常微分方程与运动稳定性一篇.pptx

主要研究内容包括：常微分方程研究常微分方程(组)基础理论及其具体解法；运动稳定性研究李雅普诺夫稳定性理论及其在若干系统中的应用；定性理论研究平面动力系统的初等奇点分布，相轨线形态和作图法，以及极限环的性质。第1页/共88页第一篇 常微分方程第2页/共88页引 言 常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题中的常微分运动方程，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。第3页/共88页 其后，许多著名数学家也都遵循这一历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题，在这些问题中通常离不开常微分方程的求解法。海王星的发现是通过对常微分方程的近似计算得到的；十九世纪在天体力学上的主要成就应功于拉格朗日对线性常微分方程的工作。自本世纪二十年代以来，常微分方程的应用范围更是不断扩大并深入到机械，电讯，化工，生物，航空航天，经济和其它社会学科的各个领域，各种成功的实例是不胜枚举的。第4页/共88页 本篇主要介绍常微分方程的一些基本定理、常用解法和计算机应用。第一章 基本概念 中介绍微分方程及其解的定义和几何解释，以及重要的理论基础：解的存在性、唯一性定理、和解对初值(及参数)的连续性、可微性定理；第二章 初等积分法 以恰当方程和积分因子为主线贯穿各种求解法；近似解法；第三章 线性微分方程组 本篇的重点，它是第二篇以及以后一些专业课程的基础，重点放在具体解法上。第5页/共88页参考教材丁同仁，常微分方程教程，高教出版社，1991叶彦谦，常微分方程讲义，人教出版社，1982陆启韶，常微分方程与定性理论，1990天大编，常微分方程与定性理论周义仓，常微分方程及其应用，科学出版社，2003第6页/共88页第一章 基本概念第一节 微分方程及其解的定义第二节 存在和唯一性定理第三节微分方程及其解的几何解释第7页/共88页第一节 微分方程及其解的定义定义 1 由单个自变量x，这个自变量的未知函数 y=y(x)，及其直到n阶导数组成的函数方程(1.1)叫作 n 阶常微分方程。(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)如果函数F对未知函数 y和它的各阶导数y,y(n)的全体均是一次的，则是线性常微分方程，否则为非线性常微分方程。(1.2)和(1.5)是线性的；(1.3)和(1.4)是非线性的。第8页/共88页。分别都是微分方程(1.2)在区间(-,0)或(0,+)上的一个解(C是任意的常数).对一切xJ都成立，则 y=j(x)是微分方程(1.1)在定义区间J上的一个解。定义2 设函数 y=j(x)在区间J上连续，且有直到n阶的连续导数，且.可以验证不 是(1.2)的解(1.1)(1.2)第9页/共88页分别都是在区间(-,+)上的一个解.也是在区间(-,+)上的一个解(C1和C1是任意常数)。对于微分方程(1.5)：(1.2)解:第10页/共88页定义3 设n阶微分方程(1.1)的解 y=j(x,C1,C2,Cn)包含n个独立的任意常数C1,C2,Cn,则称为通解；y=j(x)（不包含任意常数）称为特解。n 个任意常数C1,C2,Cn是独立的含义：j,j,，j(n-1)关于C1,C2,Cn的Jacobi行列式是方程(1.5)的通解；是(1.5)的特解。第11页/共88页例如：自由落体运动方程初值问题mgBy=y(t)y地面上式两侧对t积分两次，得到C1,C2 任意常数。若给定初值条件：可确定：结论：自由落体运动在给定初值条件下，惟一地确定一个解第12页/共88页(1.6)一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，第13页/共88页第二节 存在和唯一性定理Lipschiz 条件：毕卡定理：第14页/共88页一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，(1.6)毕卡定理第15页/共88页考虑一阶微分方程(1.7)其中f(x,y)是平面区域G内给定的连续函数(fGC)。其解为：第三节 微分方程及其解的几何解释(1.8)I 是解的存在区间；(1.8)代表平面(x,y)上的一条光滑曲线，即积分曲线。第16页/共88页所以微分方程及其解的几何解释为：给定微分方程就是给定平面区域G上的一个方向场。(1.7)fGC第17页/共88页图（1.1）xy例1 作出微分方程的方向场。解：方向场如图（1.1）。直线 y=kx 就是微分方程的积分曲线，其中 k 是任意常数。第18页/共88页这种用隐函数方式给出的通解，叫作方程的通积分。定义：若由隐函数(x,y)=0 确定的函数：=(x)是(1.1)的解，则(x,y)=0 为(1.1)的通积分。-C是任意常数。(1.9)第19页/共88页第二章第二章 初等积分法初等积分法第一节 全微分方程（恰当方程）第二节 变量分离的方程第三节 一阶线性方程第四节 积分因子法第20页/共88页第一节 全微分方程（恰当方程）(2.1)(2.2)则(2.1)为全微分方程。就是方程(2.1)的一个通积分。(2.3)例 求解微分方程解：第21页/共88页(2.4)是全微分方程的充要条件:(2.5)在R内成立。而且，当(2.5)成立时，方程(2.4)的通积分为(2.6)或者(2.7)x0,y0 x,y x,y0(2.6)x0,y(2.7)第22页/共88页则对x积分第一式:再将它代入上面第二式，即得由此得出：为方程(2.8)的通积分，其中C为任意常数。(2.9)解：例2.求解微分方程(2.8)第23页/共88页第二节第二节 变量分离的方程变量分离的方程微分方程(2.10)为变量分离的方程(2.10)若函数P(x,y)和Q(x,y)均可表示为x的函数与 y的函数的乘积。令：(2.10)=(2.11)例：它的通积分为：(2.12)(2.10)=第24页/共88页因此它的通积分为：(2.13)问题:(2.13)与(2.11)是否同解?(2.11)第25页/共88页积分得：例.求解微分方程：(*)并作出积分曲线族的草图。第26页/共88页(*)=利用方向场并参照通积分表达式，作出积分曲线族:xyABO图(2.1)第27页/共88页第三节第三节 一阶线性方程一阶线性方程一阶线性非齐次方程(2.14)当 q(x)=0 时,(2.14)的齐次方程(2.15)先讨论(2.15)的求解:通解为:其中 p(x)，q(x)C,当 x I=(a,b).(2.15)第28页/共88页讨论(2.14)的求解,将其改写为：(2.16)-恰当方程.其通积分为：积分因子法(2.16)的解：其中C是一个任意常数。(2.17)cc第29页/共88页例.求解微分方程解：计算积分因子乘以原式两端得积分得通解：其中C为任意常数。第30页/共88页或初值问题的解为(2.18)通常把通解(2.17)中的不定积分写成变上限的定积分，即第31页/共88页1.(2.15)的解恒等于零或恒不等于零。2.线性方程的解是整体存在的，即(2.14)或(2.15)的任一解都在 I 上存在。3.(2.15)任意解的线性组合仍为其解，(2.14)和(2.15)的任意解之和仍为(2.14)的解，(2.14)的任意两解之差是(2.15)的解。4.(2.14)任一解加上(2.15)的通解为(2.14)的通解。5.线性方程的初值问题(2.18)的解存在且唯一。线性微分方程的一些性质：(2.14)(2.15)第32页/共88页由(2.20)得第四节第四节 积分因子法积分因子法考虑方程(2.19)(2.20)积分第33页/共88页记得积分因子为：积分因子例.求解微分方程解：乘以积分因子得：所以通积分为：C为常数第34页/共88页第五节第五节 近似解法近似解法 逐次迭代法 Picard迭代序列Taylor 级数 Euler折线法 微分中值定理第35页/共88页第三章第三章 线性微分方程组线性微分方程组第一节 一般理论第二节 常系数线性微分方程组第三节 高阶线性微分方程 第36页/共88页记：考虑 n 阶线性微分方程第一节第一节 一般理论一般理论非齐次线性方程组(3.1)第37页/共88页(3.1)的相应的齐次线性方程组为：(3.2)存在和唯一性定理 线性微分方程组(3.1)在区间上有并且只有一个满足初值条件(3.3)第38页/共88页1.1 齐次线性微分方程齐次线性微分方程(3.4)定理 1 齐次线性微分方程组(3.2)在 axb 上有 n 个线性无关的基本解组(3.5)它的通解为：(3.6)线性无关 即存在线性映射 H:Rn第39页/共88页假设已知(3.7)是微分方程(3.2)的 n 个解组。它的分量形式为：称行列式为解组(3.7)的朗斯基(Wronsky)行列式。第40页/共88页引理3 解组的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式(3.8)证明：利用行列式的基本性质可得第41页/共88页 定理 2 线性微分方程组(3.2)的解组(3.7)是线性无关的充要条件为(3.9)(3.10)线性无关。从引理2的证明中可见，推论 1 解组(3.7)式线性相关的充要条件为第42页/共88页例1 验证微分方程组的通解为：(3.11)(3.12)(3.13)解 不难验证所以(3.13)是一个基本解组 (3.12)是通解。第43页/共88页由解组(3.7)构成的方程(3.2)的解矩阵亦即方程(3.2)的解矩阵 Y(x)是方程(3.2)的矩阵解，反之亦然。其中 C 是 n 维的任意常数列向量。(3.14)(3.15)也是(3.2)的一个基解矩阵；第44页/共88页1.2 1.2 非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组考虑非齐次线性微分方程组(3.1)的通解的结构。得证第45页/共88页利用常数变易法可以求得(3.1)的一个特解(已知(3.2)的一个基解矩阵)。假设(3.1)有如下形式的特解：(3.16)(3.17)(3.18)(3.17)把上式代回(3.16)式，得到非齐次线性微分方程的一个特解：(3.19)第46页/共88页(3.20)(3.21)第47页/共88页解：由例1知道，相应的齐次方程组的一个基解矩阵为：例2.求解初值问题(3.21)第48页/共88页例3.求方程(3.22)的基解阵和通解(3.22)解：原方程(*)式的通解为第49页/共88页第二节第二节 常系数线性微分方程常系数线性微分方程组组常系数线性微分方程组中的系数矩阵 A 为 n 阶常数矩阵，而 f(x)是在 axb 连续的向量函数。(3.23)(3.23)对应的齐次线性方程组(3.24)如何求(3.24)的一个基解矩阵？当 n=1 时，A=a 为一个实数，(3.24)为它的通解为：其中C为任意常数。第50页/共88页2.1 2.1 矩阵指数函数的定义和性质矩阵指数函数的定义和性质定义 矩阵A的指数函数为矩阵指数函数的性质：第51页/共88页2.2 2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵阵证明：矩阵指数函数为逐项求导推论：常系数非齐次线性微分方程组(3.23)的通解为：(3.25)(3.26)第52页/共88页例 假设为一个对角矩阵.推出：第53页/共88页例 解：将矩阵A分解为A=E+Z(3.27)由性质 1 可知(3.29)由幂零矩阵的性质(3.29)和(3.28)代入(3.27)得：(3.28)单位矩阵的性质任意矩阵Jordan标准型JE+Z e xJ-初等函数有限和 第54页/共88页2.3 2.3 利用利用JordanJordan型求基解矩型求基解矩阵阵Jordan标准型假设Jordan块第55页/共88页(3.30)(3.31)第56页/共88页(3.32)另一方面(3.33)由P可逆，所以由上式得(3.34)亦即缺点:求Jordan标准型 J 和变换阵成过急P 的计算量太大第57页/共88页2.4 2.4 特征根法特征根法(3.24)设齐次线性方程组有解(r,待定)r 0第58页/共88页利用式(3.34),应用待定系数法，可直接求得(3.24)的相应基解矩阵，按矩阵 A 的Jordan 型特征根的重数分为两种情况：(一)A 只有单的特征根(3.35)第59页/共88页证明：将y代入(3.24)即可则 y1的共轭复值解:-实值解有一对复特征根的情况。复值解:-第60页/共88页例3 求微分方程组的通解。解：求特征值所以方程的通解为：第61页/共88页例 求解微分方程组解：易知解矩阵可取为：特征值特征向量求实基解矩阵(3.35)：通解为第62页/共88页另一种做法：从复值解提取所需的实值解；它的实部和虚部为：是两个线性无关解，由此同样可得通解。注意,y1 的共轭为 的第一列为：第63页/共88页(一)A 只有单的特征根(3.24)齐次线性方程组第64页/共88页(3.36)(3.37)的一个非零解，而(3.38)(二)A有重特征根第65页/共88页比较 x 的同次幂的系数可得：证明：把(3.36)代入(3.24)得：1.r0 是(3.37)的非零解（否则(3.36)是(3.24)的零解）2.r0，rni-1 中，只有前m个为非零向量，其后全为零向量。(3.36)第66页/共88页(3.39)(3.40)其中-与 i 相应的第 j 个向量多项式（i=1,2,s;j=1,2,ni）证明：(3.37)第67页/共88页例 求解方程组解：第68页/共88页；把它们分别代入(3.38)，并注意 ，就可得到：把以上结果代入(3.39)式，可得到一个基解矩阵通解为：第69页/共88页例 求解方程组解：通解为：-C为三维的任意常数列向量。可直接验证下式不等于零：第70页/共88页例 求解方程组解：由第三个方程把 y3 代入到第二个方程，得到：将 y2代入第一个方程，得到：方程组的通解：第71页/共88页第三节第三节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程 (3.41)仅含一个未知函数y=y(x)的n阶线性微分方程：(3.42)(3.43)引入(3.44)则方程(3.41)等价于一阶线性微分方程组第72页/共88页(3.44)*微分方程(3.41)满足初值条件(3.45)(3.42)齐次方程第73页/共88页(3.47)Wronsky 行列式(3.48)3.1 高阶线性微分方程的一般理论(3.42)(3.49)对于(3.42)第74页/共88页(3.42)(3.50)(3.51)积分可得出(3.51)第75页/共88页证明：即得结论(3.52)(3.53)其中第76页/共88页(3.54)例 若已知二阶线性微分方程 解 直接由公式(3.52)和(3.53)得通解为：(3.55)也可以用常数变易法推导(3.55)式。与(3.54)相对应的齐次方程的通解为：(3.56)假设(3.54)也有如上形式的解：求导得：第77页/共88页(3.57)在上式中令：(3.58)则有(3.59)再次求导后，由(3.54)可以推出：联立式(3.57)和(3.58)，可以解出积分上式，再代回到(3.56)式中，整理后就得到(3.55)式。求导得：第78页/共88页3.2 3.2 常系数高阶线性微分方常系数高阶线性微分方程程(3.50)(3.51)N 阶线性常系数微分方程相应的齐次线性方程(3.52)(3.53)化成方程组：(3.54-55)A的特征方程：第79页/共88页(3.56)是微分方程(3.51)的一个基本解组。(3.57)(3.58)第80页/共88页-实值解注：有一对复特征根的情况:由实部和虚部提取实值解第81页/共88页例 求解微分方程解：特征方程为特征根为0，-1 和 2基本解组为：通解为例 求解微分方程解：特征方程取复值解原方程通解：第82页/共88页(3.59)例 求解微分方程解：相应齐次线性微分方程的特征方程为由此可得齐次方程的一个基本解组：利用常数变易法求得原方程的通解为：第83页/共88页利用待定系数法来确定方程的特解例如，假设方程(3.50)中的非齐次项第84页/共88页例 求解微分方程解：特征方程为：由此推知：原方程的通解为：例求解微分方程第85页/共88页例求解线性微分方程组解：从第一个方程可得求出它的一个基本解组为得到原来微分方程组的通解为：代入第二个方程（*）第86页/共88页第三节第三节 一阶线性方程一阶线性方程一阶线性非齐次方程(2.14)当 q(x)=0 时,(2.14)的齐次方程(2.15)先讨论(2.15)的求解:通解为:其中 p(x)，q(x)C,当 x I=(a,b).(2.15)第87页/共88页感谢您的观看！第88页/共88页