D78常系数非齐次.pptx
是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共52页定理定理 8.2分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理8.1,定理8.2均可推广到 n 阶线性非齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共52页定理定理 是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共52页常数变易法常数变易法常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1.已知对应齐次方程通解:设的解为 由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、通解的求法第4页/共52页令于是将以上结果代入方程:得故,的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共52页积分得:代入 即得非齐次方程的通解:于是得 说明:将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一 个条件,方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共52页情形情形2.仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解:代入 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共52页例8.1 求非齐次线性微分方程的 通解.解：对应齐次方程特征方程为 特征根为于是对应齐次方程的通解为设所给方程的通解为这是确定C1(x),C2(x)的方程组为设所给方程的通解为第8页/共52页三、二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共52页一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共52页(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共52页例8.2 求方程 的一个特解.解：是二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于=0不是特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为将它带入所给方程得第12页/共52页例8.3 求方程 的通解.解：是二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于=2是单特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为将它带入所给方程得对应齐次方程的通解为第13页/共52页n阶常系数非齐次微分方程的一般形式为若 则上述方程具有形如的特解，其中Qm(x)是与Rm(x)同次的多项式，而k按不是特征根和是r重根分别取0和r.第14页/共52页例8.5 求方程 的通解.解：是四阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于=0是二重特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为将它带入所给方程得对应齐次方程的通解为第15页/共52页二、二、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步 将 f(x)转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共52页第一步第一步利用欧拉公式将 f(x)变形机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共52页 第二步第二步 求如下两方程的特求如下两方程的特解解 是特征方程的 k 重根(k =0,1),故等式两边取共轭:为方程 的特解.设则 有特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共52页第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程 均为 m 次多项式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共52页第四步第四步 分析分析因均为 m 次实多项式.本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共52页例8.6 求方程 的通解.解：二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于 不是特征根，故所给方程特解为于是所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为第21页/共52页例8.7 求 满足 的特解.解：二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于 是单特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为由初始条件得C1=0,C2=1,第22页/共52页例8.8(RLC电路)在一个由电阻R,电感L,电容C和电源E组成的闭合回路中(如图)，电源电动势E=100sin60t(V)，电阻R=2()，电感L=0.1(H)，电容C=1/260(F).如果开始时电路中的电流为零，电容器上的电荷量为零，求该电路接通后电容器上的电荷量随时间的变化关系.解：设时刻t该回路中的电流为I(t)，电容器上的电荷量为Q(t).有基尔霍夫定律得由电学知识有第23页/共52页由题意知初始条件为是二阶常系数非齐次线性微分方程，f(t)=1000sin60t,由于 不是特征根，故所给方程特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程特征方程为所给方程的一个通解为由初始条件得C1=30/61,C2=36/61,第24页/共52页n阶常系数非齐次微分方程具有形如的特解，其中Qm(x)是m次多项式，而k按 不是特征根和是r重根分别取0和r.第25页/共52页例8.9 求 的通解.解：三阶常系数非齐次微分方程由于 不是特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为第26页/共52页机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数线性微分方程四、欧拉方程第27页/共52页欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则计算繁!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共52页则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共52页例8.10 求 的通解.解：作变换 即 所给方程化为由于 不是特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的特征方程为第30页/共52页例例1.解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共52页 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共52页例例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共52页常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共52页例例.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共52页例例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共52页例例2.求解定解问题求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共52页于是所求解为解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共52页例例4 的一个特解.解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共52页例例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共52页例例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共52页思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1.(填空)设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页/共52页2.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共52页例例8.11解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、应用举例第44页/共52页方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共52页解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率 机动 目录 上页 下页 返回 结束(仅由系统特性确定)第46页/共52页方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页/共52页作业作业 习题习题7.8(A)1(1),(4);(B)1(1).习题课2 目录 上页 下页 返回 结束 第51页/共52页感谢您的欣赏！第52页/共52页
