自动控制原理根轨迹法课件课件.pptx

1第四章 根轨迹法4.1 引言4.2 根轨迹法的基本概念4.3 绘制根轨迹的基本规则4.4 绘制根轨迹举例4.5 参数根轨迹本章小结第1页/共69页24.1 引言系统的稳定性 闭环极点(系统的特征根)系统响应特性 闭环极点和零点系统的稳定性系统响应的大致特性1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法：当开环增益开环增益或别的某个参数别的某个参数变化时特征根的轨迹图特征根的轨迹图找特征根的简单的图解法。闭环极点决定了返回第2页/共69页34.2 根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函闭环传函(4.1)特征方程特征方程(4.2)开环传函开环传函 Kg :传递系数(开环根轨迹增益)zoi :开环(传函的)零点,i=1,2,m.poj :开环(传函的)极点,j=1,2,.,n.第3页/共69页44.2 根轨迹的基本概念于是，特征方程特征方程(4.3)根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益(或别的某个参数)由0变化时，闭环系统特征根的轨迹。根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。第4页/共69页54.2 根轨迹的基本概念 幅角条件与幅值条件幅角条件与幅值条件(4.4)特征方程(4.1)即为(4.5)(4.6)开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有满足幅角条件幅角条件、幅值条件幅值条件的 s 值就是特征方程的根特征方程的根，即闭环极点闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨迹的基本条件。第5页/共69页64.2 根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.8)幅角条件第6页/共69页74.2 根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.9)(4.7)幅值条件第7页/共69页84.2 根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理基本原理：1)以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件幅角条件的点构成的曲线就是根轨迹；2)根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件幅值条件确定。由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义几何意义。故在分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图解测量，故：横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分第8页/共69页94.2 根轨迹的基本概念 4.1:绘制某二阶系统的根轨迹图；特征方程:特征根:K由01变化时,特征根 s1,s2:K=0，s1=0,s2=-2；K=1，s1=s2=-1(z=1)；0K1),s1,s2:为两个实根第9页/共69页104.2 根轨迹的基本概念此时,根轨迹为过(1,0)点的垂线1 K ,(0 z m时,m个开环有限零点开环有限零点决定了m个闭环极点闭环极点的位置;另(n-m)个闭环极点闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点开环无限零点).注注:如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相等.特征方程特征方程第15页/共69页164.3 绘制根轨迹的基本规则m个闭环极点闭环极点 =m个开环开环(有限有限)零点零点另(n-m)个闭环极点闭环极点:即,另(n-m)个无限零点无限零点决定了(n-m)个闭环极点闭环极点的位置.特征方程特征方程第16页/共69页174.3 绘制根轨迹的基本规则一般n m，根轨迹的分支数应为闭环极点数。闭环极点数闭环极点数=开环极点数开环极点数n=系统阶次n在绘制其它可变参数的根轨迹时，可能出现等效传函的mn的情况，这时将有(m-n)条根轨迹起始于(m-n)个开环无限极点开环无限极点。第17页/共69页184.3 绘制根轨迹的基本规则推证：1)开环共轭复数零、极点到实轴上的点的幅角和为2kp，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件无影响;2)实轴上根轨迹的左侧的开环零、极点到实轴上的点的幅角均为0，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件也无影响；规则规则3 3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点开环零点和开环极点开环极点之和为奇数。第18页/共69页194.3 绘制根轨迹的基本规则3)设Nzo=实轴上根轨迹右侧的开环零点数 Npo=实轴上根轨迹右侧的开环极点数规则规则3 3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点开环零点和开环极点开环极点之和为奇数。推证：第19页/共69页204.3 绘制根轨迹的基本规则规则规则4 4：根轨迹的渐近线。根轨迹有|n-m|条分支沿渐近线趋于(或始于)无穷远，这些渐近线的倾角倾角f fA A及与实轴的交点实轴的交点s sA A分别为:(4.11)(4.12)第20页/共69页214.3 绘制根轨迹的基本规则推证：由(4.11)可知，不重复的渐近线只有n-m条。nm时(nm,第32页/共69页334.3 绘制根轨迹的基本规则当n-m2时，因此，随着Kg的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小。第33页/共69页344.3 绘制根轨迹的基本规则根据这些规则，可确定根轨迹的一些特殊点。由这些特殊点可绘制出根轨迹的概略图。根轨迹的其它点，根据幅角条件确定。虚轴附近的根轨迹较为重要。可按需要补充一些点，以较精确地绘制出这部分根轨迹。返回第34页/共69页354.4 绘制根轨迹举例 4.2 单位反馈控制系统的开环传函如下,试求:(1)根轨迹图;(2)共轭主导极点z=0.5时的K值。解解 特征方程特征方程:幅角条件幅角条件:幅值条件幅值条件:第35页/共69页364.4 绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 渐近线倾角:与实轴交点:第36页/共69页374.4 绘制根轨迹举例分离点 第37页/共69页384.4 绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:利用Routh判据，令辅助方程等于0 令6-K=0,得到K=6；令辅助方程3s2+K=0与虚轴的交点此时，K=6 (K=6时的另一个实根s=-3)第38页/共69页394.4 绘制根轨迹举例为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图,根据幅角条件在虚轴附近补点:第39页/共69页404.4 绘制根轨迹举例描出根轨迹;确定z=0.5时的共轭复数主导极点 该极点的向量与负实轴的夹角:第40页/共69页414.4 绘制根轨迹举例由图中读出，这时闭环主导极点为:对应的K值:并且可以求出对应的第三个极点位置：第41页/共69页424.4 绘制根轨迹举例 4.3 特征方程为试求:根轨迹。解：写出等效特征方程等效特征方程：等效开环传递函数等效开环传递函数为：开环极点：无有限开环零点.第42页/共69页434.4 绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点第43页/共69页444.4 绘制根轨迹举例试探求解三阶以上的方程的根：代入特征方程检验：第44页/共69页454.4 绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点第45页/共69页464.4 绘制根轨迹举例 渐近线倾角:与实轴交点:第46页/共69页474.4 绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:令 代入特征方程,得到实部和虚部的表达式，令实部和虚部分别为零：第47页/共69页484.4 绘制根轨迹举例出射角 第48页/共69页494.4 绘制根轨迹举例该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂线：可见由特征方程第49页/共69页504.4 绘制根轨迹举例一些常见的开环零极点及其对应的概略根轨迹图返回第50页/共69页514.5 参数根轨迹当以参数 X 为变数，0 X ，作根轨迹时，需要将特征方程写成：(4.22)(4.23)然后，可得：即可用前面讨论的作根轨迹的规则作出以X为变数的特征方程的根轨迹。第51页/共69页524.5 参数根轨迹 4.4:小功率位置随动系统结构如图所示：(1)分析伺服电动机的机电时间常数Tm变化时，系统极点的分布和暂态特性的变化规律；(2)当开环增益K=29和qi(t)=t时，若希望将闭环极点配置为-p1,2=-17.25j26.521,Tm应该取为何值，并计算这时系统的性能。第52页/共69页534.5 参数根轨迹 4.4:小功率位置随动系统结构如图所示:解：(1)Tm为可变参数时的根轨迹系统的特征方程：写成：即作以Tm(0 Tm)为变参数的根轨迹。第53页/共69页544.5 参数根轨迹分离点 根轨迹是一个直径为 2K 的圆(实轴外)。第54页/共69页554.5 参数根轨迹暂态特性分析:分离点为s=-2K,对应的Tm值由根轨迹可知：对于0 Tm，闭环系统稳定；对于0 Tm 1/(4K)，为过阻尼二阶系统过阻尼二阶系统；对于1/(4K)Tm ，为欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统，且随着Tm 增大，z 减小；当 Tm=1/(4K)时，为临界阻尼临界阻尼；第55页/共69页564.5 参数根轨迹(2)开环增益 K=29,闭环极点-p1,2=-17.25j26.521闭环传函闭环传函第56页/共69页574.5 参数根轨迹系统性能指标：稳态误差：I型系统，斜坡输入时第57页/共69页584.5 参数根轨迹 单位阶跃响应 单位斜坡响应第58页/共69页594.5 参数根轨迹用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤:根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环第59页/共69页604.5 参数根轨迹根轨迹增益Kg大于临界值时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益Kg的临界值。这为分析和设计系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法（如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在第60页/共69页614.5 参数根轨迹满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。返回第61页/共69页62小结本章介绍了根轨迹法要求掌握根轨迹绘制规则，能熟练地绘制根轨迹概略图注意应用根轨迹绘制规则时，将系统特征方程写成如下形式：第62页/共69页63小结根轨迹是用较简单的等效开环传递函数，来分析研究闭环系统的特性；它是一种几何方法，形象直观；根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照绘制规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状；第63页/共69页64小结根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。返回第64页/共69页65Homework1、某反馈系统，其开环传递函数为：绘制K增大时系统根轨迹；求实轴上的分离点；确定渐近中心；计算分离点处增益K的值。2、某单位反馈系统，其前向传递函数为：绘制K增大时系统根轨迹；求出使系统产生振荡的K的取值范围。第65页/共69页663、某单位反馈系统，其前向传递函数为：画出闭环系统根轨迹的渐近线；求离开复极点的出射角；确定增益的取值，使系统有两个根位于虚轴之上；画出根轨迹图。4、某反馈系统的开环传递函数为：求实轴上的分离点和汇合点；当复根的实部为-2时，求出系统增益和闭环根；画出系统的根轨迹图。第66页/共69页675、某单位反馈系统的开环传递函数为：试画出 时系统根轨迹。6、某单位反馈系统的开环传递函数为：试求：实轴上的分离点和与该点对应的增益K;当有两个闭环特征根位于虚轴上时，系统的增益值和特征根；K=6时的闭环特征根；画出根轨迹图。第67页/共69页687、某控制系统如图E7所示，控制器的传递函数Gc(s)如下所示，试分别画出系统的根轨迹概略图(不用精确绘制)：一 一一一 图E7第68页/共69页69感谢您的观看！第69页/共69页