重积分应用案例.pptx

在一个简化的飓风模型中，假定速度只取单纯的圆周方向，为常量.以海平面飓风中心处作为坐标原点，如果大气密度，求运动的全部动能.并问在哪一位置速度具有最大值？的变化也很大，这里是理想化模型，认为它们是常数，与飓风一、飓风的能量有多大，其中是柱坐标的两个坐标变量，其大小为为角速度，为风眼半径，一般为大的可达（为等温大气高度，为地面大气密度，在飓风中，由于气压很大，的级别无关）.第1页/共15页解 计算动能.因为,微元素所以 因为飓风活动空间很大，在选用柱坐标计算中由由所以第2页/共15页其中用分部积分法算得为,下面计算何处速度最大.因为,因此动能为 .所以第3页/共15页最大值(实际上是最小值)，舍去.由(2)式解得.此时，它是的单调下降函数.故处速度最大.也即海平面上风眼边缘处速度最大.由(1)式得，显然当时不是第4页/共15页二、覆盖全球需多少颗卫星 一颗地球同步轨道通讯恒星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道.若使通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动.问卫星距地面的高度h应为多少？试一颗计算通讯卫星的覆盖面积.如果要覆盖全球需多少颗这类卫星？(地球半径取R=6400km)解 设卫星距地面高度为.卫星所受的万有引力为卫星所受离心力为.其中是地球质量，是卫星质量，是卫星运行的角速率，第5页/共15页 解 设卫星距地面高度为.卫星所受的万有引力为卫星所受离心力为.其中是地球质量，是卫星质量，是卫星运行的角速率，是万有引力常数.根据牛顿第二定律有 ,其中为重力加速度常数.将代入(1)从而 .第6页/共15页则有计算一颗通讯卫星的覆盖面积:取地心为坐标原点，地心到卫星中心的联线为 z 轴建立坐标系，如图9.50所示(为简明，仅画出了平面).图9.50第7页/共15页 一颗通讯卫星的覆盖面积为 ,其中是上半球面上被圆锥角所限定的曲面部分.利用极坐标变换 第8页/共15页利用极坐标变换 由于 ,代入上式得 第9页/共15页将代入(2)计算出通讯卫星的注意到地球的表面积为，可知因子恰为卫星覆盖.实际覆盖面积代入面积与地球表面积的比例系数.将第10页/共15页可以看到一颗通讯卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，(R为球半径，H为球缺高)直接计算.显然，故 的通讯卫星就可以覆盖几乎全部故使用三颗相间为地球表面(即覆盖全球).注：已知卫星离地面距离为h时，其覆盖面积也可用球冠面积公式第11页/共15页yxO图9.51zb地球面上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫做环带假定地球是球形的，试证明任何一个环带的面积均为的距离（两纬线间的距离指的是它们所在的两平行平面间的距离，证明：首先计算半径为的球面被平面所截得到上面那部分球壳，如图9.51所示因上半球面方程为三、地球环带的面积,其中是地球的半径，是构成环带的两条纬线之间而不是所夹经线的长度），它在面上的投影区域为的面积第12页/共15页,所以.显然纬线（平面与球面的交线）与赤道所成的环带的面积为如果两纬线在同一半球(南半球或北半球)，不妨设两纬线在与球面的交线，则环带的面积为.现计算环带的面积及北半球且分别为平面第13页/共15页如果两纬线有一条在北半球，别一条在南半球，与球面的交线，则环带的面积为由此可知环带的面积与环带在地球上的位置无关;及不妨设它们分别为由平面.，则环带的面积均为也就是说只要环带的两条纬线的距离为第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页