2020-2021备战中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附详细答案.pdf

2020-2021备战中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附详细答案 一、一元二次方程 1解方程：(x+1)(x3)=1【答案】x1=1+3，x2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x22x=2，配方得：x22x+1=3，即（x1）2=3，解得：x1=1+3，x2=13 2某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为 10%（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调 x%，则 7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为 10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠 3已知 x1、x2是关于 x 的元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数 a 的整数值【答案】（1）a0 且 a6;（2）a 的值为 7、8、9 或 12【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得 x1+x2=26aa ，x1x2=6aa ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=66a 是是负整数，即可得66a是正整数根据 a 是整数，即可求得 a 的值 2【详解】（1）原方程有两实数根，a0 且 a6（2）x1、x2是关于 x 的一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根，x1+x2=，x1x2=，（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=+1=（x1+1）（x2+1）是负整数，是负整数，即是正整数 a 是整数，a6 的值为 1、2、3 或 6，a 的值为 7、8、9 或 12【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键 4解方程：2212xx6x9（）【答案】124xx23，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得 2212xx3（）（）开平方，得 1 2xx3，或1 2xx3（）解得124xx23，5从图象来看，该函数是一个分段函数，当 0 xm 时，是正比例函数，当 xm 时是一次函数【小题 1】只需把 x 代入函数表达式，计算出 y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案 6解下列方程：(1)2x24x10(配方法)；(2)(x1)26x6.【答案】(1)x1162，x2162(2)x11，x25.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为 ab=0 的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x22x12，x22x132.(x1)232.x13262.x1162，x2162.(2)由题可得，(x1)26(x1)0，(x1)(x16)0.x10 或 x160.x11，x25.7元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果的进价之和为 18 元.当销售 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果利润分别为 4 元和 2 元时,陈老师购买 3 千克甲种苹果和 4 千克乙种苹果共用 82 元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果 100 千克和乙种苹果 140 千克，若将这两种苹果的售价各提高 1 元，则超市每天这两种苹果均少售出 10 千克，超市决定把这两种苹果的售价提高 x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960 元，求 x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克；（2）x的值为 2 或 7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克,b元/千克.由题得：18344282abab 解之得：108ab 答：甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克 （2）由题意得：4100 102140 10960 xxxx 解之得：12x，27x 经检验，12x，27x 均符合题意 答：x的值为 2 或 7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.8已知两条线段长分别是一元二次方程28120 xx的两根，（1）解方程求两条线段的长。（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。【答案】（1）2 和 6；（2）2 2；（3）83【解析】【分析】（1）求解该一元二次方程即可;（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；（3）设分为两段分别是x和6x，然后用勾股定理求出 x，最后求面积即可.【详解】解：（1）由题意得260 xx，即：2x 或6x，两条线段长为 2 和 6；（2）由题意，可知分两段为分别为 3、3，则等腰三角形三边长为 2，3，3，由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：2231=2 2 此等腰三角形面积为12 2 22=2 2（3）设分为x及6x两段 22226xx 83x，2823xS，面积为83.【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.9解方程：(x1)(x1)22x.【答案】x123，x223.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)22x x2-22x-1=0 a=1，b=-2 2，c=-1 =b2-4ac=8+4=120 x=242bbcaa=23 x123，x223.10（问题）如图，在 abc（长宽高，其中 a，b，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在 211 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 311=3（2）如图，在 311 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 611=6（3）依此类推，如图，在 a11 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有1+2+a=a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_ 探究二：（4）如图，在 a21 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a1231=3a a12（5）如图，在 a31 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在 ab1 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_ 探究三：（7）如图，在以 ab2 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱AC 上有b b12 条线段，棱 AD 上有 1+2=2 32=3 条线段，则图中长方体的个数为3a a12b b123=3ab a1b14（8）如图，在 ab3 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有b b12条线段，棱 AD 上有 1+2+3=3 42=6 条线段，则图中长方体的个数为_ （结论）如图，在 abc 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有 1000 个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3）a a12；探究二：（5）3a（a+1）；（6）ab a1b 14；探究三：（8）3ab a1b12；【结论】：abc a1b1 c 18；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是 64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4 代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱 AB 上共有a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 11=a a12，故答案为a a12；探究二：（5）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有 6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 61=3a（a+1），故答案为 3a（a+1）；（6）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b121=ab a1b 14，故答案为ab a1b 14；探究三：（8）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有 6 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b126=3ab a1b12，故答案为3ab a1b12；(结论)棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有c c12条线段，则图中长方体的个数为a a12b b12c c12=abc a1b1 c 18，故答案为abc a1b1 c 18；(应用)由(结论)知，abc a1b1 c 18，在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 2 3 42 13 14 18 =180，故答案为为 180；拓展：设正方体的每条棱上都有 x 个小立方体，即 a=b=c=x，由题意得 33(1)8xx=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64 所以组成这个正方体的小立方块的个数是 64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目 11设 m 是不小于1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m23m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，（1）若 x12+x22=6，求 m 值；（2）令 T=121211mxmxxx，求 T 的取值范围【答案】（1）m=5172；（2）0T4 且 T2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得1m1，根据根与系数的关系可得 x1+x2=42m，x1x2=m23m+3；（1）把 x12+x22=6 化为（x1+x2）22x1x2=6，代入解方程求得 m 的值，根据1m1 对方程的解进行取舍；（2）把 T 化简为 22m，结合1m1 且m0 即可求 T 得取值范围.【详解】方程由两个不相等的实数根，所以=2（m2）24（m23m+3）=4m+40，所以 m1，又 m 是不小于1 的实数，1m1 x1+x2=2（m2）=42m，x1x2=m23m+3；（1）x12+x22=6，（x1+x2）22x1x2=6，即（42m）22（m23m+3）=6 整理，得 m25m+2=0 解得 m=；1m1 所以 m=（2）T=+=22m 1m1 且 m0 所以 022m4 且 m0 即 0T4 且 T2【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 12阅读下面的例题，范例：解方程 x2|x|2=0，解：（1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（2）当 x0 时，原方程化为 x2+x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x10|10=0【答案】x1=4，x2=5【解析】【分析】分为两种情况：当 x10 时，原方程化为 x2x=0，当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，分别求出方程的解即可【详解】当 x10 时，原方程化为 x2x+1010=0，解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，解得 x3=4，x4=5，故原方程的根是 x1=4，x2=5【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号 13关于 x 的一元二次方程（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求 m 的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得 ，方程总有两个实数根 由 可化为：得，方程的两个实数根都是正整数，的最小值为【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.14淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动甲网店销售的 A 商品的成本为 30 元/件，网上标价为 80 元/件（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使 A 商品的售价为 39.2 元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为“双十一”活动之前，乙网店销售 A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出 1000 件 A 商品在“双十一”购物活动当天，乙网店先将 A 商品的网上标价提高 a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的 A 商品数量相比原来一周增加了 2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3 万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价【答案】（1）平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出 a 的值，再将其代入 80（1+a%）中即可求出结论【详解】（1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据题意得：80（1x）239.2，解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去）答：平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元（2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000，整理得：a2+75a25000，解得：a125，a2100（不合题意，舍去），80（1+a%）80（1+25%）100 答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 15关于 x 的一元二次方程 x2（m3）xm2=0（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1|=|x2|2，求 m 的值及方程的根【答案】（1）证明见解析；（2）x1=1+2，x2=12或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式=b24ac 的结果判断即可，当 0 时，有两个不相等的实数根，当=0 时，有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系 x1+x2=-ba，x1x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程 x2（m3）xm2=0，a=1，b=（m3）=3m，c=m2，=b24ac=（3m）241（m2）=5m26m+9=5（m35）2+365，0，则方程有两个不相等的实数根；（2）x1x2=ca=m20，x1+x2=m3，x1，x2异号，又|x1|=|x2|2，即|x1|x2|=2，若 x10，x20，上式化简得：x1+x2=2，m3=2，即 m=1，方程化为 x2+2x1=0，解得：x1=1+2，x2=12，若 x10，x20，上式化简得：（x1+x2）=2，x1+x2=m3=2，即 m=5，方程化为 x22x25=0，解得：x1=126，x2=1+26