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第五章 点的运动学描述和刚体的简单运动1第1页，共60页，编辑于2022年，星期三 运运动动学学是是研研究究物物体体运运动动几几何何性性质质的的科科学学。是是从从几几何何学学方方面面来来研研究究物物体体的的机机械械运运动动，不不研研究究物物体体的的运运动动规规律律与与力力、惯惯性性等等物物理理因因素素的的关关系系，单单独独研研究究物物体体运运动动的的几几何何性性质质，包括：包括：运动方程、轨迹、速度和加速度等运动方程、轨迹、速度和加速度等。学学习习运运动动学学的的意意义义：首首先先是是为为学学习习动动力力学学打打下下必必要要的的基基础。其次运动学本身也有独立的应用。础。其次运动学本身也有独立的应用。由由于于物物体体运运动动的的描描述述是是相相对对的的。将将观观察察者者所所在在的的物物体体称称为为参参考考体体，固固结结于于参参考考体体上上的的坐坐标标系系称称为为参参考考系系。只只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。2第2页，共60页，编辑于2022年，星期三3第3页，共60页，编辑于2022年，星期三 本本章章介介绍绍三三种种方方法法（即即矢矢量量法法、直直角角坐坐标标法法和和自自然然法法）研研究究点点相相对对某某一一个个参参考考系系的的几几何何位位置置随随时时间间变变化化的的规规律律，包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。本章内容本章内容 5.1 点的运动学描述点的运动学描述 5.2 刚体的平移刚体的平移 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.4 轮系的传动比轮系的传动比 5.5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度4第4页，共60页，编辑于2022年，星期三1.1.运动方程运动方程选选取取参参考考系系上上某某确确定定点点O为为坐坐标标原原点点，自自点点O向向动动点点M作作矢矢量量r，称称为为点点M相相对对原原点点O的的位位置置矢矢量量，简简称称矢矢径径。5.1 点的运动学描述点的运动学描述MrO以矢量表示的以矢量表示的点的运动方程点的运动方程 当当动动点点 M 运运动动时时，矢矢径径r 随随时时间间而而变变化，并且是时间的单值连续函数，即化，并且是时间的单值连续函数，即矢端曲线即为动点矢端曲线即为动点运动轨迹运动轨迹一、矢量法一、矢量法5第5页，共60页，编辑于2022年，星期三2.2.速度速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r6第6页，共60页，编辑于2022年，星期三3.3.加速度加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。7第7页，共60页，编辑于2022年，星期三 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定加速度的方向确定8第8页，共60页，编辑于2022年，星期三 由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，所以矢径r可表示为：则动点M在任意瞬时的空间位置，既可用相对于O的矢径r表示，这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。二、二、直角坐标法直角坐标法MrkijyxzOyxz有一动点M。也可用它的三个直角坐标表示。也是点运动轨迹的参数方程1.1.运动方程运动方程 取一固定的直角坐标系Oxyz，9第9页，共60页，编辑于2022年，星期三 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。2.速度若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为10第10页，共60页，编辑于2022年，星期三 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。3.加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向也可确定11第11页，共60页，编辑于2022年，星期三解解：以以O为为坐坐标标圆圆点点，建建立立如如图图坐坐标标系。系。M点的坐标为：点的坐标为：将将j j=t带入上式，得带入上式，得M点的点的运动方程运动方程：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：BABOKMKxjx例例1 如如图图为为偏偏心心驱驱动动油油泵泵中中的的曲曲柄柄导导杆杆机机构构。设设曲曲柄柄 OA 长长为为r，自自水水平平位位置置开开始始以以匀匀角角速速度度 转转动动，即即j j=t，滑滑槽槽K-K与与导导杆杆B-B制制成成一一体体。曲曲柄柄端端点点A通通过过滑滑块块在在滑滑槽槽K-K中中滑滑动动，因因而而曲曲柄柄带带动动导导杆杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。12第12页，共60页，编辑于2022年，星期三例例2 一一人人高高 h2，在在路路灯灯下下以以匀匀速速v1行行走走，灯灯距距地地面面的的高高为为h1，求人影的顶端，求人影的顶端M沿地面移动的速度。沿地面移动的速度。解解:取坐标轴取坐标轴Ox如图所示，由几何关系得如图所示，由几何关系得:上上式式对对t求求一一阶阶导导数数，得得 M 点的速度为点的速度为:h1h2xMx2MxO13第13页，共60页，编辑于2022年，星期三这就是点沿轨迹的运动方程或以弧坐标表示的点的运动方程。三、三、自然法自然法1.1.弧坐标弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 MOs(-)(+)14第14页，共60页，编辑于2022年，星期三 在运动轨迹上取极为接近的点M和M1，切线的单位矢量分别为和1，指向与弧坐标正向一致。将1平移到点M，则 和1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与、n构成右手系。2.自然轴系 15第15页，共60页，编辑于2022年，星期三 以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则，即曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率曲率16第16页，共60页，编辑于2022年，星期三由左图知：由左图知：又因为s为正时，点沿切向的正方向运动，指向轨迹内凹一侧；反之则相反。于是有则1917第17页，共60页，编辑于2022年，星期三3 点的速度 用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。18第18页，共60页，编辑于2022年，星期三4 点的切向加速度和法向加速度 由于所以其中1719第19页，共60页，编辑于2022年，星期三 上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：切向加速度at反映速度代数值对时间的变化率，反映速度大小的变化，它的方向沿轨迹的切线方向；法向加速度an反映速度方向改变的快慢程度，它的方向沿主法线的方向，指向曲率中心。20第20页，共60页，编辑于2022年，星期三全加速度为at和an的矢量和大小：大小：方向：方向：21第21页，共60页，编辑于2022年，星期三 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为曲线匀变速运动。现在来求它的运动规律。22第22页，共60页，编辑于2022年，星期三例例3 3 下下图图为为料料斗斗提提升升机机示示意意图图。料料斗斗通通过过钢钢丝丝绳绳由由绕绕水水平平轴轴O转转动动的的卷卷筒筒提提升升。已已知知：卷卷筒筒的的半半径径为为R16cm，料料斗斗沿沿铅铅垂垂提提升升的的运运动动方方程程为为y2t2，y以以cm记记，t 以以s计计。求求卷卷筒筒边边缘缘一一点点M在在t4s时时的的速速度度和加速度。和加速度。解：解：此时此时M点的点的切向加速度切向加速度为：为：v4416 cm/s当当t=4 s时时速度速度为：为：M点的点的法向加速度法向加速度为：为：OMRMA0AM0yatan a23第23页，共60页，编辑于2022年，星期三M点的全加速度为：点的全加速度为：OMRMA0AM0yatan a24第24页，共60页，编辑于2022年，星期三例例4 列列车车沿沿曲曲线线轨轨道道行行驶驶，初初速速度度v1=18km/h，速速度度均均匀匀增增加加，行行驶驶s=1km后后，速速度度增增加加到到v2=54km/h，若若铁铁轨轨曲曲线线形形状状如如图图1-17所所示示。在在M1、M2点点的的曲曲率率半半径径分分别别为为1=600m,2=800m。求求列列车车从从M1到到M2所所需需的的时时间间和和经经过过M1和和M2处的加速度。处的加速度。M1M2v1v1at2解：解：at1（1）求从）求从M1到到M2所需时间所需时间25第25页，共60页，编辑于2022年，星期三1an1a1(2)求列车经过求列车经过M1和和M2时的时的法向加速度法向加速度：(3)求列车经过求列车经过M1时的时的全加速度全加速度：a2an2M1M2v1v1at2at1（4）求列车经过）求列车经过M2时的时的全加速度全加速度：226第26页，共60页，编辑于2022年，星期三 例例5 杆杆AB绕绕A点点转转动动时时，带带动动套套在在半半径径为为R的的固固定定大大圆圆环环上上的的小小护护环环M 运运动动，已已知知t(为为常常数数)。求求小小环环M 的的运运动动方方程程、速速度度和和加加速度。速度。解：解：建立如图所示的直角坐标系。则建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M 的运动方程。的运动方程。27第27页，共60页，编辑于2022年，星期三故故M点的速度大小为点的速度大小为其方向余弦为其方向余弦为故故M点的加速度大小为点的加速度大小为且有且有28第28页，共60页，编辑于2022年，星期三MMjRoj例例6 半半径径为为R 的的轮轮子子沿沿直直线线轨轨道道纯纯滚滚动动(无无滑滑动动地地滚滚动动)。设设轮轮子子保保持持在在同同一一竖竖直直平平面面内内运运动动，试试分分析轮子边缘一点析轮子边缘一点M的运动。的运动。29第29页，共60页，编辑于2022年，星期三此处有影片播放此处有影片播放30第30页，共60页，编辑于2022年，星期三解解：取取坐坐标标系系Axy如如图图所所示示，并并设设M 点点所所在在的的一一个个最最低低位置为原点位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为点坐标为这是旋轮线的参数方程。这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM点的速度和加速度为：点的速度和加速度为：当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于零。点速度等于零。31第31页，共60页，编辑于2022年，星期三如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。5.2 刚体的平移刚体的平移32第32页，共60页，编辑于2022年，星期三摆式输送机的料槽（曲线平移）直线行驶的列车车厢（直线平移）33第33页，共60页，编辑于2022年，星期三yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。平行移动刚体内各点的速度和加速度34第34页，共60页，编辑于2022年，星期三 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动35第35页，共60页，编辑于2022年，星期三36第36页，共60页，编辑于2022年，星期三固定平面A与动平面B间的夹角j称为刚体的转角。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度(rad)表示。逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负符号规定：自z轴的正端看去，1.转角和转动方程转角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。一、转动方程、角速度和角加速度一、转动方程、角速度和角加速度37第37页，共60页，编辑于2022年，星期三转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用表示:角速度表征刚体转动的快慢和方向，是代数量，其单位为rad/s。2.角速度和角加速度（1）角速度 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负符号规定：自z轴的正端看去，38第38页，共60页，编辑于2022年，星期三角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量,单位为rad/s2。如果与a同号，则转动是加速的；如果与a异号，则转动是减速的。（2）角加速度39第39页，共60页，编辑于2022年，星期三 工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，与n的转换关系为（1）匀速转动(=常数)（2）匀变速转动(=常数)特殊情形：40第40页，共60页，编辑于2022年，星期三 刚体作定轴转动时，其内各点在与轴垂直的平面内作圆周运动，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为二、二、二、二、转动刚体上各点的速度和加速度转动刚体上各点的速度和加速度如图设任一点由O运动到M。以固定点O为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是1.速度 ,对整个刚体刚体而言(各点都一样)；v,a 对刚体中某个点点而言(各点不一样)。41第41页，共60页，编辑于2022年，星期三即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。42第42页，共60页，编辑于2022年，星期三（1）切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。2.加速度43第43页，共60页，编辑于2022年，星期三（2）法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。44第44页，共60页，编辑于2022年，星期三如果与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示atat45第45页，共60页，编辑于2022年，星期三 (1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q 都有相同的值。点的全加速度为：46第46页，共60页，编辑于2022年，星期三例例5.1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、1、a1，求2、a2。解：因啮合点无相对滑动，所以由于由于于是可得于是可得即即1a1r1O1O2r22a2v1v2at1at247第47页，共60页，编辑于2022年，星期三 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为求当t=1s时，则为因此轮缘上任一点M的速度和加速度为方向如图所示。例5.2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为 ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。48第48页，共60页，编辑于2022年，星期三 M点的全加速度及其偏角为如图如图。现在求物体A的速度和加速度。因为 上式两边求一阶及二阶导数，则得因此49第49页，共60页，编辑于2022年，星期三例例5.35.3 在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角 以rad计。若初瞬时 ，其叶片半径为0.75m。试求叶片转过两圈（）时其顶端 P 点的速度。P解：50第50页，共60页，编辑于2022年，星期三主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。5.4 轮系的传动比轮系的传动比齿轮传动（外啮合）齿轮传动（内啮合）51第51页，共60页，编辑于2022年，星期三带轮传动52第52页，共60页，编辑于2022年，星期三1)齿轮传动即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。因为两个齿轮啮合圆之间无相对滑动故故 vA=vB所以53第53页，共60页，编辑于2022年，星期三2)带轮传动因因 vA=vB故54第54页，共60页，编辑于2022年，星期三例例5.4 下下图图是是一一减减速速箱箱，它它由由四四个个齿齿轮轮组组成成，其其齿齿数数分分别别为为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求求减减速速箱箱的的总总减减速比速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.解：解：求传动比：求传动比：则有：则有：13n142n3n255第55页，共60页，编辑于2022年，星期三1.角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度可用矢量表示，按右手螺旋法则规定 ，的方向。则角速度矢量可写成角加速度矢量可写成5.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度k56第56页，共60页，编辑于2022年，星期三2.刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示即，任一点的速度矢可以用角速度矢与该点矢径的矢量积表示。(1)速度矢 角速度矢量和角加速度矢量均为滑移矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。O且 矢积 的方向与 的方向相同57第57页，共60页，编辑于2022年，星期三(2)加速度矢而即：任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。58第58页，共60页，编辑于2022年，星期三 例例1 1试画出图中刚体上MN两点在图示位置时的速度和加速度。aNaMvNvMvMvN59第59页，共60页，编辑于2022年，星期三60第60页，共60页，编辑于2022年，星期三