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定义定义 一、事件的频率一、事件的频率第第1页页/共共54页页试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率 f 呈现出稳定性一、事件的频率一、事件的频率第第2页页/共共54页页实验者德 摩根蒲 丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005一、事件的频率一、事件的频率第第3页页/共共54页页 可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的频率具有稳定性频率具有稳定性，即通常所说的，即通常所说的统计规律性统计规律性.我们我们可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的可能性，得到概率的可能性，得到概率的统计定义统计定义.一、事件的频率一、事件的频率第第4页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义 在相同的条件下重复进行在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件次试验，其中事件发生了发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件的频率次，当试验次数充分大时，事件的频率nA/n将稳定在某一个常数将稳定在某一个常数p附近，则称此常数附近，则称此常数p为事件为事件出现的概率，记作出现的概率，记作注：注：当试验次数当试验次数n充分大时，根据频率的稳定性，可充分大时，根据频率的稳定性，可以用频率近似的代替概率，即以用频率近似的代替概率，即第第5页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义注意：注意：（1）理解频率与概率的区别与联系）理解频率与概率的区别与联系 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随机性很大的表面现象。是随机性很大的表面现象。（2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限）频率稳定于概率，但并非以概率为极限（3）统计定义的局限性）统计定义的局限性 试验试验n+1次所计算的频率并不一定比次所计算的频率并不一定比n次试验更加次试验更加接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。第第6页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义 鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们往往依照长期积累的关于往往依照长期积累的关于“对称性对称性”的实际经验，的实际经验，提出模型直接计算概率。这类模型称为提出模型直接计算概率。这类模型称为等可能试等可能试验概型。验概型。第第7页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义（1 1）古典试验概型）古典试验概型 若随机试验具有如下两个特征：若随机试验具有如下两个特征：中基本事件总数中基本事件总数n有限有限有限性有限性每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同等可能性等可能性则称该试验为古典型随机试验。则称该试验为古典型随机试验。2.概率的古典定义概率的古典定义第第8页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义（2 2）古典定义）古典定义 设古典型试验设古典型试验E的样本空间的样本空间中所含基本事件数中所含基本事件数为为n，A为任意一个事件，若设事件为任意一个事件，若设事件A包含的基本事包含的基本事件数为件数为m，则，则A发生的概率为发生的概率为第第9页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义注：注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这两个条件两个条件第第10页页/共共54页页例例1 一付扑克牌一付扑克牌54张，任取一张，求它是黑桃的概率。张，任取一张，求它是黑桃的概率。二、概率的定义二、概率的定义解解:以每一张扑克牌为基本事件，所以以每一张扑克牌为基本事件，所以设设A表示表示“任取一张是黑桃任取一张是黑桃”，注：注：若以花色为基本事件，共若以花色为基本事件，共5种花色，即种花色，即此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。第第11页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义 若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色为基本事件数求解均正确。即为基本事件数求解均正确。即以张数为基本事件：以张数为基本事件：以花色为基本事件：以花色为基本事件：第第12页页/共共54页页1、选择适当的样本空间满足有限与等可能、选择适当的样本空间满足有限与等可能二、概率的定义二、概率的定义利用古典定义解题的基本步骤：利用古典定义解题的基本步骤：2、计算样本点数量，利用公式解题。、计算样本点数量，利用公式解题。第第13页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义3.概率的几何定义概率的几何定义（1 1）几何试验概型）几何试验概型 若随机试验具有如下两个特征：若随机试验具有如下两个特征：中基本事件总数中基本事件总数无限不可数无限不可数无限无限性性每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同均匀性均匀性则称该试验为几何型随机试验。则称该试验为几何型随机试验。第第14页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义（2 2）几何定义）几何定义 设几何型试验设几何型试验E的样本空间的样本空间可用一有界区域描可用一有界区域描述，其中部分区域可描述述，其中部分区域可描述A事件所含样本点数量，事件所含样本点数量，则则A发生的概率为发生的概率为第第15页页/共共54页页注：注：试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位置形状无关。置形状无关。二、概率的定义二、概率的定义第第16页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义三大定义的局限：三大定义的局限：统计定义统计定义大量重复试验、破坏性试验大量重复试验、破坏性试验古典定义古典定义样本空间有限等可能样本空间有限等可能几何定义几何定义样本空间无限等可能样本空间无限等可能 鉴于此，数学家总结三者共性，提炼概率与事件鉴于此，数学家总结三者共性，提炼概率与事件间函数对应的本质以及诸多共同性质，于间函数对应的本质以及诸多共同性质，于19331933年，由年，由苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化结构，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.第第17页页/共共54页页二、概率的定义二、概率的定义4.概率的公理化定义概率的公理化定义思考：函数的定义域与值域是什么？思考：函数的定义域与值域是什么？第第18页页/共共54页页三、概率的性质三、概率的性质性质性质1注意：注意：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0，但概率为，但概率为0的事件的事件不一定为不可能事件；必然事件的概率为不一定为不可能事件；必然事件的概率为1，但，但概率为概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。性质性质2第第19页页/共共54页页三、概率的性质三、概率的性质性质性质3证明证明性质性质4性质性质5第第20页页/共共54页页三、概率的性质三、概率的性质性质性质6证明证明由图可得由图可得又由性质又由性质 3 得得因此得因此得第第21页页/共共54页页三、概率的性质三、概率的性质推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况第第22页页/共共54页页 例例2 某工厂职工可以订阅两种读物某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为，订阅杂志的概率为0.2,两种都订阅的概率为两种都订阅的概率为0.1.求求解解 事件事件A,B分别表示分别表示“订阅报纸和订阅杂志订阅报纸和订阅杂志”(1)(1)订阅报纸而不订阅杂志的概率订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2)至少订阅一种读物的概率至少订阅一种读物的概率;(3)两种读物都不订阅的概率两种读物都不订阅的概率.(2)(3)三、概率的性质三、概率的性质第第23页页/共共54页页例例3 三、概率的性质三、概率的性质第第24页页/共共54页页随随堂堂练习练习1.在在10到到99的所有两位数中任取的所有两位数中任取1个数字，求个数字，求其能被其能被2或者或者3整除的概率。整除的概率。第第25页页/共共54页页选选讲讲部分部分 求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事基本事件总数件总数和对所求概率事件和对所求概率事件有利的事件个数有利的事件个数在考虑事件数在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：掌握以下关于排列组合的知识是有用的：(1)(1)加法原理：加法原理：设完成一件事有设完成一件事有k类方法，每类又分类方法，每类又分别有别有m1,m2,mk种方法，而完成这件事只需其中一种种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有方法，则完成这件事共有m1+m2,+mk种方法种方法 (2)(2)乘法原理：乘法原理：设完成一件事有设完成一件事有n个步骤第一步有个步骤第一步有m1种方法、第二步有种方法、第二步有m2种方法，种方法，第第n步有步有mn 种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有m1 m2 mn种方法种方法.第第26页页/共共54页页(3)(3)不同元素的选排列不同元素的选排列 从从n个不相同的元素中无放回取个不相同的元素中无放回取k个的排列个的排列(k n)，称为从称为从n个不同元素中取个不同元素中取k个元素的选排列个元素的选排列,共有共有 种。种。当当 n k 时，称时，称n个元素的全排列共有个元素的全排列共有n！种。种。例如：例如：从从3个元素取个元素取出出2个的排列总数有个的排列总数有6种种选选讲讲部分部分第第27页页/共共54页页(4)(4)不同元素的重复排列不同元素的重复排列例如例如：从装有：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法从从n个不同的元索中，有放回地取个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排个元素进行的排列，共有种（元素允许重复列，共有种（元素允许重复 ）。）。选选讲讲部分部分第第28页页/共共54页页(5)(5)不全相异元素的排列不全相异元素的排列在在n个元素中，有个元素中，有m类不同元素、每类各有类不同元素、每类各有k1,k2,km 个，将这个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：个元素作全排列，共有如下种方式：k1个个元素元素k2个个元素元素km个个元素元素n个个元素元素因为因为:选选讲讲部分部分第第29页页/共共54页页(6)(6)环排列环排列 从从n个不同元素中，选出个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：个圆圈的排列，共有：(7)(7)组合组合从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列个而不考虑其次序的排列（组合），共有（组合），共有 种种.4123412311242343每个排列每个排列重复了重复了4次次排列数为排列数为选选讲讲部分部分第第30页页/共共54页页 我们主要学习等可能概型我们主要学习等可能概型(古典概型古典概型)四、例题分析四、例题分析古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式第第31页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析 古典概型中主要介绍两大典型例题：古典概型中主要介绍两大典型例题：第第32页页/共共54页页（一）抽球问题（随机抽取问题）（一）抽球问题（随机抽取问题）四、例题分析四、例题分析例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球，分析球，分析下列事件概率：下列事件概率：古典概型的等可能性决定了不能按照颜色划古典概型的等可能性决定了不能按照颜色划分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。第第33页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）1 1、有放回抽取、有放回抽取 抽取问题中的有放回抽取自然区分顺序，因此抽取问题中的有放回抽取自然区分顺序，因此样本空间的样本点总数为：样本空间的样本点总数为：例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球第第34页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）2 2、无放回抽取、无放回抽取 无放回抽取分为有序与无序两种方式。有序即无放回抽取分为有序与无序两种方式。有序即每次取一，不放回；无序即指一次性取够，不放回。每次取一，不放回；无序即指一次性取够，不放回。例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球（有序抽取）（有序抽取）第第35页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）2 2、无放回抽取、无放回抽取例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球（无序抽取）（无序抽取）我们发现不同方式下结果一致，但显然无序我们发现不同方式下结果一致，但显然无序抽取要比有序抽取计算简单。抽取要比有序抽取计算简单。第第36页页/共共54页页 重新整理无放回抽取的计算思路，并且发现，重新整理无放回抽取的计算思路，并且发现，三个事件均可转化成三个事件均可转化成“恰有恰有”类型的事件或运算，类型的事件或运算，因此我们以第二个事件因此我们以第二个事件“恰有一个白球恰有一个白球”为例为例四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）64白白2红红1白白1红红任取任取2球球传说中的传说中的“超几何概率超几何概率”模型模型第第37页页/共共54页页超几何概率：超几何概率：四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）NMN-Mkn-k任取任取n条件：无放回抽取。目的：简化运算条件：无放回抽取。目的：简化运算特点：分子分母组合对应项满足和运算特点：分子分母组合对应项满足和运算第第38页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）例例5 一批产品有一批产品有12件，其中件，其中4件次品，件次品，8件正品，件正品，现从中任取现从中任取3件，求取出的件，求取出的3件中含有次品的概率件中含有次品的概率.解：设解：设则则另解另解两两互斥，两两互斥，第第39页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（抽球问题抽球问题）1 袋中有袋中有10个球，编号个球，编号110，从中任取，从中任取3球，不放回球，不放回.求求：最小号码是：最小号码是5的概率；的概率；最大号码是最大号码是7的概率。的概率。练习练习2 某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中桶油漆，其中10桶白漆，桶白漆，4桶黑桶黑 漆，漆，3桶红漆，在搬运中所有标签脱落，交货人随意桶红漆，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将油漆发给顾客将油漆发给顾客.问一个订了问一个订了4桶白漆桶白漆3桶黑漆桶黑漆2桶红桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到所订货的概率漆的顾客，能按所订颜色如数得到所订货的概率.答案答案第第40页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析（质点落质点落入入问题问题）（二）生日问题（分房问题）（二）生日问题（分房问题）特点：特点：（1）每个人的生日有）每个人的生日有 种可能；种可能；（2）任意一天可以容纳很多人的生日。）任意一天可以容纳很多人的生日。例例6 房内有房内有500人，问至少一人生日是人，问至少一人生日是10月月1日的概率。日的概率。解：因每人生日都有解：因每人生日都有365种可能，故种可能，故设设A：至少一人生日在：至少一人生日在10月月1日，则日，则P(A)=P(至少一人生日在至少一人生日在10月月1日日)=1-P(大家生日都不在大家生日都不在10月月1日日)第第41页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析u分析分析此问题可以用投球入盒模型来模拟此问题可以用投球入盒模型来模拟500个人个人500个小球个小球365天天365个盒子个盒子相似地有分房问题与投信问题相似地有分房问题与投信问题 信件信件 邮筒邮筒人人 房子房子四、例题分析四、例题分析（质点落质点落入入问题问题）u特点：特点：每一个元素面对多个选择，一次只能主动选择一种；每一个元素面对多个选择，一次只能主动选择一种；每一种选择被动的可以容纳多个元素。每一种选择被动的可以容纳多个元素。u关键：关键：第第42页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析解：每球都有解：每球都有N种放法，种放法，（1）当）当n=N时，每盒恰有一球，时，每盒恰有一球，n个球共个球共 n!种放法，种放法，设设A表示表示“每盒恰有一球每盒恰有一球”，则，则四、例题分析四、例题分析（质点落质点落入入问题问题）n个球共个球共 种放法，种放法，例例7 设有设有n个球，随机地放入个球，随机地放入N个盒子中，试求：个盒子中，试求：（1）当）当n=N时，每盒恰有一球的概率；时，每盒恰有一球的概率；（2）当）当nN时，任意时，任意n个盒子中各有一球的概率。个盒子中各有一球的概率。第第43页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析例例7 设有设有n个球，随机地放入个球，随机地放入N个盒子中，试求：个盒子中，试求：（1）当）当n=N时，每盒恰有一球的概率；时，每盒恰有一球的概率；（2）当）当nN时，任意时，任意n个盒子中各有一球的概率。个盒子中各有一球的概率。解解:（2）当）当nN时，盒多球少，先从时，盒多球少，先从N个盒中任取个盒中任取n个，个，再在取出的再在取出的n个盒中每盒放一个，个盒中每盒放一个，共共 n!种放法，种放法，设设B表示表示“任意任意n个盒中各有一球个盒中各有一球”，则，则四、例题分析四、例题分析（质点落质点落入入问题问题）共有共有 种可能，种可能，第第44页页/共共54页页四、例题分析四、例题分析例例8 将将3个球随机放入个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数最多为个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？的概率各是多少？解：设解：设A，B，C分别表示杯中球数最多为分别表示杯中球数最多为1，2，3，于是放球过程所有可能结果为于是放球过程所有可能结果为四、例题分析四、例题分析（质点落质点落入入问题问题）第第45页页/共共54页页例例9 将将 15 名新生（其中名新生（其中3名是优秀生）随机地分配到名是优秀生）随机地分配到三个班级中三个班级中,其中一班其中一班4人，二班人，二班5人，三班人，三班6人人.求求 (1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解：解：15名新生按要求分配到三个班级中的分法总数名新生按要求分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有四、例题分析四、例题分析第第46页页/共共54页页因此所求概率为因此所求概率为(2)四、例题分析四、例题分析第第47页页/共共54页页练习练习1 1 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解：解：随随堂堂练习练习第第48页页/共共54页页说明说明随随堂堂练习练习第第49页页/共共54页页我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.随随堂堂练习练习第第50页页/共共54页页练习练习2 2 从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?解：解：A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双只鞋子中至少有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双只鞋子中没两只鞋子配成一双随随堂堂练习练习第第51页页/共共54页页练习练习3 3 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有随随堂堂练习练习第第52页页/共共54页页小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为随随堂堂练习练习第第53页页/共共54页页感谢您的观看。感谢您的观看。第第54页页/共共54页页