有限元法分析.pptx
5.3 有限元法的工程应用有限元法的工程应用5.3.1 有限元法的解题步骤有限元法的解题步骤1.结构的力学模型简化采用有限元法有限元法来分析实际工程结构实际工程结构的强度和刚度问题时：首先应从工程实际问题中抽象出力学模型，即需对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化。这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。力学模型简化力学模型简化时，必须明确以下几点：(1)判断实际结构的问题类型，是属于一维问题、二维问题还是三维问题。如果是二维问题，应分清是平面应力状态，还是平面应变状态。第1页/共57页(3)简化后的力学模型必须是简化后的力学模型必须是静定结构静定结构或或超静定结构超静定结构。(4)进行进行力学模型简化力学模型简化时，还要给定时，还要给定结构力学参数结构力学参数如材料弹性模如材料弹性模量量E，泊松系数，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。尺寸等。(2)结构是否对称，如果结构对称，则充分利用结构对称性简化计算，如图5-a 所示（取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算）。图5-a 取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算第2页/共57页2.单元划分和插值函数的确定单元划分和插值函数的确定 根据根据分析对象分析对象的的结构几何特性结构几何特性、载荷情况载荷情况及所要求的及所要求的变形变形点点，建立由各种单元所组成的，建立由各种单元所组成的计算模型计算模型。单元划分后，利用单元划分后，利用单元的性质单元的性质和精度要求，写出表示单元内和精度要求，写出表示单元内任意点的任意点的位移函数位移函数；并利用节点处的；并利用节点处的边界条件边界条件，写出用，写出用节点位移节点位移表表示的单元体内任意点示的单元体内任意点位移的插值函数式位移的插值函数式。第3页/共57页 根据根据位移插值函数位移插值函数，由弹性力学中给出的，由弹性力学中给出的应变应变和和位移关系位移关系，可，可计算出单元内任意点的计算出单元内任意点的应变应变；由由物理关系物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意单元内任意点点的的应力应力；由由虚功原理虚功原理,可得可得单元的有限元方程单元的有限元方程，即，即节点力节点力与与节点位移节点位移之之间的关系，从而得到间的关系，从而得到单元的刚度矩阵单元的刚度矩阵。3.单元特性分析第4页/共57页整体分析整体分析是对由各个单元组成的是对由各个单元组成的整体整体进行分析。进行分析。整体分析的目的整体分析的目的是建立是建立节点外载荷节点外载荷与与节点位移节点位移之间的关系，以之间的关系，以求解求解节点位移节点位移。把各单元按节点组集成与原结构体相似的把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构整体结构，得到，得到整体整体结构的节点力与节点位移之间的关系结构的节点力与节点位移之间的关系。上式上式称为称为整体有限元方程式整体有限元方程式。式中：。式中：F为整体总节点载荷列阵；为整体总节点载荷列阵；K为整体结构的刚度矩阵，或称为整体结构的刚度矩阵，或称总刚度矩阵总刚度矩阵；q是整体结构的所有节点的位移列阵。是整体结构的所有节点的位移列阵。4.整体分析（单元组集）（5-33）第5页/共57页上式上式写成写成分块的形式分块的形式，则为，则为对于对于弹性力学平面问题弹性力学平面问题：子向量子向量 F i、q i 都是都是二维向量二维向量，子矩阵子矩阵 K ij 是是22阶矩阵，阶矩阵，角标角标(i,j)为为节点总码编号节点总码编号，n 为整体结构中的为整体结构中的节点总数节点总数。（5-34）第6页/共57页(1)整体节点位移列阵 q q 的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。这相当于将各个单元的节点位移 直接叠加，共同节点只取一个表示即可。(2)总刚度矩阵 K 由各个单元刚度矩阵 直接叠加而成。这种叠加这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。总刚度矩阵总刚度矩阵中其余元素均为零。整体有限元方程式中的 F、K 和 q 可按以下步骤建立：K第7页/共57页图5-7所示为一块三角形薄板一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况是在节点4、5、6 三处共有四个位移分量限定为零，即下面通过一个简单实例简单实例来说明总体刚度矩阵总体刚度矩阵 K K 的形成。图5-7 三角形薄板结构第8页/共57页四个单元的节点局部码节点局部码如图5-8所示。图图5-8 离散后的三角形薄板单元离散后的三角形薄板单元 第9页/共57页四个单元四个单元的的节点局部码节点局部码如如图图5-8a 所示。所示。(1)(2)(3)(4)215332523654 图图5-8 离散后的三角形薄板单元离散后的三角形薄板单元 第10页/共57页对比对比图图5-7与与图图5-8可以看出，四个单元可以看出，四个单元节点局部码节点局部码与与节点总码节点总码的的对应关系对应关系为：为：单元单元1：单元单元2：单元单元3：单元单元4：第11页/共57页 假设在假设在单元分析单元分析中，已得出中，已得出单元单元 1 在整体坐标系中的在整体坐标系中的单元刚度单元刚度矩阵矩阵K(1)，写成，写成分块形式分块形式为为对单元 2、3、4 经过坐标转换后，可得出在整体坐标系整体坐标系中的单单元刚度矩阵元刚度矩阵，写成分块形式为局码局码 i j mijm2 3 1 总码总码231它是一个66阶矩阵。矩阵中下标的数字是节点总码。第12页/共57页则按则按下标的编码下标的编码将各子矩阵写入将各子矩阵写入总体刚度矩阵总体刚度矩阵中相应的位置，中相应的位置，对应项对应项相加，则得相加，则得总体刚度矩阵总体刚度矩阵为为第13页/共57页第14页/共57页 综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析单元分析得到局部坐标系下的各个单元的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵后，由它们组集成整体坐标系整体坐标系下的总总体刚度矩阵体刚度矩阵，需经如下步骤：将所得的局部坐标系下的各单元刚度矩阵 节点局部码转换为转换为对应的节点总码，从而得到整体坐标系的单元刚度矩阵整体坐标系的单元刚度矩阵；将整体坐标系整体坐标系的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的的各子矩阵各子矩阵根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵总体刚度矩阵相应的位置上；将下标下标相同的相同的子矩阵子矩阵相加，形成总体刚度矩阵中相应的子矩子矩阵阵。第15页/共57页整体总节点载荷列阵整体总节点载荷列阵F 是是由由各单元节点载荷列阵各单元节点载荷列阵 叠加而叠加而成的。成的。它它是将是将各单元各单元的的 送到送到 F 中对应中对应节点编号的行上节点编号的行上，而，而且交且交于同一节点的于同一节点的不同单元不同单元，对应于该节点的，对应于该节点的节点载荷子块节点载荷子块要互相叠加。要互相叠加。在组集在组集载荷列阵载荷列阵前，应将前，应将非节点载荷非节点载荷离散并等效地转移到离散并等效地转移到相应单相应单元的元的节点上节点上。转移方法转移方法根据力的性质不同有不同的转换关系：根据力的性质不同有不同的转换关系：(1)体积力体积力 p 的的单元等效节点载荷单元等效节点载荷(3)整体总节点载荷列阵 F（5-35）第16页/共57页(2)表面力表面力 q 的的单元等效节点载荷单元等效节点载荷(3)非节点集中力非节点集中力P的的单元等效节点载荷单元等效节点载荷上式中：上式中：N为单元形函数；为单元形函数；Np为单元形函数在载荷作用点的取值。为单元形函数在载荷作用点的取值。总的单元等效节点力总的单元等效节点力用用叠加法叠加法求出求出（5-37）（5-36）（5-38）第17页/共57页 在进行整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点，该节点的节点力应该是共有节点共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵F。现以图5-9所示的某弹性体边界上的一部分单元的组合为例，来说明其叠加过程。第18页/共57页如如图图5-9所示，假设所示，假设节点节点 i 是是三个单元三个单元、的的连接点连接点，受，受相关单元上移置而来的相关单元上移置而来的外载荷外载荷 Rix与与 Riy，如，如图图5-9(a)所示。所示。同时同时三个单元三个单元都受到都受到节点节点 i 所施加的所施加的节点力节点力Rix(1)、Riy(1)、Rix(2)、Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如如图图5-9(b)所示。所示。图图5-9 某简单结构体某简单结构体 第19页/共57页式中，式中，表示围绕表示围绕 i 节点节点相连接的相连接的所有单元所有单元之和。之和。用用分块矩阵分块矩阵表示：表示：利用在单元分析中，已建立的这三个单元在节点处的节点力与节点位移的关系式(5-3b)，就可把相邻的三个单元在节点 i 处加以集合，如图5-9(c)所示，此时在三个单元的共同点上，总的节点力应为：根据节点 i 的平衡条件，总的节点力应等于作用在该节点处的外载荷（图5-9 d），即 第20页/共57页5.解有限元方程可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。在解题解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将式(5-33)进行缩减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移q。6.计算应力应变 若要求计算应力、应变，则在计算出节点位移q后，则可通过前述有关公式计算出相应的节点应力和应变值。第21页/共57页 例例5-1图图5-10(a)所示为一个所示为一个平面薄梁平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷单位长度上的均布载荷q=100N/cm。假定材料的弹性模量为。假定材料的弹性模量为E，泊松，泊松比比=0，梁厚为，梁厚为t=0.1cm。在不计自重的情况下，试用。在不计自重的情况下，试用有限元法有限元法计算计算该该梁的梁的位移位移和和应力应力。5.3.2 计算实例下面通过一个简单的计算实例来说明有限元法的工程应用的分析与计算过程。图5-10 平面薄梁的受载状态及单元划分第22页/共57页解：解：1.力学模型的确定力学模型的确定 由于由于此结构此结构的长度和宽度远大于梁厚，而的长度和宽度远大于梁厚，而载荷载荷作用于梁的平面内，作用于梁的平面内，且沿厚度方向且沿厚度方向均匀分布均匀分布，因此可按，因此可按平面应力问题平面应力问题处理。处理。因为因为此结构此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的对称的，所以，所以取其取其一半一半作为作为分析对象分析对象如如图图5-10(b)，对称轴上的，对称轴上的点约束横向位移点约束横向位移为为0。图5-10 分析对象第23页/共57页2.结构离散化结构离散化 由于由于该问题该问题属于属于平面应力问题平面应力问题，本本例题例题选用单元类型为选用单元类型为三节点三角三节点三角形单元形单元。然后对该结构进行然后对该结构进行结构离散化结构离散化，共划分，共划分两个单元两个单元，选取坐标系，并，选取坐标系，并对对单元单元和和节点节点进行编号如进行编号如图图5-10(b)所示。所示。3.求应变距阵求应变距阵B与弹性距阵与弹性距阵D对对单元单元，见，见图图5-10(c)，由于，由于节点坐标节点坐标：i(0,0)，j(6,6),m(0,6)代代入入式式(5-8)和和式式(5-9)，得得第24页/共57页则由则由式式(5-15)和和式式(5-18)，求得，求得应变距阵应变距阵B和平面应力问题的和平面应力问题的弹性弹性距阵距阵D为为第25页/共57页对于对于单元单元，见，见图图5-10(d)，由，由节点坐标节点坐标：i(0,0),j(6,0),m(6,6)。同理可得同理可得单元单元应力矩阵：应力矩阵：则得单元应力矩阵：第26页/共57页4.求各单元刚度距阵K 对于三角形单元，由式(5-30)，可得单元的刚度距阵：第27页/共57页同理，可得同理，可得单元单元的刚度距阵的刚度距阵：第28页/共57页5.建立整体有限元方程式建立整体有限元方程式根据根据刚度集成方法刚度集成方法，按，按节点位移序号节点位移序号组建整体结构的组建整体结构的总刚度距总刚度距阵阵K：如如图图5-10(b)所示，作用在所示，作用在1、4边上边上的均布载荷按的均布载荷按静力等效原理静力等效原理移移置到置到1、4节点节点上，得整体结构的上，得整体结构的等效节点载荷列阵等效节点载荷列阵F：第29页/共57页进而，可得进而，可得该结构该结构的的整体限元方程式整体限元方程式：为为第30页/共57页6.引入边界约束简化有限元方程组引入边界约束简化有限元方程组由于由于对称轴对称轴上上 u3=u4=0，节点节点2为固定绞支点，即为固定绞支点，即 u2=v2=0，所以，所以只需考虑只需考虑四个位移四个位移u1,v1,v3,v4，则相应，则相应刚度方程刚度方程变为变为这样划去这样划去对应的行和列对应的行和列，上述，上述整体限元方程式整体限元方程式缩减为缩减为第31页/共57页解解上面方程组上面方程组，可得，可得各节点位移各节点位移：7.解线性代数方程组求各节点位移根据根据式式(5-19)，计算计算各单元的应力各单元的应力：单元单元：8.计算各单元的应力第32页/共57页单元单元：第33页/共57页5.4 有限元软件简有限元软件简介介1.有限元软件的选用基于有限元法有限元法是一种十分重要的分析工具分析工具，可在众多领域获得应用，为此国际上的一些软件公司软件公司先后开发出了许多性能优良、功能齐全的大型通用化有限元分析软件，例如：ABAQUS、ADINA、ANSYS、NASTRAN、MARC、SAP等。单元库内有齐全的一般常用单元，如杆、梁、板、轴对称、板壳、多面体单元等；功能库内有各种分析模块，如静力分析、动力分析、连续体分析、流体分析、热分析、线性与非线性模块等；应用范围广泛，并且一般都具有前后置处理功能，汇集了各种通用的标准子程序，组成了一个庞大的集成化软件系统。这些通用软件的特点是：第34页/共57页 在一些在一些CAD/CAM/CAE系统系统嵌套了嵌套了有限元分析模块有限元分析模块，它们它们与与设计软件设计软件集成为一体，可在集成为一体，可在设计环境设计环境下运行。下运行。例如：例如：设计软件设计软件I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等，其等，其有限元分析模块有限元分析模块虽没有通用或专用软件那么强大全面，但虽没有通用或专用软件那么强大全面，但是完全可以解决一般工程设计问题。是完全可以解决一般工程设计问题。在选用在选用有限元软件有限元软件时，可时，可综合考虑综合考虑以下以下几个方面几个方面：(1)软件的功能；软件的功能；(2)单元库内单元的种类；单元库内单元的种类；(3)前后处理功能；前后处理功能；(4)软件运行环境；软件运行环境；(5)软件的价位；软件的价位；(6)数据交换类型、接口及二次开发可能性。数据交换类型、接口及二次开发可能性。第35页/共57页2.有限元分析的前、后置处理有限元分析的前、后置处理 有限元软件有限元软件一般由一般由三部分组成三部分组成：(1)前置处理前置处理部分；部分；(2)有限元分析有限元分析，这是其主要部分，它包括进行单元分析和整体分，这是其主要部分，它包括进行单元分析和整体分析、求解位移和应力值的各种计算程序；析、求解位移和应力值的各种计算程序；(3)后置处理后置处理部分。部分。采用采用有限元法有限元法进行进行机械结构分析机械结构分析时，需要输入大量的数据，如时，需要输入大量的数据，如单单元数元数、单元特性单元特性、节点数节点数、节点编号节点编号、节点位置坐标节点位置坐标等，等，这些这些称为称为有有限元的前置处理限元的前置处理。第36页/共57页前置处理前置处理的的主要内容主要内容包括：包括：按所选用的单元类型对结构按所选用的单元类型对结构进行网格划分进行网格划分；按要求按要求对节点进行顺序编号对节点进行顺序编号；输入输入单元特性单元特性及及节点坐标节点坐标；生成并在屏幕上显示出带有生成并在屏幕上显示出带有节点节点和和单元标号单元标号以及以及边界条件边界条件的的网格图象网格图象，以便检查和修改；，以便检查和修改；对显示图象进行对显示图象进行放大放大、缩小缩小、旋转旋转和和分块变换分块变换等等。第37页/共57页 为实现上述内容而编制的程序叫做前置处理程序前置处理程序，一般包括以下功能：(1)生成节点坐标可用手工或交互式输入节点坐标，绕任意轴旋转生成一系列节点坐标，沿任意向量方向平移生成相应的节点坐标，生成有关面、体的节点坐标等，合并坐标值相同的节点号，按顺序重编节点号；(2)生成单元输入单元特性，进行网格单元平移、旋转、对称复制等；(3)修改和控制网格单元对单元体局部网格密度进行调整；平移、插入或删除网格单元；(4)引进边界条件引入边界条件，约束一系列节点的总体位移和转角；第38页/共57页(5)单元属性编辑单元属性编辑定义定义单元几何属性、材料物理特性，删除、插入或修改弹性模单元几何属性、材料物理特性，删除、插入或修改弹性模量、惯性矩等参数；量、惯性矩等参数；(6)单元分布载荷编辑单元分布载荷编辑定义、插入、删除和修改定义、插入、删除和修改节点的载荷、约束、质量、温度等信节点的载荷、约束、质量、温度等信息。息。图5-11是用SAP5SAP5软件软件对矩形截面悬梁做结构分析时，根据输入的单元和节点数，前置处理自动生成的网格图。系统把悬梁结构分成了5个三维实体单元，每个单元有20个节点，共68个节点。根据网格图，可检查输入的数据是否正确，如输入数据有误，网格中的节点就会偏离正确的位置，从而产生错误的网格图。第39页/共57页图5-11某矩形截面悬梁的前置处理中生成的网格图单元单元5单元单元4单元单元3单元单元2单元单元1第40页/共57页经过有限元分析后有限元分析后得到的大量数据大量数据，如应力与应变、节点位移量等，需要进行必要的分析与加工整理，还可以利用计算机的图形功能，形象地显示出有限元分析的结果，以便设计人员正确地筛选、判断、采纳这些结果，并对设计方案进行实时修改，这些工作称为有限元后置处理有限元后置处理。用于表示和记录有限元数据的图形图形主要有网格图、结构变形图、应力等值线图、色彩填充图（云图）、应力向量图和动画模拟图等。为了实现这些目的而编制的程序称为后置处理程序后置处理程序。下面列示出的各图列示出的各图为采用有限元分析软件有限元分析软件进行机械产品及其零部件分析的实例。第41页/共57页图5-b有限元法分析实例及应用第42页/共57页图5-c有限元法分析实例及应用第43页/共57页拓扑优化拓扑优化Topology optimization在给定设计空间内优化材在给定设计空间内优化材料的布局料的布局形状优化形状优化Shape optimization优化给定的几何特性的优化给定的几何特性的形状形状尺寸优化尺寸优化Size optimization参数优化参数优化例如：梁的厚度和截面例如：梁的厚度和截面尺寸等尺寸等形貌优化形貌优化Topography optimization优化优化Bead/Swage 布布置方式置方式图5-d有限元法分析实例及应用第44页/共57页图5-e有限元法分析实例及应用第45页/共57页AIRBUS A380缝翼前缘的优化缝翼前缘上存在13根翼肋，尺寸变化尺寸变化从 3m x 2m x 0.12m到 1m x 0.89m x 0.12m图5-f有限元法分析实例及应用第46页/共57页拓扑优化拓扑优化(Topology Optimization)定义封闭的设计空间定义封闭的设计空间拓扑优化拓扑优化设计材料布局设计材料布局拓扑优化拓扑优化几何提取几何提取 ICAD 实体的几何提取实体的几何提取尺寸和形状优化尺寸和形状优化几何提取几何提取尺寸和形状优化尺寸和形状优化考虑屈曲和应力分析考虑屈曲和应力分析图5-g有限元法分析实例及应用第47页/共57页图5-h有限元法分析实例及应用第48页/共57页Plate under torsionPlate under torsionDesign variable generationDesign variable generationFinal contourFinal contourFinal DesignFinal Design图5-i有限元法分析实例及应用第49页/共57页图5-j有限元法分析实例及应用第50页/共57页3.典型有限元分析软件简介典型有限元分析软件简介(1)SPA1)SPA系列软件系列软件 SPASPA是由SPA1，SPA2，SPA7组成的系列有限元软件，SPA1SPA6是线性分析软件，SPA7是非线性分析软件，功能更强。SPA6配置有前置处理程序MODDL、后置处理程序POST和温度场分析程序TAP6。单元库内有多种二维和三维单元类型，可以建立二维和三维结构的有限元计算模型。可用于对承受静力、惯性载荷和动力载荷的弹性结构体进行动、静力学分析与计算。第51页/共57页(2)ASKA(2)ASKAASKA包括60万条语句、64种单元。用其可以对各种形状、材料（包括各向异性材料）的大型工程结构进行分析和计算。ASKA系统含有的程序模块有：弹性静力分析模块ASKA；线性动力分析模块ASKA；材料非线性分析模块ASKA；线性屈曲分析模块ASKA；温度场分析模块ASKAT；交互式图形分析模块INGA；前处理网格生成模块FEMGEN；后处理图形显示模块FEMVIEW；绘图模块FEPS。第52页/共57页(3)ANSYS(3)ANSYSANSYS系统是ANSYS有限公司开发的产品，其单元库中有二维单元、轴对称固体、壳和弯曲板等100多种单元类型；材料库中有钢、铜、铝等10种材料数据，具有自动生成网格、自动编节点号、绘图等功能。该系统功能齐全，可以进行静态和动态、线性和非线性、均质与非均质分析。AUTOFEA是ANSYS公司开发的与AUTOCAD R12和AUTOCAD R13集成化的有限元分析系统。它可以在AUTOCAD平台上使用，用ADST AUTOLISP作为开发工具，用户可以方便地进行二次开发二次开发。第53页/共57页 (4)I-DEAS4)I-DEAS中的有限元分析模块中的有限元分析模块I-DEAS是美国SDRC公司开发的CAD/CAM/CAE系统软件，其嵌套了有限元分析模块。该模块可以进行图形有限元建模，梁结构的综合造型设计，结构静力学与动力学、热传导模拟分析等。I-DEAS由前、后置处理、数据输入、模型求解、优化设计、框架分析等模块组成。其中框架分析模块又包含三种模块：(1)SAGS(1)SAGS模块模块，用于分析静载荷下的梁、壳结构，可得到节点的位移、转角、支反力、单元载荷和应力、应变等参数；(2)LAGS(2)LAGS模块模块，可以对连续弹性体的结构进行分析，并可输出整体位移、整个结构所受的载荷和结构累积能量的列表数据；(3)DAGS(3)DAGS模块模块，可以计算梁、壳类的固有频率，无阻尼受迫动态响应以及进行模态分析。第54页/共57页本章作业：（1）p215：习题5-1（2）p216：习题5-9（3）p216：习题5-10第55页/共57页本章结束Thank you！第56页/共57页感谢您的观看！第57页/共57页
