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高中数学平面直角坐标系本讲稿第一页，共四十四页【学习目标学习目标】1回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标 系的作用系的作用2通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系 和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或如过极点的直线、过极点或 圆心在极点的圆圆心在极点的圆)的方程通过比较这些图形在极坐标系的方程通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形 时选择适当坐标系的意义时选择适当坐标系的意义本讲稿第二页，共四十四页5借助具体借助具体实实例例(如如圆圆形体育形体育场场看台的座位、地球的看台的座位、地球的经纬经纬 度等度等)了解在柱坐了解在柱坐标标系、球坐系、球坐标标系中刻画空系中刻画空间间中点的位中点的位 置的方法，并与空置的方法，并与空间间直角坐直角坐标标系中刻画点的位置的方系中刻画点的位置的方 法相比法相比较较，体会它，体会它们们的区的区别别本讲稿第三页，共四十四页【学习计划学习计划】内容学习重点建议学习时间平面直角坐标系坐标系的选择；坐标法；伸缩变换2课时极坐标系极坐标系；极坐标和直角坐标的互化2课时简单曲线的极坐标方程直线和圆的极坐标方程2课时球坐标系与柱坐标系简介两种坐标系的意义2课时本讲稿第四页，共四十四页【课标要求课标要求】1了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用2理解平面直角坐标系中的伸缩变换理解平面直角坐标系中的伸缩变换3能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题第一节平面直角坐标系第一节平面直角坐标系【核心扫描核心扫描】1对对平面直角坐平面直角坐标标系的系的应应用以及坐用以及坐标标法的考法的考查查是本是本节热节热点点2本本节节内容常与方程、平面几何内容常与方程、平面几何图图形形结结合命合命题题3理解理解图图形伸形伸缩变换缩变换与坐与坐标变换标变换之之间间的关系的关系(难点难点)本讲稿第五页，共四十四页1平面直角坐标系平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数有序实数 对对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合 (2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建 立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关 系系 (3)坐标法解决几何问题的坐标法解决几何问题的“三步曲三步曲”：第一步，建立适当坐：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问 题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问 题；第三步，把代数运算结果题；第三步，把代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论自学导引自学导引本讲稿第六页，共四十四页2平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸 缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研 究几何变换究几何变换本讲稿第七页，共四十四页想一想想一想如何理解点的坐标的伸缩变换？如何理解点的坐标的伸缩变换？提示提示在平面直角坐标系中，变换在平面直角坐标系中，变换将点将点P(x，y)变换到变换到P(x，y)当当1时，是横向拉伸变换，当时，是横向拉伸变换，当01时，是纵向拉伸变换，当时，是纵向拉伸变换，当01时，是纵向压缩变换时，是纵向压缩变换本讲稿第八页，共四十四页1坐坐标标系是系是现现代数学中的重要内容，它在数学代数学中的重要内容，它在数学发发展的展的历历史上史上 起着划起着划时时代的作用坐代的作用坐标标系的系的创创建，在代数和几何之建，在代数和几何之间间架架 起了一座起了一座桥桥梁利用坐梁利用坐标标系，我系，我们们可以方便地用代数的方可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间间内一内一 个点的位置它使几何概念得以用代数的方法来描述，几个点的位置它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何何图图形可以通形可以通过过代数形式来表达，代数形式来表达，这样这样便可将抽象的代数便可将抽象的代数 方程用形象的几何方程用形象的几何图图形表示出来，又可将先形表示出来，又可将先进进的代数方法的代数方法 应应用于几何学的研究用于几何学的研究 建立直角坐建立直角坐标标系，数形系，数形结结合，我合，我们们可以解决可以解决许许多数学多数学问问 题题，如函数，如函数问题问题就常常需要借助直角坐就常常需要借助直角坐标标系来解决系来解决名师点睛名师点睛本讲稿第九页，共四十四页2解析法解题步骤解析法解题步骤 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果第三步：把代数运算的结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论3体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法 (1)平面几何平面几何图图形的伸形的伸缩变换缩变换可以可以归结为归结为坐坐标标伸伸缩变缩变 换换，学，学习习中可中可结结合坐合坐标间标间的的对应对应关系关系进进行理解行理解 (2)对对于于图图形的伸形的伸缩变换问题缩变换问题，需要搞清新旧坐，需要搞清新旧坐标标，区，区 别别x，y和和x，y，点，点(x，y)在原曲在原曲线线上，点上，点(x，y)在在变变 换换后的曲后的曲线线上，因此点上，因此点(x，y)的坐的坐标满标满足原曲足原曲线线的方的方 程，点程，点(x，y)的坐的坐标标适合适合变换变换后的曲后的曲线线方程方程本讲稿第十页，共四十四页【思维导图思维导图】本讲稿第十一页，共四十四页题型一运用坐标法解决解析几何问题题型一运用坐标法解决解析几何问题本讲稿第十二页，共四十四页本讲稿第十三页，共四十四页解解以以O1O2的中点的中点O为原点，为原点，O1O2所在的直线所在的直线为为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则则O1(2，0)，O2(2，0)【反思感悟反思感悟】建立坐标系的几个基本原则：建立坐标系的几个基本原则：尽量把点和线段放在坐标轴上尽量把点和线段放在坐标轴上;对称中心一般放在原点对称中心一般放在原点;对称轴一般作为坐标轴对称轴一般作为坐标轴本讲稿第十四页，共四十四页已知已知圆圆C1：(x3)2y21和和圆圆C2：(x3)2y29，动圆动圆M同同时时与与圆圆C1及及圆圆C2相外切，求相外切，求动圆圆动圆圆心心M的的轨轨迹方程迹方程【变式变式1】解解本讲稿第十五页，共四十四页在在 ABCD中，求中，求证证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)思维启迪思维启迪 解答本题可以运用坐标方法，先在解答本题可以运用坐标方法，先在 ABCD所在的平所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离的坐标，再由距离公式完成证明也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以公式完成证明也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明证明题型二用坐标法解决平面几何问题题型二用坐标法解决平面几何问题【例例2】本讲稿第十六页，共四十四页解解 法一法一坐标法：以坐标法：以A为坐标原点为坐标原点O，AB所在的直线为所在的直线为x轴，轴，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系xOy，本讲稿第十七页，共四十四页本讲稿第十八页，共四十四页【反思感悟反思感悟】本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和法一行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的这种是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的这种“以算以算代证代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一法二运用了的解题策略就是坐标方法的表现形式之一法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感本讲稿第十九页，共四十四页已知在已知在ABC中，点中，点D在在BC边边上，且上，且满满足足|BD|CD|，求求证证：|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)【变式变式2】证明法一证明法一以以A为坐标原点为坐标原点O，AB所在直所在直线为线为x轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOy，则，则A(0，0)，设，设B(a，0)，C(b，c)，本讲稿第二十页，共四十四页法二法二 延长延长AD到到E，使，使DEAD，连接连接BE，CE，则四边形则四边形ABEC为平行四边形，为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2|BC|22(|AB|2|AC|2)，即，即(2|AD|)2(2|BD|)22(|AB|2|AC|2)，所以，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)本讲稿第二十一页，共四十四页题型三平面直角坐标系中的伸缩变换题型三平面直角坐标系中的伸缩变换【例例3】思维启迪思维启迪 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解的思想求解本讲稿第二十二页，共四十四页本讲稿第二十三页，共四十四页本讲稿第二十四页，共四十四页本讲稿第二十五页，共四十四页【变式变式3】本讲稿第二十六页，共四十四页本讲稿第二十七页，共四十四页本讲稿第二十八页，共四十四页方法技巧方法技巧求解曲线的轨迹方程求解曲线的轨迹方程本讲稿第二十九页，共四十四页本讲稿第三十页，共四十四页本讲稿第三十一页，共四十四页本讲稿第三十二页，共四十四页本讲稿第三十三页，共四十四页本讲稿第三十四页，共四十四页 P3思考思考 我我们们以信息中心以信息中心为为基点，用角和距离刻画了点基点，用角和距离刻画了点P的位置的位置这这种方法与用直角坐种方法与用直角坐标标刻画点刻画点P的位置有什么区的位置有什么区别别和和联联系？你系？你认为认为哪哪种方法更方便？种方法更方便？答答直角坐标点的位置用有序数组来刻画两者的联系是都通直角坐标点的位置用有序数组来刻画两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想在这里，应该使用角和距离刻过数刻画点，体现了数形结合思想在这里，应该使用角和距离刻画点画点P位置更方便位置更方便本讲稿第三十五页，共四十四页 P4探究探究 你能建立与上述解答中不同的直角坐你能建立与上述解答中不同的直角坐标标系解决系解决这这个个问题问题吗吗？比？比较较不同的直角坐不同的直角坐标标系下解决系下解决问题问题的的过过程，你程，你认为认为建立建立直角坐直角坐标标系系时应时应注意些什么？注意些什么？答答可以建立不同的直角坐标系可以建立不同的直角坐标系(例如以点例如以点F为坐标原点，为坐标原点，OB所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系)解决问题的过程中，根据几何特解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则点选择适当的直角坐标系的一些规则如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上本讲稿第三十六页，共四十四页 P8思考思考 答答椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆我们可以把圆作为椭圆的特例线，圆可以变为椭圆我们可以把圆作为椭圆的特例本讲稿第三十七页，共四十四页课后习题解答课后习题解答习题习题1.1(第第8页页)1 1解解设设两定点两定点A、B，以，以线线段段AB的中点的中点为为原点，原点，AB所所 在直在直线为线为x轴轴建立直角坐建立直角坐标标系，系，则则A、B的坐的坐标为标为(3，0)、(3，0)设动设动点点为为P(x，y)，由已知得到，由已知得到|PA|2|PB|226，即即(x3)2y2(x3)2y226，整理得，整理得x2y24.这这就是点就是点M的的轨轨迹方程迹方程这这是以是以AB的中点的中点为圆为圆心，心，2 为为半径的半径的圆圆本讲稿第三十八页，共四十四页2解解以直以直线线l为为x轴轴，过过点点A与与l垂直的直垂直的直线为线为y轴轴建立平建立平 面直角坐面直角坐标标系系则则点点A的坐的坐标为标为(0，3)设设ABC的外的外 心心为为P(x，y)，因，因为为P是是线线段段BC的垂直平分的垂直平分线线上的点，上的点，所以所以B、C的坐的坐标标分分别为别为(x2，0)，(x2，0)因因为为P也在也在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上，上，整理得整理得x26y50.这这就是所求的就是所求的轨轨迹方程迹方程本讲稿第三十九页，共四十四页3.证明证明法一法一如如图图所示，所示，AD，BE，CO分分别别是三角形是三角形ABC的三条高，取的三条高，取边边 AB所在的直所在的直线为线为x轴轴，边边AB上的高上的高CO 所在的直所在的直线为线为y轴轴建立直角坐建立直角坐标标系系设设 A，B，C的坐的坐标标依次依次为为(a，0)，(b，0)，(0，c)，本讲稿第四十页，共四十四页由方程由方程与与，解得，解得x0.所以，所以，AD，BE的交点的交点H在在y轴轴上上因此，三角形的三条高因此，三角形的三条高线线相交于一点相交于一点所以所以(b)(xa)cy0.得到得到(ab)x0.因因为为ab0，所以，所以x0.所以点所以点H在在AB边边的高的高线线上，即上，即ABC的三的三条高条高线线交于一点交于一点本讲稿第四十一页，共四十四页本讲稿第四十二页，共四十四页5.本讲稿第四十三页，共四十四页本讲稿第四十四页，共四十四页