数值分析插值总结.pptx

Interpolation_introduction函数逼近的方法有很多，例如函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数，级数，Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小级数，有限元方法、边界元方法，小波分析等，大学科叫波分析等，大学科叫逼近论逼近论。本书讨论连续函数的逼近，主要介绍本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法插值法(chapter 2)和和最佳一直逼近、最小平方逼近最佳一直逼近、最小平方逼近离散数据拟合离散数据拟合(chapter 3)第1页/共66页Interpolation_introduction插值节点插值节点插值条件插值条件-插值问题插值问题多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数的近似的近似函数值函数值，零、极点零、极点，导数、积分导数、积分（第四章（第四章 数值积数值积分和数值微分），分和数值微分），解微分方程解微分方程（第五章）、（第五章）、积分方程积分方程插值插值第2页/共66页多项式插值多项式插值-polynomial interpolationProblem I.给定给定y=f(x)的函数表的函数表,xia,bniyxPiin,.,0,)(=求求 次数不超过次数不超过 n 的多项式的多项式 使得使得条件：条件：无重合节点无重合节点，即，即Interpolation intervalInterpolation conditionInterpolation polynomialInterpolation pointsInterpolation polynomial(2.1)(2.2)第3页/共66页x0 x1x2x3x4xPn(x)f(x)多项式插值的几何意义多项式插值的几何意义Interpolation polynomial 求求第4页/共66页插值多项式的唯一性插值多项式的唯一性 提问：提问：Problem I 中的中的Pn(x)是否存在？是否存在？若存在，是否唯一？如何求？若存在，是否唯一？如何求？Interpolation polynomial 第5页/共66页Interpolation polynomial 如何求？解线性方程如何求？解线性方程组（组（2.3）-待定系待定系数法数法第6页/共66页Interpolation polynomial 第7页/共66页2 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /*Lagrange Polynomial*/niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多项式次多项式 使得使得条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求使得使得111001)(,)(yxPyxP=可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线。两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称为称为拉氏基函数拉氏基函数 /*Lagrange Basis*/，满足条件满足条件 li(xj)=ij /*Kronecker Delta*/2 Lagrange Polynomial第8页/共66页n 1希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=ij；然后令；然后令，则显然有，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn=jiC0=nj i jxx)(inxxixxxxC0).().(ixl)(=j i jxixiC)(1=iixl1)(Lagrange Polynomial与节点有关，而与与节点有关，而与 f无关无关=niinxlxP0)()(yi 基函数法（基函数法（n=1情形的推广情形的推广）2 Lagrange Polynomial第9页/共66页定理定理 (唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值多项式阶插值多项式是唯一存在的。是唯一存在的。证明证明：(前面已利用前面已利用Vandermonde 行列式行列式论证论证)反证：若不唯一，则除了反证：若不唯一，则除了Ln(x)外还有另一外还有另一 n 阶多项阶多项式式 Pn(x)满足满足 Pn(xi)=yi。考察考察 则则 Qn 的阶数的阶数 n而而 Qn 有有 个不同的根个不同的根n+1x0 xn注注：若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n，则插值多项式，则插值多项式不唯一不唯一。例如例如 也是一个插值多项式，也是一个插值多项式，其中其中 可以是任意多项式。可以是任意多项式。2 Lagrange Polynomial第10页/共66页 插值余项插值余项/*Remainder*/设节点设节点在在a,b内存在内存在,考察截断误差考察截断误差，且，且 f 满足条件满足条件 ,Rolles Theorem:若若 充分光滑，充分光滑，则，则存在存在 使得使得 。推广：推广：若若使得使得使得使得存在存在使得使得Rn(x)至少有至少有 个根个根n+1=niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i=0,n),考察考察=niixtxKtRnt0)()()()(x)有有 n+2 个不同的根个不同的根 x0 xn x!)1()()()1(+-+nxKRxnn 注意这里是对注意这里是对 t 求导求导=+!)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1(+=+nfxKxn 2 Lagrange Polynomial第11页/共66页1 Lagrange Polynomial注：注：通常不能确定通常不能确定 x,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时，,可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的。的。Quiz:给定给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是下面哪个是 l2(x)的图像？的图像？y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x ABC 第12页/共66页1 Lagrange Polynomial例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推/*extrapolation*/的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*interpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择要计算的要计算的 x 所在的区间的所在的区间的端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。第13页/共66页1 Lagrange Polynomialn=2)185(50sin20 L0.76543sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值但绝对不是次数越但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿高就越好，嘿嘿第14页/共66页 When you start writing the program,you will find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial.Oh yeah?What if I find the current interpolation not accurate enough?Then you might want to take more interpolating points into account.Right.Then all the Lagrange basis,li(x),will have to be re-calculated.Excellent point!We will come to discuss this problemnext time.第15页/共66页3 逐次线性插值逐次线性插值 /*Lagrange Polynomial*/第16页/共66页第17页/共66页实际上实际上，是对两个低次插值的线性插值，这种通过低次插值再作是对两个低次插值的线性插值，这种通过低次插值再作线性插值生成高次插值的方法称为线性插值生成高次插值的方法称为逐次线性插值逐次线性插值。Aitken法法(按下表计算按下表计算)线性插值基函数线性插值基函数第18页/共66页增加增加如果精度不构，增加节点如果精度不构，增加节点x4,同时表中增加一行，三角同时表中增加一行，三角形斜边上即为所要求的各次插值多项式。形斜边上即为所要求的各次插值多项式。k1k0k2k3k4第19页/共66页 Neville法法(按下表计算按下表计算)增加增加如果精度不构，增加节点如果精度不构，增加节点x4,同时表中增加一行，三角形斜边上同时表中增加一行，三角形斜边上即为所要求的各次插值多项式。即为所要求的各次插值多项式。k1k0k1k1k1HW:用类似于前面的方法用类似于前面的方法构造构造Neville计算公式计算公式第20页/共66页注：注：Atkin方法和方法和Neville方法与方法与Lagrange公式相比，当公式相比，当需要增加节点时，很容易由低次插值构造高次插值，而需要增加节点时，很容易由低次插值构造高次插值，而Lagrange插值公式中，每个基函数都需要作适当变化。插值公式中，每个基函数都需要作适当变化。误差估计：误差估计：由插值多项式的存在唯一性知，仍有由插值多项式的存在唯一性知，仍有但这里可采用一种更简便的方法。当但这里可采用一种更简便的方法。当f(n+1)(x)在插在插值区间变化不大时，设值区间变化不大时，设f(n+1)(x)L，则有则有第21页/共66页可认为可认为 满足精度要求。满足精度要求。根据前面的计算结果估计当前根据前面的计算结果估计当前的误差：事后误差估计（实用）的误差：事后误差估计（实用），前面给出的误差估计（事先，前面给出的误差估计（事先误差估计）不实用误差估计）不实用HW:p.58-59#1-8第22页/共66页4 牛顿插值牛顿插值 /*Newtons Interpolation*/Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。公式不具有继承性，都需重新算过。公式不具有继承性，不利于编程。不利于编程。将将 Ln(x)改写成改写成的形式，希望每加一个节点时，的形式，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。?差商差商(亦称均差亦称均差)/*divided difference*/1阶差商阶差商/*the 1st divided difference of f w.r.t.xi and xj*/2阶差商阶差商f(x0)1阶差商的几何阶差商的几何意义：弦截线意义：弦截线的斜率的斜率4 Newtons Interpolation第23页/共66页4 Newtons Interpolation11101010111010,.,.,.,.,.,+=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商阶差商：事实上事实上其中其中 Warning:my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！第24页/共66页1.1.线性线性：2.2.差商差商可以表示为可以表示为函数值的线性组合函数值的线性组合：3.3.对称性：对称性：由由2 2知，知，差商的值与节点的顺序无关！差商的值与节点的顺序无关！4.4.差商的另一种定义：由差商的另一种定义：由2，3及均差定义可得及均差定义可得4 Newtons Interpolation第25页/共66页6.5.5.差商与导数的关系：差商与导数的关系：f(x)C ka,b,则则 a,b,s.t.HW:证明差商的性质证明差商的性质2，44 Newtons Interpolation第26页/共66页4 Newtons Interpolation 牛顿插值牛顿插值 /*Newtons Interpolation*/Nn(x)n次次多多项式，满足：项式，满足：Nn(xi)=f(xi)Rn(x)插值余项，插值余项，满足满足Rn(xi)=0，i=0,n ai=f x0,xi(1)(2)(n)(n)(n-1)(2)(1)第27页/共66页4 Newtons Interpolation注：注：由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，表达只是算法不同，表达形式不同，故其余项也相同，即形式不同，故其余项也相同，即 实际计算过程为实际计算过程为f(x0)f(x1)f(x2)f(xn 1)f(xn)f x0,x1f x1,x2 f xn 1,xnf x0,x1,x2 f xn 2,xn 1,xnf x0,xn f(xn+1)f xn,xn+1 f xn 1,xn,xn+1 f x1,xn+1 f x0,xn+1增加增加如果精度不构，增加节点如果精度不构，增加节点xn+1,同时表中增加一行，三角形斜边上同时表中增加一行，三角形斜边上即为所要求的各次项系数。即为所要求的各次项系数。第28页/共66页第29页/共66页4 Newtons Interpolation 等距节点公式等距节点公式 /*Formulae with Equal Spacing*/向前差分向前差分 /*forward difference*/iiifff=+1ikikikikffff1111)(+=向后差分向后差分 /*backward difference*/111 =ikikikfffi 1iifff=中心差分中心差分 /*centered difference*/其中其中当节点当节点等距等距分布时分布时:fi=f(xi)第30页/共66页 差分计算可通过构造差分表得到差分计算可通过构造差分表得到增加增加第31页/共66页第32页/共66页 差分的重要性质：差分的重要性质：线性：例如线性：例如 各阶差分可用函数值表示：各阶差分可用函数值表示：其中其中/*binomial coefficients*/4 Newtons Interpolation 函数值可用各阶差分表示：函数值可用各阶差分表示：第33页/共66页 差商与差分的关系：差商与差分的关系：若若 f(x)是是 n 次多项式，则次多项式，则 是是 次多项式，次多项式，而而 第34页/共66页 差分与导数的关系差分与导数的关系(由差分与差商、差商与导数的关系得）：由差分与差商、差商与导数的关系得）：第35页/共66页4 Newtons Interpolation等距节点牛顿公式等距节点牛顿公式 牛顿前差公式牛顿前差公式/*Newtons forward-difference formula*/第36页/共66页注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，故两时用后插，故两种公式亦称为种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。牛顿后差公式牛顿后差公式/*Newtons forward-difference formula*/HW:p.59#9-16 第37页/共66页5 厄米插值厄米插值 /*Hermite Interpolation*/第38页/共66页不仅要求函数值重合，而且要求若干阶不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 (x)满足满足 (xi)=f(xi),(xi)=f (xi),(mi)(xi)=f(mi)(xi).注：注：N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多项式即为Taylor多项式多项式其余项为其余项为一般只考虑一般只考虑 f 与与f 的值。的值。厄米插值厄米插值第39页/共66页3 Hermite Interpolation例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和 f(x1),求多项式求多项式 P(x)满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计误差。并估计误差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)h1(x)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。与与h0(x)完全类似。完全类似。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又又:(x1)=1 C1 可解。可解。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1与与 Lagrange 分析完全类分析完全类似似第40页/共66页3 Hermite Interpolation一般地，已知一般地，已知 x0,xn 处有处有 y0,yn 和和 y0,yn，求，求 H2n+1(x)满满足足 H2n+1(xi)=yi，H2n+1(xi)=yi。第41页/共66页第42页/共66页解：解：设设+=ni)()()(=0iixxyixH2n+1n=0iyi其中其中 i(xj)=ij,i(xj)=0,(xj)=0,(xj)=ij ii(x)有根有根 x0,xi,xn且都是且都是2重根重根 由余下条件由余下条件 i(xi)=1 和和 i(xi)=0 可解可解Ai 和和 Bi (x)i有根有根 x0,xn,除了除了xi 外都是外都是2重根重根 i)()(iili2(x)xxCx=又又 i (xi)=1 Ci=1i)(x)(ili2(x)xx=设设则则这样的这样的Hermite 插值唯插值唯一一i)()()(2xlBxAxiii+=i第43页/共66页第44页/共66页第45页/共66页第46页/共66页类似的，类似的，第47页/共66页Th.Th.设设f(x)C 2n+2a,b,则则 a,b,s.t.满足下面插值满足下面插值条件条件第48页/共66页第49页/共66页第50页/共66页第51页/共66页第52页/共66页第53页/共66页3 Hermite InterpolationQuiz:给定给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是下面哪个是 i(x)的图像的图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤：写出相应于条件的写出相应于条件的i(x)、i(x)的组合形式；的组合形式；对每一个对每一个i(x)、i(x)找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；最后完整写出最后完整写出H2n+1(x)。HW:p.59#17-19注：待定系数法仍适用，但插值节点多注：待定系数法仍适用，但插值节点多时比较麻烦。时比较麻烦。第54页/共66页4 分段低次插值分段低次插值 /*piecewise polynomial approximation*/Remember what I have said?Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result,since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)分段分段低次低次插值插值第55页/共66页4 Piecewise Polynomial Approximation 分段线性插值分段线性插值 /*piecewise linear interpolation*/在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。分段分段Hermite插值插值 /*Hermite piecewise polynomials*/给定给定在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数导数一般不易得到。导数一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f?Headache 第56页/共66页5 三次样条三次样条 /*Cubic Spline*/定义定义设设 。三次样条函数三次样条函数 ,且且在在每每个个 上上为为三三次次多多项项式式/*cubic polynomial*/。若若它它同同时时还还满满足足 ，则则称称为为 f 的的三三次次样样条条插插值值函函数数/*cubic spline interpolant*/.注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)第57页/共66页5 Cubic Spline 构造三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 /*method of bending moment*/在在 上，记上，记,for )()(1jjjxxxxSxS =对每个对每个j,此为此为3次多项式次多项式则则 Sj”(x)为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定之。个点的值确定之。12设设 Sj”(xj 1)=Mj 1，Sj”(xj)=Mj 对应力学中的对应力学中的梁弯矩梁弯矩，故名，故名对于对于x xj 1,xj 可可得到得到Sj”(x)=jjjjjjhxxMhxxM11 +积分积分2次，可得次，可得 Sj(x)和和 Sj(x)：jjjjjjjAhxxMhxxM+2)(2)(21121Sj(x)=jjjjjjjjBxAhxxMhxxM+6)(6)(3131Sj(x)=利用已知利用已知Sj(xj 1)=yj 1 Sj(xj)=yj 可解可解第58页/共66页5 Cubic SplinejjjjjjjhMMhyyA611 =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(+=+下面解决下面解决 Mj：利用利用S 在在 xj 的的连续性连续性xj 1,xj:Sj(x)=jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121 +1111211216,2)(2)(+jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj,xj+1:Sj+1(x)=利用利用Sj(xj)=Sj+1(xj)，合并关于，合并关于Mj 1、Mj、Mj+1的同类项，并的同类项，并记记 ,整理后整理后得到：得到：11jjjjhhh+=1jj-=),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-+-+=211gMMMjjjjjj=+-j 1n 1即：有即：有 个未知数，个未知数，个方程。个方程。n 1n+1还需还需2个个边界条件边界条件/*boundary conditions*/第59页/共66页5 Cubic Spline 第第1类边条件类边条件/*clamped boundary*/：S(a)=y0，S(b)=yna,x1:S1(x)=1011012112106,2)(2)(hMMxxfhaxMhxxM +010110),(62gy0 xxfhMM=+nnnnnngxxfynhMM=+),(6211类似地利用类似地利用 xn 1,b 上的上的 Sn(x)第第2类边条件：类边条件：S”(a)=y0”=M0，S”(b)=yn”=Mn这时：这时：特别地，特别地，M0=Mn=0 称为称为自由边界自由边界/*free boundary*/，对应的对应的样条函数称为样条函数称为自然样条自然样条/*Natural Spline*/。第第3类边条件类边条件/*periodic boundary*/：当当 f 为为周期函数周期函数时，时，yn=y0，S(a+)=S(b)M0=Mn 第60页/共66页5 Cubic Spline注：注：另有另有三转角法三转角法(p.49-53)得到样条函数，即设得到样条函数，即设 Sj(xj)=mj，则易知，则易知xj 1,xj 上的上的Sj(x)就是就是Hermite函数函数。再。再利用利用S”的连续性，可导出关于的连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边的方程组，加上边界条件即可解。界条件即可解。Cubic Spline 由由boundary conditions 唯一唯一确定。确定。收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则一致一致S(x)f(x)即即:提高精度只须提高精度只须增加节点增加节点,而无须提高样条阶数。而无须提高样条阶数。稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保证|0|,|0|,|n|,|n|2，则方程组系数阵为则方程组系数阵为SDD阵阵，保证数值稳定。保证数值稳定。HW:p.59-60,#19-25第61页/共66页5 Cubic Spline Sketch of the Algorithm:Cubic Spline 计算计算 j,j,gj;计算计算 Mj (追赶法等追赶法等);找到找到 x 所在区间所在区间(即找到相应的即找到相应的 j);由该区间上的由该区间上的 Sj(x)算出算出 f(x)的近似值。的近似值。插值法小结插值法小结 Lagrange:给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。时方便处理。Hermite：给出给出 yi 及及 yi，选，选 i(x)及及 i(x)。Spline：分段低次：分段低次,自身光滑自身光滑,f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。第62页/共66页6 快速傅立叶变换快速傅立叶变换 /*Fast Fourier Transform*/问题的背景问题的背景 /*background*/傅立叶变换傅立叶变换 函数展开为函数展开为三角级数三角级数设设 f(x)周期为周期为2，在，在 0,2 上展开为三角级数上展开为三角级数 ，其中其中Cj 为复系数，为复系数，则实际计算时要取级数，则实际计算时要取级数的前的前 N 项，并要求在区间的项，并要求在区间的N 个等分点上与个等分点上与f(x)重合。重合。即：给定即：给定0,2 上上N 个等分点个等分点 上的函数值上的函数值 ，令，令 满足插值条件满足插值条件 。N 个未知数个未知数N 个方程个方程Discrete Fourier TransformInverse of DFT总之要进行形如总之要进行形如 的计算，其中的计算，其中 已知，已知，第63页/共66页6 Fast Fourier Transform Fast Fourier Transform 快速计算快速计算 (j=0,1,N 1)，其中其中直接计算需直接计算需复数乘法复数乘法 次次N 2 降到降到 N logN由于由于W 的周期性的周期性W qN+s=W s,W k j 实际上只有实际上只有 这这 个不同的值。若个不同的值。若 N 为偶数，则为偶数，则W k j只有只有 个不同值。个不同值。10.NWWN N/2先先合并同类项合并同类项，再做乘法。，再做乘法。Im gonna need some magic here 第64页/共66页6 Fast Fourier Transform例：例：N=23=8,计算计算 ，j=0,1,2,3,4,5,6,7技巧：技巧：将将 k,j 先记为先记为二进制数二进制数/*binary numbers*/=+=+=)(222)(222012001122012001122jjjjjjjkkkkkkkkjW)222()222(001122001122+=kkkjjjW)()222()222(012010213212031422kkkjkkkjkkkjW+=)()0()00(012001102kkkjkkjkjW+=2 3次乘次乘法法全部计算需要全部计算需要2 3 8次乘法次乘法一般地：取一般地：取 N=2p，每个每个Cj 用用 2p 次乘法，共用次乘法，共用 2N log2N 次乘法。次乘法。利用利用 ，还可以进一，还可以进一步化简到步化简到 N(p 1)/2 次乘法。次乘法。HW:p.138#1第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页