医学简单回归分析卫生统计学.pptx
引言：身高与体重存在相关（相关关系）可否通过身高预测体重的平均水平？新生儿的体重与体表面积存在相关可否通过体重预测体表面积？（依存关系）第1页/共64页线性回归（linear regression），又称简单回归（simple regression），非线性回归（nonlinear regression）第2页/共64页第一节第一节 线性回归线性回归1、线性回归的概念及其统计描述第3页/共64页 在上一章中，对在上一章中，对14名名4060岁的健康妇女的体重（岁的健康妇女的体重（X）与基础代谢（）与基础代谢（Y）数据）数据计算了相关系数计算了相关系数 ，定量地描述了变量，定量地描述了变量X与与Y间的线性关联性。现在试用间的线性关联性。现在试用回归分析的方法，从预测的角度来描述基础代谢（回归分析的方法，从预测的角度来描述基础代谢（Y）如何依存体重（）如何依存体重（X）的变化）的变化而变化的规律性。而变化的规律性。引例：引例：第4页/共64页线性回归模型（线性回归模型（linear regression model）：）：截距（intercept）：斜率（slope），又称回归系数 （regression coefficient）第5页/共64页样本线性回归方程样本线性回归方程(regression equation)：第6页/共64页图12-1 14例中老年健康妇女的基础代谢与体重的回归直线 II型回归第7页/共64页I型回归第8页/共64页 图12-2 IgG浓度与沉淀环直径数据的散点图 第9页/共64页二、线性回归模型的适用条件二、线性回归模型的适用条件(1)线性（Linear）(2)独立性（Independent）(3)正态性（Normal distribution）(4)方差齐性（Equal variance）LINE第10页/共64页图12-3 线性回归模型的适用条件示意图第11页/共64页三、回归参数的估计三、回归参数的估计(一)回归参数估计的最小二乘原则 第12页/共64页第13页/共64页图12-4 基础代谢与体重的回归直线的最小二乘原则的直观表达第14页/共64页由于考虑到所有点的()有正有负，通常变成考察所有点的()平方和最小，这就是最小二乘原则（最小二乘原则（least squares method）。）。第15页/共64页(二二)回归参数的估计方法回归参数的估计方法 第16页/共64页 例例12-1 计算例计算例11-1的基础代谢（的基础代谢（Y）关于）关于体重（体重（X）的线性回归方程。）的线性回归方程。第17页/共64页 为了直观分析或实际需要，可按求出的回归方程作回归直线图。在X的实测全距范围内，任取相距较远且易读数的两个X值，代入方程得到两个 值，以直线连接两点即得回归直线。本例可取X1=37.1，得 ；取X2=67.3，得 。连接点即得本资料的回归直线。第18页/共64页注意：注意：回归直线的适用范围一般以自变量的取值范围为限，若无充分理由证明超过自变量的取值范围还是直线，应该避免外延（即不要超过不要超过自变量取值范围计算 值）。第19页/共64页四、总体回归系数四、总体回归系数的统计推断的统计推断 H0:=0 即基础代谢与体重之间无线性回归关系H1:0 即基础代谢与体重之间有线性回归关系=0.05 第20页/共64页(一一)方差分析方差分析第21页/共64页图12-5 回归前后因变量Y残差的示意图第22页/共64页第23页/共64页H0:=0，H1:0第24页/共64页例例12-212-2 试对例试对例11-111-1资料的样本回归方程作资料的样本回归方程作假设检验（用方差分析）假设检验（用方差分析）H0:=0 即基础代谢与体重之间无线性回归关系H1:0 即基础代谢与体重之间有线性回归关系 =0.05 第25页/共64页已知1=回=1，2=残=n2=12，查F界值表（附表3.1）得 =4.75，今求得F=158.3614.75，则P0.05，按=0.05水准拒绝H0，差异有统计学意义。可认为体重与基础代谢之间有线性回归关系。第26页/共64页第27页/共64页(二二)t 检验检验第28页/共64页例例12-312-3 试对例试对例11-111-1资料的样本回归方程作假资料的样本回归方程作假设检验（用设检验（用t t 检验）。检验）。第29页/共64页注意：注意：对同一资料作总体回归系数是否为零的假设检验，方差分析和t t检验是等价的，并且有 的关系。第30页/共64页 上一章对总体相关系数 的假设检验计算出的 等于这里的 ，这并不是巧合。当 Y与X两者都是随机变量时，我们既可以计算Y与X的相关系数，又可以做Y关于X的回归（II型回归）；对同一资料作总体相关系数 的假设检验和作总体回归系数的假设检验分别得到 和 ，可以证明，二者相等。第31页/共64页(三三)总体回归系数总体回归系数的置信区间的置信区间第32页/共64页(四四)决定系数决定系数取值在0到1之间，且无单位。它反映了回归贡献的相对程度，即在因变量Y的总变异中回归关系所能解释的比例。第33页/共64页 在实际应用中，通过用决定系数来反映回归的实际效果。如例12-1，=0.930，说明4060岁健康妇女的体重信息大约可以解释自身基础代谢信息量的93%，还有剩余的7%的信息则通过体重以外的其它因素来解释。说明用体重来预测基础代谢量的实际效果较佳。第34页/共64页第二节第二节 线性回归的应用线性回归的应用统计预测；统计控制。第35页/共64页统计预测：统计预测：均数的置信区间：当X为某定值和在给定置信度的情况下，欲知Y的总体均数的分布如何？我们可以估计总体中当X为某定值 时，Y的总体均数 的 置信区间。第36页/共64页 的（1-）置信区间为（12-15）（12-16）第37页/共64页49.9991 当X1=50.7时，Y 的总体均数的95%置信区间为 4220.7842.17949.9991（4111.84，4329.73）第38页/共64页图12-6 基础代谢依体重的回归直线的95%置信带与Y个体值的95%预测带第39页/共64页统计预测（续）统计预测（续）:个体的容许区间：预测是回归分析的重要应用之一，医学上常用在给定X值（预报因子）时，计算个体Y值的容许区间。所谓个体Y值的容许区间是指总体中X为某定值时，个体Y值的波动范围。第40页/共64页(12-17)(12-18)第41页/共64页 仍然以第一观测点数据（X1=50.7）为例，利用上例计算结果，该点预测Y值的标准差为 172.5346 代入（12-18）式，得第一数据点Y值的95%的预测区间为：4220.7842.179172.5346（3844.83，4596.737）第42页/共64页统计控制统计控制例例12-5 在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度()X下，溶解于100份水中的硝酸钠份数Y的数据见表12-3。若要求溶解于100份水中的硝酸钠份数在80份以上，温度应如何控制？设置信度为95%。第43页/共64页 由原始数据计算可知 ，,=0.05，查t界值表得单侧 。本例要求溶解于100份水中的硝酸钠份数Y在80份以上，对应于个体Y值的95%预测区间单侧下限值：当 时，通过上式解得Xp=16.56（），即把温度控制在16.56以上，就有95%的可能使溶解于100份水中的硝酸钠份数在80份以上。第44页/共64页第三节第三节 残差分析残差分析 残差分析(residual analysis)旨在通过残差分布深入了解实际资料是否符合回归模型假设（如正态性、等方差），尤其在识别离群点（outlier）方面，有着重要作用。第45页/共64页标准化残差（standardized residual）。残差分析常通过标准化残差图（standardized residual plot）来进行。若以因变量取值Y为横坐标，以标准化残差为纵坐标，构成的散点图即是标准化残差图，见图12-7。类似地，也可以自变量取值X为横坐标,以标准化残差为纵坐标作标准化残差图。第46页/共64页图12-7 基础代谢依体重数据回归的标准化残差图第47页/共64页 当标准化残差图中散点的分布，绝大部分在2倍标准差之间，在以0参考线的上下随机且均匀地散布时，可以认为模型与数据拟合得较好。一般认为在3标准差以外区域出现的点所对应的原始数据为离群点，在2标准差以外、3标准差以内区域出现的点所对应的原始数据可能为离群点。第48页/共64页abcd不满足方差齐性非线性关系可能漏掉了另外的自变量第49页/共64页图12-8 不同类型的残差图 ef模型恰当第50页/共64页第四节第四节 非线性回归非线性回归图12-9 1995年中国022岁居民身高均数随年龄的变化情况第51页/共64页 在医学科研实践中，两个连续型变量间并非都呈现线性关系。例如：考虑人出生后的整个生命期，身高（Y）与年龄（X）之间是明显的非线性关系，在生命的早期，生长很快，而成年期却几乎恒定（见图12-9）。第52页/共64页 因此，要想建立非线性关系的回归模型，需要借助非线性回归(non-linear regression)或称曲线拟合（curve fitting）来实现。本节主要讨论非线性回归分析的基本策略和介绍简单的处理方法。第53页/共64页一、非线性回归分析的基本策略一、非线性回归分析的基本策略 首先绘制两个变量的散点图，观察点的分布趋势，根据分布趋势的形状，可选择如下不同的分析过程：1.曲线直线化（linearization）当散点分布的形状接近某些常见的函数曲线时，我们可以尝试采取变量变换的方法，使变换后的两个变量之间呈直线关系（通过散点图判断）。求出直线回归方程后，再将方程中的变量还原，便得到曲线回归方程。2.非线性回归 当不能通过变量变换的方法使曲线直线化或直接进行曲线拟合时，需利用非线性最小二乘估计的原则，采用迭代计算方法获得非线性回归方程。第54页/共64页幂函数Y=aXb 对数函数Y=abln(X)指数函数Y=aebX Logistic函数 第55页/共64页二、曲线直线化二、曲线直线化 1.绘制原始数据Y与X的散点图，观察散点分布形态类似于何种常用函数类型；2.按照所选定的函数进行适宜的变量变换，得到X与Y；3.绘制变换后数据Y与 X的散点图，观察散点分布形态是否呈直线趋势，从而确定曲线类型，否则重复1、2步直至满足散点分布呈直线趋势；4.作Y关于X的线性回归方程并进行假设检验；5.根据第2步的变量变换式进行反变换，得到原始数据Y与X的曲线方程。第56页/共64页 当原始数据X与Y的散点分布形态较难判断是直线趋势还是曲线趋势时，一般拟合多个相近的模型，然后通过对各个模型的拟合优度（常用决定系数）评价挑选较为合适的模型。第57页/共64页例12-7 某研究者测得某女童19月的身高数据，如表12-4所示。试用合适的回归模型描述该月龄段女童的身高随时间变化的规律。（1）以身高为Y，时间为X，绘制散点图，如图12-10所示，呈现非线性趋势，形似对数函数曲线。（2）利用对数函数曲线变换式（），令X=ln X，计算X 数值。计算结果见表12-5。（3）以Y和X 绘制散点图，如图12-11所示，二者呈直线趋势。第58页/共64页图12-10 某女童19月的身高与时间的散点图 图12-11 身高与取对数的时间的散点图 第59页/共64页（4）作Y 关于X 的线性回归方程，得方程 方差分析结果（F=632.15,P0.001）表明回归方程具有统计学意义，决定系数R2=0.989。（5）将X=ln X代入上式，得Y 关于X 的曲线回归方程第60页/共64页 本例只涉及对自变量X进行变换，然后以变换后的数据用标准最小二乘法求解模型的参数估计。当涉及到对因变量Y实施非线性变换 如Z=ln(Y)时，因为最小二乘原则只保证变换后的Z 即ln(Y)的残差平方和最小，并不能保证原变量Y的残差平方和也最小，所以在此情况下，建议用统计软件来完成非线性拟合。第61页/共64页 非线性回归由于迭代计算量较大，需要借助电脑及相关的软件。SAS和SPSS均提供了非线性回归分析的功能，具体请参见相关的参考书。第62页/共64页THE ENDThanks第63页/共64页谢谢您的观看！第64页/共64页
