征方程为 特征根为 故得该微分方程的通解为：系数K可由初始条件确定 所以第27页/共73页是一阶RL电路的时间常数 由电感伏安关系可以得到电感上的电压为 一阶电路零输入响应的一般公式 对RC电路有 对RL电路有 对任何一阶电路，求其零输入响应，关健就是求解其时间常数和初始值，这两个参数一旦被确定，其响应就确定了。第28页/共73页例4-5 如图所示电路，开关K在位置“1”时，电路已达到稳态。当t=0时K由位置“1”切换到位置“2”，试求i(t)和 u（t）。解：因为K在位置“1”时，电路已达到稳态，所以电感相当于短路，由此可求得电感电流的初始值为时间常数为 第29页/共73页3-3 一阶电路的零状态响应 电路的初始状态为零，仅由外加激励产生响应称为零状态响应。由KVL可得 将电阻、电容的伏安关系代入上式，得 上式为非齐次微分方程，根据高等数学知识知，其通解由齐次解和特解两部分组成，即第30页/共73页由前面的分析可知，该微分方程对应的齐次解为 其对应的特解是由外激励强制建立的，应与外激励具有相同的函数形式，当激励为直流时,其特解为一常量。设该特解为 ，代入微分方程中可得 故得 第31页/共73页代入初始值，确定系数K 由上式知,电容两端的电压随时间按始指数的规律增长,增长的快慢由时间常数决定 所以 的波形图 第32页/共73页电容上的电流可根据电容的伏安关系求得 其波形如图(b)所示 是随时间逐渐衰减的。对于如图所示的RL电路，同样可求得其零状态响应 根据KCL可得 第33页/共73页电感两端的电压为 一阶RL电路与一阶RC电路的零状态响应具有相同的形式，iL(t)与uC(t)的一般式为第34页/共73页例4-6 在图(a)所示电路中,设开关闭合前电容无初始储能。t=0时，开关K闭合，求 时的 。解：因为电容无初始储能，所求为零状态响应，有（1）求稳态值由换路后的稳态电路(电容相当于开路)知 第35页/共73页（2）求时间常数，R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻 于是所求响应为 第36页/共73页3-4 一阶电路的全响应 当电路的初始状态与外加激励均不为零时，电路产生的响应称为全响应 根据叠加定理，可将初始状态和外加激励作为两个独立源，则全响应为零输入响应和零状态响应之和，即全响应=零输入响应+零状态响应 对一阶电路，全响应的一般公式可表示为 第37页/共73页例4-7 如图所示一阶电路，t=0时开关闭合，已知 ,试求t0时的 解：设零输入响应为uC1，零状态响应为uC2，则 第38页/共73页3-5 一阶电路的三要素分析法 如前所述，在恒定激励下，一阶电路中的电压和电流都是按指数规律变化的。图（a）按指数规律增加 图（b）按指数规律减小 并且在同一电路中，各支路电压、电流具有相同的时间常数。第39页/共73页由图（a）可写出f(t)的表达式为 图（a）按指数规律增加 将后一项相乘展开并整理得由图（b）可写出f(t)的表达式为 图（b）按指数规律减小 所以无论f(t)是按指数规律增加还是减小均可统一用上式表示。第40页/共73页 ，称为一阶电路的三要素。在分析电路时，只要求出这三个要素，就能直接写出响应的表达式，将这种求解一阶电路响应的方法称为三要素法。三要素法将一阶RC电路、RL电路、零输入响应、零状态响应，全响应的表达式统一起来，这样就使得一阶电路的分析大为简化 例4-9 电路如图(a)所示，当 时开关K是断开的，电路已处于稳态。当 时开关K闭合,求 时的电流 第41页/共73页解：此电路因包含两个动态元件,并非一阶电路，但当开关K闭合后，电路可分解为两个一阶电路，如图(b)、（c）所示。先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流 ，然后用KCL可得 。2（c）1+12V-2H2iLi2第42页/共73页在 t 0 时，K是断开的，电路已达到稳态，所以电容相当于开路，电感相当于短路。由换路定则有 换路后的(0+)等效电路如图(d)所示。由图可求得第43页/共73页(2)求时间常数第44页/共73页由图（b）可知 由图（c）可知 2（c）1+12V-2H2iLi2利用三要素公式可得 第45页/共73页例4-10 电路如图(a)所示，N为线性电阻网络，其零状态响应为 ,如果用L=2H的电感代替电容，如图(b)所示。试求该情况下的零状态响应。解：图(a)为一阶RC电路，由其响应可求出电路的三要素为第46页/共73页因为除L、C外，两电路的结构参数完全相同，所以对RC电路，uC(0+)=0在求u0(0+)时，电容相当于短路；在求u0()时，电容视为开路。对RL电路，iL(0+)=0在求u1(0+)时，电感相当于开路；在求u1()时，电感视为短路。求u1(0+)时求u0()等同于求u1()时求u0(0+)等同于故有：第47页/共73页对RC电路 ，可得 对RL电路 根据三要素法可得RL电路的响应为：第48页/共73页3-6 一阶电路的阶跃与冲激响应 3-6-1 单位阶跃信号 一、单位阶跃信号的定义二、单位阶跃信号的电路实现第49页/共73页三、单位延迟阶跃信号四、用单位阶跃信号表示各种脉冲信号第50页/共73页 单位阶跃信号(电压或电流)在零状态电路中产生的响应，称为单位阶跃响应。3-6-2 阶跃响应 阶跃响应实际上是恒定激励下的零状态响应，一般常采用三要素法求解。例 4-11 电路如图(a)所示，已知 ,求阶跃响应 。第51页/共73页解：（1）求初始值因为阶跃响应是零状态响应，所以 当电路达到稳态时，L可视为短路,等效电路如图(b)所以 （2）求稳态值 第52页/共73页（3）求时间常数 等效电阻R为 时间常数为故阶跃响应为 或表示为 第53页/共73页 例4-12 电路如图(a)所示，激励如图(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t0时，电路的响应u(t)。解：该电路的响应为全响应,可将其分为零输入响应和零状态响应,分别进行求解。1求解零输入响应uZi 因为第54页/共73页时间常数 零输入响应 2求零状态响应uZS（1）求单位阶跃响应对应的单位阶跃响应为u0(t)第55页/共73页根据三要素法可得（2）将给定uS(t)的用阶跃函数表示 第56页/共73页（3）根据线性定常电路的性质和叠加定理求uZS 线性定常电路有如下性质：若激励为 ，电路的响应为S（t），则当激励为时 ，其响应为 。对应的响应对应的响应对应的响应所以根据叠加定理可得:第57页/共73页3求电路的全响应u(t)第58页/共73页 3-6-3 单位冲激信号 一、单位冲激信号的定义 且 单位冲激信号可理解为一个宽度为，高度为1/的矩形脉冲函数在 0时的极限 第59页/共73页所以冲激强度实际表示的是(t)的图形面积为1。冲激信号还可以推广为 第60页/共73页对于任意一个在 处连续的函数，将有 因此有 有把一个函数在某一瞬间的值抽取出来的特性，这一特性称为单位冲激函数的采样。第61页/共73页单位阶跃函数和单位冲激函数有如下关系：的上述关系可证明如下：实际上波形是不能跃变的，所以 是上升速率很高的一种波形抽象化的结果。同样 也是矩形脉冲在 时的近似 第62页/共73页对 求导，结果恰好为是 即 当 时，上式即可表示为第63页/共73页 3-6-4 冲激响应 将单位冲激信号在零状态电路中产生的响应称为单位冲激响应。若将一个单位冲激电流加在初始状态为零的电容C上,则电容电压为:第64页/共73页 同理，若将一个单位冲激电压加在初始状态为零的电感L上,则电感电流:因此，在冲激激励作用下，零状态电路中的电感电流或电容电压均可发生跃变，而使储能元件瞬间获得能量。在 时，电路中的响应相当于由初始值引起的零输入响应。求一阶电路冲激响应的方法一:将冲激响应转化为零输入响应求解 第65页/共73页例4-13 图(a)所示零状态电路，求其单位冲激响应 。解：因为 ，所以在冲激电流源作用期间，电容元件可视为短路,所以 ,则有 当 时,可视为开路，此时电路的响应可按零输入响应求得，即第66页/共73页解：因为 ，所以电感可视为开路，则 电路的时间常数例4-14如图所示电路,已知 试求冲激响应。第67页/共73页则所求冲激响应为求一阶电路冲激响应的方法二:利用阶跃响应和冲激响应的关系来求解 第68页/共73页在线性电路中，若 响应响应则若电路的阶跃响应为 ，冲激响应为 ，则因为故必有 所以可以先求出电路的阶跃响应，再对其求导即可得其冲激响应。第69页/共73页例4-15 图(a)所示电路，求零状态响应 。解：（1）首先利用图(b)求得单位阶跃响应第70页/共73页根据三要素法得 根据冲激响应与阶跃响应的关系有第71页/共73页最后利用线性电路的齐次性可求得第72页/共73页感谢您的观看。第73页/共73页
