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第8章扭转第1页，本讲稿共96页我们在第六章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样我们在第六章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：的问题：mmMTTxxMTTABABabT|m|m lTbO第2页，本讲稿共96页杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角变形，产生相对扭转角 bOb(B截面相对于截面相对于A截面），截面），受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT。本章主要研究以下内容：本章主要研究以下内容：(1)薄壁圆筒扭转时的应力和应变；薄壁圆筒扭转时的应力和应变；(2)圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）(3)简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生扭曲求解复杂。）面不再保持平面，要发生扭曲求解复杂。）第3页，本讲稿共96页 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？还是切应力？为什么？思考题思考题 8-1 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。合力不可能是个作用在横截面上的力偶。第4页，本讲稿共96页受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为（以弧度计）称之为切应变切应变。8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变TT(rad)l平均半径为平均半径为 r。厚度为。厚度为且且 r。第5页，本讲稿共96页 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系TT(rad)l第6页，本讲稿共96页沿外圆周的切向，如下图所示。沿外圆周的切向，如下图所示。TMT（MT=T）上述内容主要说明：(1)薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；(2)薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；第7页，本讲稿共96页(3)薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的切线。切线。对于薄壁圆筒（对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。即如图中所示。即如图中所示。TMT（MT=T）第8页，本讲稿共96页 这样，知道了切应力这样，知道了切应力t t 的分布规律后的分布规律后，便可以利用，便可以利用静力学关系静力学关系r 用平均半径用平均半径r0代替代替 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。况下导出的。则从而有(8-1)第9页，本讲稿共96页 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角加力偶矩在某一范围内时，扭转角f f 与外力偶矩与外力偶矩T之之间成正比。间成正比。TO剪切比例极限O第10页，本讲稿共96页剪切比例极限O图中的线性关系为图中的线性关系为 t t=Gg g 上式称之为材料的剪切胡克定律。上式称之为材料的剪切胡克定律。(拉压胡克定拉压胡克定律律 s s=Ee e)式中式中 G材料切变模量，量纲为材料切变模量，量纲为MPa。如各种钢的如各种钢的切变模量均约为切变模量均约为8.0104 MPa，至于剪切比例极限，至于剪切比例极限，则随钢种而异；则随钢种而异；Q235钢，钢，t tp=120 MPa。第11页，本讲稿共96页 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数剪切弹性模量与其它两弹性参数E和和n n 之间存在下列之间存在下列关系：关系：泊松比第12页，本讲稿共96页 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形8.2.1 横截面上的切应力横截面上的切应力 现在的关键在于：现在的关键在于：确定切应力在横截面上的变化规律，即横确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径截面上距圆心为任意半径r r 的一点处切应力的一点处切应力t tr r与与r r的关系。的关系。第13页，本讲稿共96页首先观察受扭时，表面的变首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的还要利用应力和应变之间的物理关系。物理关系。(1)几何关系几何关系 (2)物理关系物理关系 (3)静力学关系静力学关系 第14页，本讲稿共96页1.几何关系：几何关系：(1)等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。如下图，实验表明：如下图，实验表明：ABabObTT第15页，本讲稿共96页(2)平截面假设平截面假设 等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。是绕圆心旋转了一个角度。ABabObTT第16页，本讲稿共96页取微段取微段dx分析：得半径为分析：得半径为r r的任意圆杆面上的切的任意圆杆面上的切应变。应变。(a)rd x式中：式中：d f f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是是长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，常量。这样，等直圆杆受扭时，r r与与g gr r 成线性关系。成线性关系。(1)第17页，本讲稿共96页2.物理关系：物理关系：由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：t tr r=Gg gr r，在，在 t tt tp 时，可把时，可把(1)式代入，得：式代入，得：上式表明：受扭的等直杆在上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径上的切应力在同一半径r的圆周的圆周上各点处大小相同，但它们随上各点处大小相同，但它们随r r 作线性变化，同一横截面上的最作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图大切应力在圆周边缘上（图(b)，方向垂直于各自的半径。方向垂直于各自的半径。(b)(2)第18页，本讲稿共96页上式与上式与MT没有联系起来。没有联系起来。若等截面圆杆在若等截面圆杆在MT 作用下，则作用下，则t t 如何？如何？3.静力学关系：静力学关系：(2)第19页，本讲稿共96页当当d d/r0=10，其误差为，其误差为4.5。TT(rad)l由上图得 式中 r为圆筒外半径。则第20页，本讲稿共96页 整个横截面面积整个横截面面积A范围内每个微面积范围内每个微面积dA乘以它乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：来表示，即：(2)（单位：mm4或m4）第21页，本讲稿共96页第22页，本讲稿共96页等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。公式。若求若求t tmax，则令，则令r r=r，有，有又故第23页，本讲稿共96页上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。性弹性范围内受扭情况。改写成其中抗扭截面模量 ，常用单位：mm3或m3。第24页，本讲稿共96页.OABMT思考题思考题8-2 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩横截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘亦如图所示，试绘出水平直经出水平直经AB上各点处切应力的变化图。上各点处切应力的变化图。第25页，本讲稿共96页MTABO思考题思考题8-2参考答案参考答案:第26页，本讲稿共96页 一受扭圆轴一受扭圆轴,由实心杆由实心杆1和空心杆和空心杆2紧配合而成。紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿试绘出切应力沿水平直经的变化图，若水平直经的变化图，若(1)两杆材料相同，即两杆材料相同，即G1=G2=G；(2)两材料不同，两材料不同，G1=2G2。MT12思考题思考题8-3第27页，本讲稿共96页思考题思考题8-3(1)答案：答案：MTG1=G2=G21第28页，本讲稿共96页思考题思考题8-3(2)答案：答案：MTG1=2G221第29页，本讲稿共96页主要计算实心圆截面和空心圆截面。主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有如图有o8.2.2 极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量Ip和和Wp 对于实心圆截面对于实心圆截面 第30页，本讲稿共96页o对于空心圆截面（外径对于空心圆截面（外径D，内内径径d）式中：式中：a a=d/D第31页，本讲稿共96页千万不要出错！应当注意：应当注意：第32页，本讲稿共96页8.2.3 扭转角扭转角第33页，本讲稿共96页若若 l 范围内，范围内，T是常量，是常量，GIp也为常量，则上式也为常量，则上式GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。lTT比较：第34页，本讲稿共96页 一水轮机的功率为一水轮机的功率为Nk=7350 kW，其，其竖轴是直径为竖轴是直径为d=650 mm，而长度为而长度为l=6000 mm的等的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G=0.8105 MPa。求当水轮机以转速。求当水轮机以转速n=57.7 r/min匀速旋转时，匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f f。OTa例题 8-2第35页，本讲稿共96页OTa解：轴传递功率解：轴传递功率Nk(kW)，相当于每分钟传递功相当于每分钟传递功 W=1000Nk60(Nm)(1)令令(1)、(2)相等，得相等，得外力偶作功 (2)即例题 8-2第36页，本讲稿共96页因此作用在轴上的外力偶矩因此作用在轴上的外力偶矩T为为OTa极惯性矩例题 8-2第37页，本讲稿共96页 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：已知：T1=1592Nm，T2=955Nm，T3=637Nm截面截面A与截面与截面B、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴的直径。轴的直径d=70mm,钢的剪切弹性钢的剪切弹性模量模量G=8104 MPa。试求截面试求截面C对对B的扭转角的扭转角 dABC例题 8-3第38页，本讲稿共96页 dABC解：由截面法得解：由截面法得，两段内扭矩分别为两段内扭矩分别为M T=955 Nm,M T=637 Nm。先分计算。先分计算B，C截面截面对对A之扭转角之扭转角f fAB，f fAC,则可以假想此时则可以假想此时A不动。不动。例题 8-3第39页，本讲稿共96页 dABC由于假想截面由于假想截面A固定不动，故固定不动，故截面截面B、C相对于截面相对于截面A的相对的相对转动应分别与扭转力偶矩转动应分别与扭转力偶矩T2、T3的转向相同，从而的转向相同，从而f fAB和和f fAC的转向相同。由此可见，截面的转向相同。由此可见，截面C对对B的扭转角的扭转角f fBC应是：应是：上两式中的Ip可以利用例题 8-3第40页，本讲稿共96页其转向与扭转力偶矩其转向与扭转力偶矩T3相同。相同。dABC例题 8-3第41页，本讲稿共96页 直径直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩的钢圆轴，其横截面上的扭矩MT=1.5 kNm，求横截面上的最大切应力。求横截面上的最大切应力。思考题思考题8-4T=1.5 kN mTlT第42页，本讲稿共96页思考题思考题 8-5 空心圆轴的直径空心圆轴的直径d=100 mm，长长l=1m，作用，作用在两个端面上的外力偶之矩均为在两个端面上的外力偶之矩均为T=14 kNm，但转但转向相反。材料的切变模量向相反。材料的切变模量G=8104 MPa。求：求：(1)横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。转角。(2)图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。三点处切应力的大小及方向。ABCO25TlT第43页，本讲稿共96页(1)t tmax=71.3 MPa f f=0.01784 rad(2)t tA=t tB=t tmax=71.3 MPa t tC=35.7 MPa思考题思考题8-5答案：答案：ABCO25第44页，本讲稿共96页 下图下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解所示的扭转超静定问题，若假想地解除除B端的约束，而利用端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位截面的扭转角为零作为位移条件求解移条件求解(图图(b)，试列出其求解过程。试列出其求解过程。AablCBT思考题思考题8-6第45页，本讲稿共96页ATBTB思考题思考题8-6答答案：案：先考虑先考虑 T 作用，则作用，则只考虑只考虑TB的作用，则的作用，则第46页，本讲稿共96页ATBTB相容条件：相容条件：则TA=T b/l上述结果可与书例题上述结果可与书例题8-3进行比较。进行比较。得第47页，本讲稿共96页8.2.4 斜截面上的应力斜截面上的应力通过扭转实验发现：通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断；的螺旋线剪断；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。第48页，本讲稿共96页方法：扭杆假想切开斜截面方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面xTA(a)点上切一个单元体点上切一个单元体第49页，本讲稿共96页(1)左、右横截面左、右横截面(2)顶、底面，径向截面顶、底面，径向截面(3)前、后面，切向截面前、后面，切向截面xx(b)adcd第50页，本讲稿共96页思考题思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面）横截面AGB上应力沿直径上应力沿直径AB的分布；的分布；（2）径截面）径截面ABEF上应力分别沿直径上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。的分布。ECFDBAG第51页，本讲稿共96页思考题思考题8-7答案答案:ECFDBAG第52页，本讲稿共96页 现从受扭圆杆件的表面现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图取出一单元体（图(b)）,图图(b)处于纯剪切状态处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：现改其为平面图表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)第53页，本讲稿共96页yabcdenx(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的上的应力应力,如图如图(a)、(b)。de 斜面作着未知的正应斜面作着未知的正应力力s sa a和切应力和切应力t ta a。detnxc(b)设设de的面积为的面积为dA，则则第54页，本讲稿共96页detnxc(b)简化后：同理得：第55页，本讲稿共96页detnxc(b)当当a a0o与与a a90o时：时：t ta a有最大值，即为有最大值，即为t ta a=45o的情况下：的情况下：s sa a有极值，即为有极值，即为t t。a a=145o，s sa a=s smin=-t ta a=-45o，s sa a=s smax=+t t第56页，本讲稿共96页由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿是沿45方向拉伸引起的断裂。方向拉伸引起的断裂。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力的最大拉应力s smax总是等于横截面上相应的应力，总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的面上的t t 作为依据。如下图所示。作为依据。如下图所示。TT断裂线min第57页，本讲稿共96页1.薄壁圆筒扭转时的应力和变形。薄壁圆筒扭转时的应力和变形。小结：小结：2.圆杆扭转时的应力和变形。圆杆扭转时的应力和变形。(1)横截面上的应力横截面上的应力材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律、n n三者之间的关系三者之间的关系第58页，本讲稿共96页(a)几何关系几何关系 (b)物理关系物理关系(c)静力学关系静力学关系第59页，本讲稿共96页(d)极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量实心圆截面实心圆截面代入Ip得第60页，本讲稿共96页空心圆截面空心圆截面扭转角扭转角斜截面上的应力斜截面上的应力第61页，本讲稿共96页思考题思考题 8-8 直径直径d=25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作用时，在标距为作用时，在标距为200 mm的长度内伸长了的长度内伸长了 0.113 mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2 kNm的外力偶作用而的外力偶作用而扭转时，相距扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转动了的两个横截面相对转动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数E、G和和n。第62页，本讲稿共96页思考题思考题8-8答答案案第63页，本讲稿共96页 实心或空心圆截面杆受扭时实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点杆内所有的点均处于纯剪切应力状态均处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横而整个杆的危险点在横截面的边缘处。截面的边缘处。8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件1.强度条件强度条件受扭圆杆的强度条件：对于等截面杆：危险点必在MTmax 所在截面边缘处,即由以上两式得到第64页，本讲稿共96页 根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行件进行 (1)校核强度校核强度(2)选择截面尺寸选择截面尺寸(3)计算容许荷载计算容许荷载2.刚度条件刚度条件 满足了强度条件，但若变形过大，必将对满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率沿杆长的变化率q q(=df f/dx),其最大值其最大值q qmax不超不超过某一规定的容许值过某一规定的容许值q q 来表达，即来表达，即第65页，本讲稿共96页式中式中q q 为单位长度杆的容许扭转角，单位为单位长度杆的容许扭转角，单位/m来计算。化为角度每米则为来计算。化为角度每米则为对于等直的圆杆，其qmax按式：(8-17)式中，式中，MTmax Nm，G Pa，Ip m4第66页，本讲稿共96页 容许扭转角容许扭转角q q，对于精密仪器的轴，对于精密仪器的轴，常常取，常常取 0.150.30/m。至于一般的轴则取至于一般的轴则取 2/m。书例8-4校核强度和刚度书例8-5选择截面尺寸 书例8-6 建立强度条件第67页，本讲稿共96页 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1=4 cm,d2=7 cm,轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为输入的功率为T3=30 kW轮轮1输出的功率为输出的功率为 T1=13 kW,轴作匀速转动轴作匀速转动,转速转速n=200转转/分分,材料的剪切材料的剪切许用应力许用应力t t=60 MPa,G=80 GPa,许用扭转角许用扭转角q q=2/m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2第八章 扭 转例题 8-7第68页，本讲稿共96页解解:计算扭矩：计算扭矩：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2强度校核：强度校核：例题 8-7第69页，本讲稿共96页故强度满足。故强度满足。刚度校核：刚度校核：AC段：段：0.5 m 0.3 m1 mACDB123d1d2例题 8-7第70页，本讲稿共96页0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2故刚度满足。故刚度满足。DB段：例题 8-7第71页，本讲稿共96页实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速知轴的转速n=100 转转/分，传输功率分，传输功率N=7.5 kW,材料材料的容许切应力的容许切应力t t=40MPa试选择实心轴直径试选择实心轴直径d1和内和内外径比值为外径比值为0.5的空心轴的外径的空心轴的外径D。例题 8-8第72页，本讲稿共96页解解:扭矩计算：扭矩计算：计算实心轴直径计算实心轴直径,由强度条件由强度条件例题 8-8第73页，本讲稿共96页计算空心轴直径计算空心轴直径,由强度条件由强度条件:例题 8-8第74页，本讲稿共96页 如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，f f 与与Me成线成线性关系。性关系。8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能MeMe第75页，本讲稿共96页MeMe又 则或第76页，本讲稿共96页对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分析入手。析入手。例如：例如：从而知：左段杆内的应变能：从而知：左段杆内的应变能：第77页，本讲稿共96页整个杆内积蓄的应变能为：整个杆内积蓄的应变能为：右段杆内：第78页，本讲稿共96页思考题思考题 8-9(1)求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。l=1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1=4 kNm(c)第79页，本讲稿共96页(2)杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于前两种情况下的叠加？应变能呢？等于前两种情况下的叠加？应变能呢？l=1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1=4 kNm(c)第80页，本讲稿共96页思考题思考题8-9答案：答案：(1)第81页，本讲稿共96页(2)第82页，本讲稿共96页思考题思考题8-10求下列各图杆的应变能。求下列各图杆的应变能。Fp=F/ll(a)(b)ABABAAlT(c)dABlt(d)dAB第83页，本讲稿共96页思考题思考题8-10答案：答案：Fl(a)ABAp=F/llABAxdxFN(x)px(b)(b)取微段分析取微段分析(a)第84页，本讲稿共96页思考题思考题8-10答案：答案：lT(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中(d)取微段分析第85页，本讲稿共96页ltdABdxtxT(x)(d)思考题思考题8-10答案：答案：第86页，本讲稿共96页8-5 矩形截面的扭转矩形截面的扭转1.几个概念几个概念 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,横截面会发生扭曲。因横截面会发生扭曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。扭转时的应力变形的计算公式。(1)约束扭转约束扭转 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲既然横截面要发生翘曲,因此，如果翘曲受到牵制因此，如果翘曲受到牵制,例如杆件是变截面的，例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。扭转。第87页，本讲稿共96页(2)自由扭转自由扭转横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。第88页，本讲稿共96页2.矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面上最大的剪应力在长边的中点，其计式为截面上最大的剪应力在长边的中点，其计式为单位长度杆的扭转角：单位长度杆的扭转角：其中：Wt 抗扭截面模量抗扭截面模量It 相当极惯性矩相当极惯性矩第89页，本讲稿共96页GIt 杆的抗扭刚度杆的抗扭刚度It 和和 Wt 除了在量纲上与圆截面的除了在量纲上与圆截面的Ip 和和 Wp 相同外，相同外，在几何意义上则是不同的。在几何意义上则是不同的。其中其中a a和和b b由表由表8-1差得，此系数随差得，此系数随m=h/b的比值而的比值而变。其中变。其中h为长边尺寸，为长边尺寸，b为短边尺寸。为短边尺寸。矩形截面：则强度条件刚度条件第90页，本讲稿共96页由弹性力学分析结果表明：由弹性力学分析结果表明：横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力t tmax发生在长边中点。发生在长边中点。而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值可以按下式计算。力中的最大值可以按下式计算。如右图，矩形截面周边如右图，矩形截面周边上各点处的切应力方向上各点处的切应力方向必与周边相切。这是因必与周边相切。这是因为杆表面上没有切应力，为杆表面上没有切应力，故由切应力互等定理可故由切应力互等定理可知：知：第91页，本讲稿共96页 在横截面上周边上各点处在横截面上周边上各点处不可能有垂直于周边的切应力不可能有垂直于周边的切应力分量。分量。矩形截面上矩形截面上,顶点处的顶点处的切应力必等于零。切应力必等于零。第92页，本讲稿共96页弹性力学的分析结果还表明弹性力学的分析结果还表明:狭长矩形截面的狭长矩形截面的It 和和 Wt 有有切应力在沿长边各点处的方向均切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切与长边相切,其数值除在靠近顶其数值除在靠近顶点处以外均相等，如图所示：点处以外均相等，如图所示：h第93页，本讲稿共96页 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为为h=100 mm,b=50 mm,长度长度l=2 m，在杆的两端作在杆的两端作用一对矩为用一对矩为T的扭转力偶。已知的扭转力偶。已知T=4000 Nm，钢的钢的允许切应力允许切应力 t t=100MPa，G=8104 MPa,q q=1o/m,试校核杆的强度和刚度。试校核杆的强度和刚度。解：解：例题 8-9第94页，本讲稿共96页以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。求。例题 8-9第95页，本讲稿共96页第96页，本讲稿共96页