第四讲插值与拟合精选文档.ppt

第四讲插值与拟合本讲稿第一页，共二十三页则插值公式化为余项化为本讲稿第二页，共二十三页称为Newton向前插值公式。插值余项为此公式适于求此公式适于求x位于数据表表头的函数近似值。位于数据表表头的函数近似值。本讲稿第三页，共二十三页优点：结构简单，容易计算；优点：结构简单，容易计算；次数每升高一次，只要在原公式中增添一项即可。次数每升高一次，只要在原公式中增添一项即可。例如：例如：解题步骤：解题步骤：1.构造差分表，取表中第一条斜线上方的部分。构造差分表，取表中第一条斜线上方的部分。2.计算系数：计算系数：3.根据公式，写出插值多项式。根据公式，写出插值多项式。本讲稿第四页，共二十三页例题例题解解.-0.1451117-0.1646838-0.1735836-0.1714563-0.0195721-0.00889980.0021273-0.01067230.01102710.0003548本讲稿第五页，共二十三页本讲稿第六页，共二十三页2.Newton向后插值公式向后插值公式设本讲稿第七页，共二十三页称为Newton向后插值公式。该式适于求x位于数据表表尾的函数近似值。插值余项为本讲稿第八页，共二十三页例题解-0.1451117-0.1646838-0.1735836-0.1714563-0.0195721-0.00889980.0021273-0.01067230.01102710.0003548本讲稿第九页，共二十三页t=-2/3 如果用相同的节点对同一点进行插值，则向前、向如果用相同的节点对同一点进行插值，则向前、向后两种公式只是形式上的差别，计算结果相同。后两种公式只是形式上的差别，计算结果相同。练习：82页例4本讲稿第十页，共二十三页 4.5 分段线性插值分段线性插值一、问题一、问题分析n+1个节点的n次插值多项式的余项公式确定确定本讲稿第十一页，共二十三页例例1.并作图比较.解解:本讲稿第十二页，共二十三页不同次数的不同次数的Lagrange插值多项式的比较图插值多项式的比较图Runge现象现象本讲稿第十三页，共二十三页结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.Faber定理：定理：对对a,b：上任意给定的三角阵：上任意给定的三角阵：总存在定义在总存在定义在a,b上的连续函数上的连续函数f(x)：使得由三角阵中任一行元：使得由三角阵中任一行元素为插值节点所生成的素为插值节点所生成的n阶拉格朗日插值多项式不能收敛到阶拉格朗日插值多项式不能收敛到f(x).本讲稿第十四页，共二十三页二、分段线性插值二、分段线性插值 由于增加插值节点并不能保证插值精度的的提高，我们引进分段线性插值的概念：设在区间a,b上，给定n+1个插值节点本讲稿第十五页，共二十三页构造该区间上的Lagrange线性插值，得如何构造如何构造？本讲稿第十六页，共二十三页考虑本讲稿第十七页，共二十三页由此可见，下面的函数是满足要求的本讲稿第十八页，共二十三页内插外插外插本讲稿第十九页，共二十三页也称折线插值,如右图。曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果特点：特点：构造简单本讲稿第二十页，共二十三页n次Lagrange插值多项式的余项为2.分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计本讲稿第二十一页，共二十三页例例:解解:分段线性插值的公式为本讲稿第二十二页，共二十三页同理练习：86页例6本讲稿第二十三页，共二十三页