浙大概率论与数理统计多维随机变量及其分布.pptx

第一节第一节 二维随机变量二维随机变量二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量小结小结第1页/共119页从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.第2页/共119页 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)（X，Y）来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等.第3页/共119页一般地一般地,设设 是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是设设是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向量叫做叫做 维随机向量维随机向量或或 维随机变量量.以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.第4页/共119页X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数如果对于任意实数二元二元 函数函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的的分布函数分布函数,或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.定义定义1设设 是二维是二维随机变量,一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第5页/共119页 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标,那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释第6页/共119页 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域内的概率为第7页/共119页第8页/共119页第9页/共119页或随机变量X和Y 的联合分布律.k=1,2,离散型一维随机变量XX 的分布律 k=1,2,定义定义2的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称则称设二维离散型随机变量可能取的值是可能取的值是记记如果二维随机变量全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量 的分布律,二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第10页/共119页二维离散型随机变量 的分布律具有性质第11页/共119页也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.第12页/共119页 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8第13页/共119页连续型一维随机变量XX的概率密度函数定义定义3对于二维随机变量 的分布函数的分布函数则称 是连续型的二维随机变量,函数函数 称为二维称为二维（X,Y)的概率密度,随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量存在非负的函数存在非负的函数如果任意任意 有有使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.或第14页/共119页（X,Y）的概率密度的性质在 f(x,y)的连续点,第15页/共119页例2 设(X,Y)的概率密度是(1)求分布函数求分布函数 (2)求概率 .第16页/共119页积分区域积分区域区域区域解解 (1)第17页/共119页第18页/共119页当当 时时,故故当当 时时,第19页/共119页(2)第20页/共119页四、小结四、小结 在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.第21页/共119页第二节第二节 边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度小结小结第22页/共119页 二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里这一节里,我们就来探求这个问题我们就来探求这个问题.第23页/共119页二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布函数数而而 和和 都是随机变量都是随机变量,也有各自的分也有各自的分布函数,分别记为分别记为变量(X,Y)关于 X 和 Y的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机一、边缘分布函数一、边缘分布函数第24页/共119页一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X 的边缘分布律为X和Y 的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律第25页/共119页(X,Y)关于 Y 的边缘分布律为第26页/共119页 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8第27页/共119页PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3=3/8,PX=2,Y=1+PX=2,Y=3PX=3,Y=1+PX=3,Y=3=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.第28页/共119页 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.第29页/共119页 对连续型对连续型 r.v(X,Y)，X 和Y 的联合概率密度为则(X,Y)关于 X 的边缘概率密度为事实上事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度第30页/共119页(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为第31页/共119页例2 设(X,Y)的概率密度是求求(1)c的值；的值；（2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解解 (1)故第32页/共119页例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解求求 (1)c 的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.(2)当当 时时当当 时时,暂时固定第33页/共119页注意取值范围综上综上,当当 时时,第34页/共119页例例 2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.暂时固定第35页/共119页综上综上,注意取值范围第36页/共119页 在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.第37页/共119页 1、设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称（则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则则质质点点的的坐坐标标(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.第38页/共119页 2、若若二二维维随随机机变变量量（X,Y）具具有有概概率率密密度度 则称（则称（X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中均为常数均为常数,且且记作（记作（X,Y）N().第39页/共119页例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为因为所以所以第40页/共119页则有则有第41页/共119页同理同理可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布.不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明第42页/共119页 1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系请注意联合分布和边缘分布的关系:四、小结四、小结第43页/共119页第三节第三节 条件分布条件分布离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布小结小结第44页/共119页在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量 设有两个r.v X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.第45页/共119页一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定定义义1 设设(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，对对于固定的于固定的 j，若，若 PY=yj 0，则称，则称为为在在 Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布律的条件分布律.PX=xi|Y=yj=，i=1,2,类似定义在 X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.第46页/共119页 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,第47页/共119页 解 依题意，Y=n 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.首次击中目标时射击了m次.n n次射击击中2nn-11.m击中 例 2一射手进行射击，击中目标的概率 射击进行到第二次击中目标为止.以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示第二次击中目标时所进行的的射击次数.试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.X=m 表第48页/共119页(n=2,3,;m=1,2,n-1)由此得X和Y的联合分布律为 由射击的独立性知，不论m(mn)是多少，PX=m,Y=n都应等于n次射击击中2nn-11.m击中每次击中目标的概率为 pPX=m,Y=n=？第49页/共119页 为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布律是：(m=1,2,)第50页/共119页Y的边缘分布律是：(n=2,3,)第51页/共119页于是可求得：当n=2,3,时，m=1,2,n-1联合分布边缘分布第52页/共119页n=m+1,m+2,当m=1,2,时，第53页/共119页二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布 设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,PX=x=0,PY=y=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.第54页/共119页 设 X 和 Y 的联合概率密度为 关于 的边缘概率密度为 ,则称 为在 的条件下 的的条件概率密度条件概率密度.记为记为若对于固定的 ,类似地类似地,可以定义在可以定义在X=x的条件下的条件下Y的条件概率密度为的条件概率密度为第55页/共119页例 3：设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求解 X的边缘密度为第56页/共119页 当当|x|1时时,有有第57页/共119页即 当|x|1 时,有X作为已知变量这里是y的取值范围X已知的条件下Y 的条件密度第58页/共119页 例例4 设数设数 X 在区间在区间(0,1)均匀分布，当观察到均匀分布，当观察到 X=x(0 x1)时，数时，数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值.求求 Y 的概率的概率密度密度.解 依题意，X具有概率密度对对于于任任意意给给定定的的值值 x(0 x0 y 0二、例题二、例题第67页/共119页即可见对一切 x,y,均有：故 X,Y 独立.第68页/共119页 若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解0 x1 0y1 由于存在面积不为0的区域，故 X 和 Y 不独立.第69页/共119页 例例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟的概率钟的概率.又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45),YU(0,60)第70页/共119页所求为P(|X-Y|5),甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率P(XY)第71页/共119页解一P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)P(XY)第72页/共119页解二P(X Y)P(|X-Y|5)第73页/共119页 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.类似的问题如：第74页/共119页盒内有盒内有 个白球个白球,个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例3 两次.设设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求(3)若改为无放回摸球,解上述两个问题.第75页/共119页解如下表所示如下表所示:(2)由上表可知由上表可知第76页/共119页表所示表所示:第77页/共119页由上表知由上表知:可见故故X，Y不相互独立。不相互独立。第78页/共119页三、正态随机变量的独立性三、正态随机变量的独立性由前知由前知X的边缘分布密度为的边缘分布密度为第79页/共119页Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为第80页/共119页反之，如时反之，如时X与与Y相互独立，则对任意的相互独立，则对任意的x和和y有有特别地，有特别地，有第81页/共119页四、一般n n维随机变量的一些概念和结果 1、2、第82页/共119页3、4、第83页/共119页 边缘分布 如：5、第84页/共119页 相互独立 6、第85页/共119页定理1：定理2：第86页/共119页 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件。五、小结五、小结第87页/共119页第五节 两个随机变量的函数的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小结小结 第88页/共119页 在第二章中，我们讨论了一维随机变量在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?引言引言第89页/共119页 例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.解 =a0br+a1br-1+arb0 由独立性r=0,1,2,一、一、的分布的分布 离散型情形离散型情形第90页/共119页解 依题意 例例2 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为于是i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布.第91页/共119页r=0,1,即Z服从参数为 的泊松分布.第92页/共119页一般情形一般情形设 是二维离散型随机变量,其联合分布列为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 第93页/共119页例 3 3 设 的联合分布列为 YX-2-1100.20.10.310.300.1分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的的分布列分布列第94页/共119页解 由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20第95页/共119页解 得所求的各分布列为 X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1第96页/共119页 例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.这里积分区域 D=(x,y):x+y z解Z=X+Y的分布函数是:它是直线 x+y=z 及其左下方的半平面.连续型情形连续型情形第97页/共119页 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得变量代换交换积分次序第98页/共119页由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第99页/共119页 特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式第100页/共119页例例 5第101页/共119页例例 5（续）（续）第102页/共119页 例6 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.解解 由卷积公式由卷积公式第103页/共119页令令得得可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第104页/共119页用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第105页/共119页 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地,可以证明:第106页/共119页二、二、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和 FY(y),我们来求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M=max(X,Y)的分布函数为:=P(Xz)P(Yz)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z)第107页/共119页即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)第108页/共119页 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的它们的分布函数分别为分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i=1,n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:第109页/共119页 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数布函数F(x)时，有时，有 第110页/共119页 例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度.XYXYXY第111页/共119页XY解解 (i)串联的情况 由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为因为 X 的概率密度为所以 X 的分布函数为第112页/共119页当 x 0 时,当 x 0 时,故故 类似地类似地,可求得 Y 的分布函数为第113页/共119页于是 的分布函数为=1-1-FX(z)1-FY(z)的概率密度为第114页/共119页XY(ii)并联的情况 由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为故 的分布函数为第115页/共119页XY于是 的概率密度为(iii)备用的情况因此整个系统 L 的寿命为 由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,第116页/共119页当 z 0 时,当 z 0 时,当且仅当当且仅当即即 时时,上述积分的被积函数不等于零上述积分的被积函数不等于零.故故第117页/共119页于是 的概率密度为第118页/共119页感谢您的观看！第119页/共119页