与三角形有关的角.pptx

11.2.1 三角形的内角第1页/共54页三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角三角形的内角第2页/共54页红红色色的的大大三三角角形形对对蓝蓝色色的的小小三三角角形形说说：“我我比比你你大，所以我的内角和肯定比你大。大，所以我的内角和肯定比你大。”小小三三角角形形不不服服气气地地说说：“不不对对不不对对，我我的的内内角角和和和你的一样大！和你的一样大！”三角形兄弟之争三角形兄弟之争第3页/共54页三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180实践操作实践操作第4页/共54页F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EFBC，B=2(两直线平行,内错角相等)C=1(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180B+C+BAC=180证法一证法一第5页/共54页21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CEBA，A=1(两直线平行，内错角相等)B=2(两直线平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180证法二证法二第6页/共54页CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AEBC，B=BAE(两直线平行,内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补)B+C+BAC=180证法证法三三第7页/共54页 在这里，为了证明的需要，在原来在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做的图形上添画的线叫做辅助线辅助线。在平面。在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为1800,转化转化为一个平角或同旁内角互补为一个平角或同旁内角互补,这种这种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法.思路总结思路总结第8页/共54页(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60，40，90（3）30，60，50（1）3，150，27（是是）（不是不是）（不是不是）巩固练习巩固练习第9页/共54页（1）在）在ABC中，中，A=35，B=43 则则 C=.（2）在）在ABC中，中，A:B:C=2:3:4则则A=B=C=.（3）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（4）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（5）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（6）任意一个三角形中）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少最大的一个角的度数至少为为 .102 80 60 40 60211应用新知应用新知第10页/共54页ABC在直角三角形ABC中,C90，由三角形内角和定力，得,A+B+C=180即 A+B+90=180，所以 A+B=90.例题讲解例题讲解1 1也就是说，直角三角形的两个锐角互余.第11页/共54页由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC也可以写成RtABC.第12页/共54页ABC已知ABC中,ABCC=2A,BD是AC边上的高，求DBC的度数。D解：设Ax0，则ABCC2x0 x2x2x180（三角形内角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形内角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定义）DBC180?例题讲解例题讲解2 2第13页/共54页如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。求下面各题.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)从C岛看A、B两岛的视角C是多少?508040DBCE北北解：ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90 ABCABE CBE30 1004060例题讲解例题讲解3 3第14页/共54页DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90,MAC=50解：过点C画MNAD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。1=180-90-50=40 ADBE AMC+BNC=180 BNC=90同理得2=50 ACB=180 -1-2=180-40-50=90例题讲解例题讲解3 3第15页/共54页BDCE北A125040解：解：过点过点C画画CFAD 1DAC50,F CFAD,又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB1 2 50 40 90 例题讲解例题讲解3 3第16页/共54页巩固练巩固练习习ABCDE如图，C=D=90，AD与BC相交于点E，CAE和DBE什么关系。在RtACE中，CAE=90-AEC在RtBDE中，DBE=90-BED AEC=BED（对顶角相等）CAE=DBE第17页/共54页3.ABC中,若ABC,则ABC是()A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形4.一个三角形至少有（）A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角BB巩固练习巩固练习第18页/共54页5.如图ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50,求BDC的度数.ABCDE解:A70 ACB=180-A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB巩固练习巩固练习第19页/共54页2、在中，如果=B=C，那么是什么三角形？解:设A=x,那么B=2x,C=3x根据题意得:解得A=30,B=60,C=90所以是直角三角形拓展与思考拓展与思考1 1第20页/共54页甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由题意知ABCBC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考拓展与思考2 2第21页/共54页小结小结1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为1802、由三角形内角和等于180，可得出(1)直角三角形两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60第22页/共54页复习旧知一个三角形最多有 直角；一个三角形最多有 钝角；一个三角形中，最多有 锐角，最少有 锐角；一个三角形中至少有一个角 小于或等于（）一个三角形中最大角至少是（）第23页/共54页11.2.2 三角形的外角第24页/共54页DBAC不相邻不相邻内角内角1234想一想：想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？外角与相邻内角有什么特殊关系？外角外角 4+3=180外角与相邻内角的大小不能确定不能确定。三角形的一边与另一边的延长线组三角形的一边与另一边的延长线组成的角成的角,叫做叫做三角形的外角三角形的外角.归纳：1、每一个三角形都有个外角3、每个外角与相应的内角是邻补角2、每一个顶点相对应的外角都有个相邻内角观察与思考观察与思考第25页/共54页ABCD三角形的外角：三角形的外角：三角形的三角形的一边一边与与另一边的反向延长另一边的反向延长线线组成的角组成的角第26页/共54页ABCDE看一看：看一看：算一算：算一算：若若 A55，B=60,试求试求 ACB,ACD,CAE的度数并说出你的理由的度数并说出你的理由图中哪些角是三角形的图中哪些角是三角形的内角内角，哪些角是三角形的哪些角是三角形的外角外角？115606555125第27页/共54页通过上题的计算，你发现通过上题的计算，你发现ACD，CAE与三角形的内角之间有怎样的与三角形的内角之间有怎样的数量关系数量关系呢？呢？请你试着用自己的语言说一说请你试着用自己的语言说一说想一想：想一想：三角形的一个三角形的一个外角外角等于与它等于与它不相邻不相邻的的两个内角两个内角的和。的和。第28页/共54页求下列各图中求下列各图中1 1的度数。的度数。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 11=1=1=908595第29页/共54页 ACD A ()；ACD B ()结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。DACB你选什么你选什么？第30页/共54页把图中把图中1 1、2 2、3 3按由大到小的按由大到小的顺序排列顺序排列B 3 32 21ACDE123第31页/共54页ABC123方法方法1 1方法方法2 2三角形的外角和等于三角形的外角和等于36036012 3?从哪些途径探究这个结果从哪些途径探究这个结果议一议议一议第32页/共54页ABC123 2 ABC=180 3 ACB=180三个式子相加得到三个式子相加得到 1 2 3 BAC ABC ACB=540而而 BAC ABC ACB=180 1 2 3360 1 BAC=180解：解：第33页/共54页解：过解：过A A作作ADAD平行于平行于BCBC 3 3 4 4BC1234A 2 2 BADBAD 1 1 2 2 3 3 1 1 BADBAD 4=3604=360两直线平行，两直线平行，同位角相等同位角相等D第34页/共54页判断题：判断题：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）2 2、三角形的外角和等于它内角和的、三角形的外角和等于它内角和的2 2倍。（倍。（）3 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（、三角形的一个外角等于两个内角的和。（）4 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）5 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（、三角形的一个外角大于任何一个内角。（）6 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）练一练练一练第35页/共54页学一学学一学例例1:1:如图，如图，D D是是ABCABC的的BCBC边上一点，边上一点，B BBADBAD，ADCADC80,BAC=7080,BAC=70.求：（求：（1 1）B B的度数；的度数；（2 2）C C的度数的度数.问：问：（1）中为什么）中为什么ADCADCB+BADB+BAD？（2 2）中求）中求C C的度数还有其他方法吗？的度数还有其他方法吗？ABCD808070704040第36页/共54页例例：如图：如图D是是ABC的的BC边上一点边上一点,B=BAD,ADC=80，BAC=70，求：求：1）B 的度数，的度数，2）C的度数的度数。在在ABC中：中：B+BAC+C=180C=180-40-70=70解：因为解：因为ADC是是ABD的外角的外角所以所以ADC=B+BAD=80又因为又因为B=BAD40ABCD7080例题讲解例题讲解2 2第37页/共54页ABC123填空：与三角形的每个内角相邻的外角分别有 个，这两个外角是 ，他们的大小 。1+2+3 就是就是ABC的外角和。的外角和。ABC123456两两对顶角对顶角相等相等探索与思考探索与思考1+2+3=度第38页/共54页3+BCA=180，1+BAC=180，2+ABC=1801+2+3=度ABC123数学说理：数学说理：三角形的外角和为三角形的外角和为360度。度。360猜一猜三式相加可得：1+2+3+BAC+ABC+BCA=540BAC+ABC+BCA=1801+2+3=360探索：探索：第39页/共54页例例：如图：如图D是是ABC的的BC边上一点边上一点,B=BAD,ADC=80，BAC=70，求：求：1）B 的度数，的度数，2）C的度数的度数。在在ABC中：中：B+BAC+C=180C=180-40-70=70解：因为解：因为ADC是是ABD的外角的外角所以所以ADC=B+BAD=80又因为又因为B=BAD40ABCD7080例题讲解例题讲解2 2第40页/共54页_ 1、下面的推理题连名侦探柯南也被难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.根据下列线索推理出这个三角形有关的角。线索1：在ABC中，B=C；线索2：它的一个外角是100；问题：它的各个内角各是多少度？100BCA100ABC5050，5050，8080或8080，8080，2020答：它的各个内角分别为答：它的各个内角分别为拓展与思考拓展与思考1 1第41页/共54页2，有一次小明看见这样一个图，要计算：，有一次小明看见这样一个图，要计算：A+B+C+D+E+F=度度BCDAGMHEF360拓展与思考拓展与思考2 2第42页/共54页 求A+B+C+D+E的度数国旗上的数学国旗上的数学第43页/共54页ABCDE12FG解：解：1是是FBE的外角的外角1=B+E同理同理2=A+D在在CFG中中C+1+2=180A+B+C+D+E=180 求A+B+C+D+E的度数国旗上的数学国旗上的数学第44页/共54页ABCDE12F3解:连接CD因为3是CDE的外角所以3=1+2因为3是BFE的外角所以3=B+E所以1+2=B+E所以A+B+C+D+E=A+ACB+1+ACB+2=A+ACD+ADC=180国旗上的数学国旗上的数学第45页/共54页2、三角形的一个外角的性质(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。1、三角形的内角和180三角形内角和外角的性质(1)三角形的一个外角与它相邻内角的关系是互为邻补角。(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。3、三角形的外角的和等于360度。小结小结第46页/共54页练一练练一练A AB BC CD DE EF F .ADECFB1233600NPM第47页/共54页ABCDE(3)求求A+B+C+D+E的度数的度数FGB+B+D=D=EGFEGFEGF+EGF+EFGEFG+E E=180A+A+C=C=EFGEFG解：因为解：因为解：因为解：因为所以所以所以所以A+A+B+B+C+C+D+D+E=E=180第48页/共54页练一练练一练已知图中已知图中A A、B B、C C分别为分别为80，20，30，求，求1的度数的度数B 3 32 21ACDE第49页/共54页如图，试计算如图，试计算BOC的度数的度数练一练练一练903020ABCOD110第50页/共54页练一练练一练如图，在直角如图，在直角ABCABC中，中，CDCD是斜是斜边边ABAB上的高，上的高，BCDBCD3535，求求A A与与EBCEBC的度数的度数.ABCDE35第51页/共54页 1、三角形外角的两条性质三角形外角的两条性质 三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个与它三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。不相邻的内角。2、三角形的外角和是、三角形的外角和是360第52页/共54页再见再见第53页/共54页谢谢大家观赏！第54页/共54页