概率论习题2答案.pdf
.1/10 习题 2 2.1 2抛掷一颗匀称质骰子两次,以 X 表示前后两次出现点数之和,求 X 的概率分布,并验证其满足式.2.1 解：样本空间为)6,6(),.,1,2(),16(),.,2,1(),1,1(,且每个样本点出现的概率均为361,X 的所有可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,且有 类似地,365)6(,364)5(XPXP,365)8(,366)7(XPXP X 的概率分布为 满足：1362/652636543212366)(122kkXP 2.2 设离散随机变量X的概率分布为 kP Xkae,k=1,2,试确定常数.a 2.2 解：由于11111)(1eeaaekXPkkk,故1111eeea 2.3 甲、乙两人投篮,命中率分别为0.7,和 0.4,今甲、乙两人各投篮两次,求下列事件的概率：1两人投中的次数相同；2甲比乙投中的次数多.2.3 解：设YX,分别为甲、乙投中的次数,则有)4.0,2(),7.0,2(BYBX,因此有（1）两人投中次数相同的概率为（2）甲比乙投中次数多的概率为 5628.0)1()0()2()0()1()()()(20YPYPXPYPXPkYPkXPYXPk2.4设离散随机变量X的概率分布为 12kP Xk,k=1,2,.求 12,4,6,.P X；22.5P X；2.4 解：14.015615321)3()2()1(31XPXPXPXP 22.01531521)2()1(5.25.0XPXPXP 2.5 设离散随机变量X的概率分布为 15kkXP,k=1,2,3,4,5.求 113PX；20.52.5PX；2.5 解：1314/114/14121)2(,.6,4,21121kkkkkkXPXP.2/10 225.0412/118/121)()3(33kkkkXPXP 2.6 设事件A在每次试验中发生的概率为 0.4,当 A 发生 3 次或 3 次以上时,指示灯发出信号,求下列事件的概率.1进行 4 次独立试验,指示灯发出信号；2进行 5 次独立试验,指示灯发出信号；2.6 解：设 X 为 4 次独立试验时事件 A 发生的次数,设 Y 为 5 次独立试验时事件 A 发生的次数,则有)4.0,5(),4.0,4(BYBX 1所求概率为：2所求概率为：2.7 某城市在长度为 t单位：小时的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为0.5t的泊松分布,且与时间间隔的 2 无关,求下列事件的概率.1某天中午 12 点到下午 15 点末发生火灾；2某天中午 12 点到下午 16 点至小发生两次火灾.2.7 解：1设 X 为中午 12 点到下午 15 点发生火灾的次数,根据题意可知,X 服从参数为5.15.03的泊松分布,所求概率为 2设 Y 为中午 12 点到下午 16 点发生火灾的次数,根据题意可知,Y 服从参数为25.04的泊松分布,所求概率为 2.8 为保证设备正常运行,必须配备一定数量的设备维修人员,现有同类设备 180 台,且各设备工作相互独立,任一时间设备发生故障的概率都是 0.01.假定一台设备由一人进行修理,问至小配备多小设备维修人员,才能保证设备发生故障后得到与时维修的概率不小于0.99？.2.8 解：设 X 为 180 台机器同时发生故障的台数,则)8.1()01.0,180(PBX,设需要 n 个维修人员才能保证99.0 nXP,即01.0)1(nXP,现在8.1!8.1)(ekkXPk,于是1.0)(1nkkXP,查表得6,71nn,即 6 个维修人员可满足要求.其它 2.9 某种元件的寿命 X的概率密度函数为：求 5 个元件使用 1500 小时后,恰有 2 个元件失效的概率.2.9 解：设事件 A 为元件寿命大于 1500 小时,则 设 Y 为 5 个元件中寿命不大于 1500 小时的元件个数,则)3/1,5(BY,所求概率为：2.10 设某地区每天的用电量 X是一连续型随机变量,概率密度函数为：假设每天供电量仅有 80 万千瓦时,求该地区每天的供电量不足的概率.若每天供电量上升到90 万千瓦时,每天的供电量不足的概率是多小？2.10 解：1若供电量为 80 万千瓦小时,则供电量不足的概率为：2若供电量为 90 万千瓦小时,则供电量不足的概率为：2.11 设随机变量(2,4)KU,求方程22230 xKxK有实根的概率.3/10 2.11 解：K 的密度函数为：则方程有实根的概率为：2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命 X单位：小时服从参数为 0.005 的指数分布,求下列事件的概率：1发射管的寿命不超过 100 小时；2发射管的寿命超过 300 小时.3一只发射管的寿命不超过 100 小时,另一只发射管的寿命在 100 至 300 小时之间.2.12 解：X 的密度函数为：（1）所求概率为（2）所求概率为（3）由于两个事件相互独立,故所求概率为 2.13 设每人每次打 的时间 X单位：分钟服从参数为 0.5 的指数分布,求 282 人次所打 中,有两次或两次以上超过 10 分钟的概率.2.13 解：设 A 为事件打 时间超过 10 分钟,X 为打 时间,则 X 服从参数5.0的指数分布,即)5.0(ExpX,于是 设 Y 为 282 人中打 时间超过 10 分钟的人次,则)9.1()282(),282(PpPpBY.所求概率为 2.14 某高校女生的收缩压 X单位：毫米汞柱服从2(110,12)N,求该校某名女生：1收缩压不超过 105 的概率；2收缩压在 100 至 120 之间的概率.2.14 解：1收缩压不超过 105 的概率为：3372.06628.01)42.0(1)42.0(10110105)105()105(FXP2收缩压在 100 至 120 之间的概率为：2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过 0.01 设计的,设成年男性的身高 X单位：厘米服从正态分布2(170,6)N,问车门的最低高度应为多小？2.15 解：设车门最低高度为 a,则01.0)(aXP,即 反查标准正态分布函数表得33.26/)170(a,即18498.18333.26170a,即车门最低高度为 184 厘米.2.16.20同类型产品中有2件次品,其余为正品,今从该20件产品中每次任取4次,每次只取1 件,取后不放回,以 X 表示 4 次取到正品的件数,求X的分布律与分布函数.2.16 解：这是一个超几何分布问题,即 X 的概率分布为 即X的分布律为 X 0 1 2 kp 9560 9532 953 X 的分布函数为：.4/10 2.17.袋中有同类型的小球 5 只,编号分别为 1,2,3,4,5,今在袋中任取小球 3 只,以 X 表示 3总小球的最小,求随机变量X的分布律与分布函数.2.17 解：X 的所有可能取值为 1,2,3,其概率分布为 X 1 2 3 kp 106 103 101 X 的分布函数为：2.18.设连续型随机变量X的分布函数为 1求2,P X 03,PX22.5.PX.2求 X 的密度函数.2.18 解：因为 X 是连续型随机变量,故 2X 的密度函数为 2.18.设连续型随机变量X的分布函数为 1求常数,ab和2求 X 的概率密度函数,3求(ln4ln16)PX 2.19解：1由于axFFx)(lim)(1,得1a,又由于)(xF在0 x点右连续,可得baxFFx)(lim)0(00,即得1,0bba 2X 的密度函数为 3因为 X 是连续型随机变量,故 2.20.设型随机变量X的概率分布为：X 0 2/2/3 kp 0.3 0.2 0.4 0.1 求型随机变量 Y 的概率分布:2)2(XY,)2(XCOSY.2.20 解：1由 X 的分布律得 X 0 2/2/3 kp 0.3 0.2 0.4 0.1 Y 2 0 2 24 于是即得2)2(XY的分布律：Y 0 2 24 kp 0.2 0.7 0.1 由 X 的分布律得 X 0 2/2/3.5/10 kp 0.3 0.2 0.4 0.1 Y 1 1 1 1 于是即得)2(XCOSY的分布律：Y 1 1 kp 0.7 0.3 2.21.设型随机变量X的分布函数为 1求 X 的概率分布2求yxX 的概率分布.2.21 解：1X的概率分布为：X 1 1 2 kp 3.0 5.0 2.0 2|XX的概率分布为：|X 1 2 kp 0.8 2.0 2.22.设随机变量(0,1)XN,求下列随机变量 Y 的概率密度函数：2(1)Y21;(2)Y;(3)XXeYX,求1YX 的密度函数.2.22 解：X的密度函数和分布函数分别为：2221)()(xXexxf,)()()(xXPxxFX,且有)()()()(xfxxxFXX 112XY的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中 2121)12()()(yyXPyXPyYPyFY,因此Y的密度函数为 2XeY的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中 0),ln(0,0)()()(yyXPyyePyYPyFXY,.6/10 当0y时 于是Y的密度函数为 32XY 的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中.0,1)(2,0,00),()(,0,00,(,0,0)()()(2yyyyyyyyyXyPyyXPyYPyFY,于是Y的密度函数为 2.23.设随机变量 U(0,)X,求下列随机变量 Y 的概率密度函数：(1)Y2ln;(2)Ycos;(3)sin.XXYX,求1YX 的密度函数.2.23 解：X的密度函数和分布函数分别为：其他，,0,0,/1)(xxfX,)()(xXPxFX,且有)()(xfxFXX 1XYln2的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中 22)ln2()()(yXyYeFeXPyXPyYPyF,因此Y的密度函数为 2XYcos的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中 于是Y的密度函数为 3XYsin的密度函数和分布函数分别为)()(),(yYPyFyfYY,其中 于是Y的密度函数为 第二章综合练习 1.填空题 1 已知随机变量X的分布列为 X0 1 2 3 kP0.1 0.2 0.4 p 则：p=0.3.7/10 2 设X的分布函数为0001)(xxexFx，,则 2XP；3XP；X的概率分布)(xf.3.设X的概率分布为其它，02021)(xxf,则 1XP；2XP.4 设随机变量X的概率密度为其它，02cos)(xxAxf,则：系数A=；20 XP=.5.设随机变量 X 的概率分布为 X 0 2 P 41 21 41 则232XY的分布律为,X 的分布函数)(xF为.6.设随机变量 X 的概率分布为!)(KAKXPK,2,1K,0,则常数A.若随机变量 X 的概率密度为0 00 )(xxexfx,则当C时,有21)(CXP.设随机变量 X 的概率密度为其他 010 x 2)(xxf,对 X 进行三次独立重复观察,用Y表示事件)21(X出现的次数,则)2(YP.设连续型随机变量 X 的分布函数为.2 ,1,20 ,sin,0 ,0)(xxxAxxF则 A=,)6|(|XP.2.选择题 1设随机变量 X 的概率密度为)(xf,且)()(xfxf,F是 X 的分布函数,则对.8/10 任意实数 a 有 AdxxfaFa0)(1)(B.dxxfaFa0)(21)(C)()(aFaF D.1)(2)(aFaF 2下述函数中,可作为某个随机变量的分布函数的是 A.211)(xxF B.xxFarctan121)(C.0 ,0;0 ),1(21)(xxexFx D.dttfxFx)()(,其中1)(dttf.3 设1X,2X是 随 机 变 量,它 们 的 分 布 函 数 分 别 为)(1xF,)(2xF,为 使)()()(21xbFxaFxF是某一随机变量的分布函数,在下列给出的各组数中应取 A 53a,52b B.32a,32b C 21a,23b D.21a,23b 4设随机变量X的密度函数为其它,010,4)(3xxxf,则使)()(aXPaXP成立的常数a .5.设X的概率分布为f xAxx()，其它010,则21XP=.43 31 41 21 6 设X和Y均 服 从 正 态 分 布XNYN()()，4522,记pP X14,pP Y25,则()A对任何实数都有pp12()B对任何实数都有pp12()C仅对的个别值有pp12()D对任何实数都有pp12 计算题 1一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件,第 i 个零件不合格的概率为.9/10)3,2,1(11iipi,以 X 表示三个零件中合格品的个数,求 X 的分布律.2 设随机变量 X 的概率密度为其他 010 x 2)(xxf,现对 X 进行 n 次独立重复观测,以nV表示观测值不大于 0.1 的次数,求nV的概率分布.3设随机变量5,2UX,对 X 进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于 3 的概率.4设测量的随机误差)40,20(2NX,试求在三次重复测量中,至少有一次误差的绝对值不大于 30 的概率.5设连续型随机变量 X 的分布密度为其他 011-1)(2xxkxf,确定常数k；求 X 落在21,21内的概率.6设连续型随机变量 X 的分布密度为.2 ,0,20 ,41,0 ,21)(xxxexfx,试求 X 的分布函数)(xF.7设连续型随机变量 X 的分布密度为 0 00 1)(2)(2xxxxfX,求 3XY 的分布密度；XYln的分布密度.综合练习答案 填空题.0.3,.23,01,()0,0 xexeef xx,.1,12,.1 1,2 2.10/10.Y 2 32 322 P 41 21 41.eeA1,.2ln1C,.649)2(YP,.A=1；21)6|(|XP 选择题.1B；2B；3A,4.A,5.C,6.B 3.1X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 241 41 2411 41 2nV的概率分布为knkknnCkVP)99.0()01.0()(,nk,1,0 32720 4约为 0.87 5 1k；31 6.2 ,1,20 ,421,0 ,21)(xxxxexFx 7 0 00 1)(32)(3232yyyyyfY)1(2)(2yyYeeyf,y、
