2021届高考数学大一轮复习（2021-2021高考题库）第8章 第5节 椭圆 理 新人教A版.DOC

12009201320092013 年高考真题备选题库第年高考真题备选题库第 8 8 章章平面解析几何平面解析几何第第 5 5 节节椭圆椭圆考点一考点一椭圆的定义、标准方程椭圆的定义、标准方程1（2013 新课标全国，5 分）已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去 y，由根与系数的关系得到 a，b 之间的关系，并由 a，b，c 之间的关系确定椭圆方程因为直线AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去 y，得a24b2x232a2x94a2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24b21，即 a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，选择 D.答案：D2（2013 广东，5 分）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C的方程是()A.x23y241B.x24y231C.x24y221D.x24y231解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力依题意，设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，所以c1，ca12，c2a2b2，解得 a24，b23.答案：D3（2013 天津，13 分）设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为33，过点 F且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.2(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点 若ACDB ADCB 8，求 k 的值解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力(1)设 F(c,0)，由ca33，知 a 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线的方程为 xc，代入椭圆方程有c2a2y2b21，解得 y6b3，于是2 6b34 33，解得 b 2，又 a2c2b2，从而 a 3，c1，所以椭圆的方程为x23y221.(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(1,0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)，由方程组ykx1，x23y221，消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得 x1x26k223k2，x1x23k2623k2.因为 A(3，0)，B(3，0)所以ACDB ADCB(x1 3，y1)(3x2，y2)(x2 3，y2)(3x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k262k21223k2.由已知得 62k21223k28，解得 k 2.4（2012 山东，5 分）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为()A.x28y221B.x212y261C.x216y241D.x220y251解析：因为椭圆的离心率为32，所以 eca32，c234a2，c234a2a2b2，所以 b214a2，即 a24b2.双曲线的渐近线方程为 yx，代入椭圆方程得x2a2x2b21，即x24b2x2b25x24b21，所3以 x245b2，x25b，y245b2，y25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为(25b，25b)，所以四边形的面积为 425b25b165b216，所以 b25，所以椭圆方程为x220y251.答案：D5（2011 浙江，5 分）已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C2：x2y241 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点若 C1恰好将线段 AB三等分，则()Aa2132Ba213Cb212Db22解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线 AB 与椭圆 C1的一个交点为 C(靠近 A 的交点)，则|OC|a3，因 tanCOx2，sinCOx25，cosCOx15，则 C 的坐标为(a3 5，2a3 5)，代入椭圆方程得a245a24a245b21，a211b2.5a2b2，b212.答案：C6（2011 新课标全国，5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点F1，F2在 x 轴上，离心率为22.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为_解析：根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，e22，ca22.根据ABF2的周长为 16 得 4a16，因此 a4，b2 2，所以椭圆方程为x216y281.答案：x216y28147（2012 陕西，13 分）已知椭圆 C1：x24y21，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率(1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，OB 2OA，求直线 AB 的方程解：(1)由已知可设椭圆 C2的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为32，故a24a32，则 a4，故椭圆 C2的方程为y216x241.(2)法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2，将 ykx 代入y216x241 中，得(4k2)x216，所以 x2B164k2，又由OB 2OA，得 x2B4x2A，即164k21614k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以x2A414k2，由OB 2OA，得 x2B1614k2，y2B16k214k2，将 x2B，y2B代入y216x241 中，得4k214k21，即 4k214k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.8(2010 天津，12 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率 e32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1)求椭圆的方程；5(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B，已知点 A 的坐标为(a,0)，点 Q(0，y0)在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB 4，求 y0的值解：(1)由 eca32，得 3a24c2，再由 c2a2b2，得 a2b.由题意可知122a2b4，即 ab2.解方程组a2b，ab2得 a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.(2)由(1)可知 A(2,0)，设 B 点的坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x2)于是 A，B 两点的坐标满足方程组ykx2，x24y21.由方程组消去 y 并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x116k2414k2，得x128k214k2，从而 y14k14k2.设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为(8k214k2，2k14k2)以下分两种情况：当 k0 时，点 B 的坐标为(2,0)，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是QA(2，y0)，QB(2，y0)由QA QB 4，得 y02 2.当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为 y2k14k21k(x8k214k2)令 x0，解得 y06k14k2.由QA(2，y0)，QB(x1，y1y0)，QA QB 2x1y0(y1y0)228k214k26k14k2(4k14k26k14k2)416k415k2114k224，6整理得 7k22，故 k147，所以 y02 145.综上，y022或 y02 145.考点二椭圆的简单几何性质1（2013 新课标全国，5 分）设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|3m，故离心率 eca2c2a|F1F2|PF1|PF2|3m2mm33.法二：由 PF2F1F2可知 P 点的横坐标为 c，将 xc 代入椭圆方程可解得 yb2a，所以|PF2|b2a.又由PF1F230可得|F1F2|3|PF2|，故 2c 3b2a，变形可得 3(a2c2)2ac，等式两边同除以 a2，得 3(1e2)2e，解得 e33或 e 3(舍去)答案：D2（2013 辽宁，5 分）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF45，则 C 的离心率为()A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力由余弦定理得，|AF|6，所以 2a6814，又 2c10，所以 e101457.7答案：B3（2013 四川，5 分）从椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想由已知，点 P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得 Pc，b2a.ABOP，kABkOP，即bab2ac，则 bc，a2b2c22c2，则ca22，即该椭圆的离心率是22.答案：C4（2012 新课标全国，5 分）设 F1，F2是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P为直线 x3a2上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF2|F1F2|，所以 2(32ac)2c，所以 3a4c，所以 e34.答案：C5（2011 浙江，4 分）设 F1，F2分别为椭圆x23y21 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上，若1F A52F B，则点 A 的坐标是_解析：根据题意设 A 点坐标为(m，n)，B 点坐标为(c，d)F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(2，0)，(2，0)，可得1F A(m 2，n)，2F B(c 2，d)1F A52F B，cm6 25，dn5.点 A、B 都在椭圆上，c23d21，m6 2523(n5)21.解得 m0，n1，故点 A 坐标为(0，1)答案：(0，1)6(2011 辽宁，12 分)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆8C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，AF 2FB.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如果|AB|154，求椭圆 C 的方程解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y10.(1)直线 l 的方程为 y 3(xc)，其中 c a2b2.联立y 3xc，x2a2y2b21得(3a2b2)y22 3b2cy3b40.解得 y1 3b2c2a3a2b2，y2 3b2c2a3a2b2.因为AF 2FB，所以y12y2.即3b2c2a3a2b22 3b2c2a3a2b2.得离心率 eca23.(2)因为|AB|113|y2y1|，所以234 3ab23a2b2154.由ca23得 b53a.所以54a154，得 a3，b 5.椭圆 C 的方程为x29y251.