2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数网试决赛试卷（小高组）.docx
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组）一、填空题（每题10分,共80分）1（10分）算式×2×（1.875）÷（0.875+1）÷3的值为 2（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁,妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍,爸爸明年的年龄是小龙明年的8倍,那么爸爸今年 岁3（10分）某水池有A、B两个排水龙头同时打开两个龙头排水,30分钟可将满池的水排尽;同时打开两个龙头排水10分钟,然后关闭A龙头,B龙头继续排水,30分钟后也可以将满池的水排尽那么单独打开B龙头,需要 分钟才能排尽满池的水4（10分）如图,圆O的面积为32,OCAB,AOEEOD,COFFOD,则扇形EOF的面积为 5（10分）算式+的值的整数部分为 6（10分）如图中,正方形ABCD的面积为840平方厘米,AEEB,BF2FC,DF与EC相交于G则四边形AEGD的面积为 平方厘米7（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”,例如：909那么所有三位回文数的平均数是 8（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A,B,C,D,E,F,G 处,使得每个圆上的数的和都相等如果所填的数都大于0且不大于10,则填在点G处的数是 二、回答下列各题（每题10分,共40分,写出答案即可）9（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进,而且每条边在同一路线中至多通过一次问：小虫从A到B的不同路线有多少条?10（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片问：图中由格点 A,B,C,D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米?11（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德北京精神”中,每个汉字代表 09 的一个数字,爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字当四位数北京精神最大时,厚德为多少?12（10分）求最小的自然数,它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分,共80分）1（10分）算式×2×（1.875）÷（0.875+1）÷3的值为5【分析】根据分数的四则混合运算的运算顺序解答即可,注意把带分数化成假分数,小数化成分数有利于计算【解答】解：×2×（1.875）÷（0.875+1）÷3××（）÷（+）×4×÷（+）×÷×÷5故答案为：52（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁,妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍,爸爸明年的年龄是小龙明年的8倍,那么爸爸今年39岁【分析】设小龙今年的年龄是x岁,那么妈妈的年龄就是9x岁,小龙的妈妈比爸爸小3 岁,那么小龙爸爸的年龄就是9x+3岁,明年小龙爸爸的年龄就是9x+3+1岁;小龙明年的年龄就是x+1岁,它的8倍就是（x+1）×8,这与小龙爸爸明年的年龄相等,由此列出方程求出小龙今年的年龄,进而求出爸爸的年龄【解答】解：设小龙今年的年龄是x岁,小龙爸爸的年龄就是9x+3岁,（x+1）×89x+3+1 8x+89x+4 9x8x84 x49x+39×4+339（岁）答：爸爸今年39岁故答案为：393（10分）某水池有A、B两个排水龙头同时打开两个龙头排水,30分钟可将满池的水排尽;同时打开两个龙头排水10分钟,然后关闭A龙头,B龙头继续排水,30分钟后也可以将满池的水排尽那么单独打开B龙头,需要45分钟才能排尽满池的水【分析】设工作总量为1,A,B共同排水30分钟排尽,10分钟完成工程的,B完成剩下工程的,时间为30分钟,据此可求出B的工作效率,进而求解【解答】解：设工作总量为1,A,B共同排水需要30分钟两个水龙头的效率和为,合作10分钟,完成工作总量为×10,但是B排水单独工作需要30分钟,工作总量为,B水龙头的效率为：,单独打开B需要时间：1÷45（分）故答案为：454（10分）如图,圆O的面积为32,OCAB,AOEEOD,COFFOD,则扇形EOF的面积为4【分析】可以利用弧度之间的关系先求得EOF的弧度,而EOF可以分EOC和COF两个弧度,再利用已知的弧度关系,不难求得EOF的弧度,面积也不难求得【解答】解：根据分析,由图可知,AOEEODFOD+COF+EOC;又AOE90°EOC,FODCOF,90°EOCFOD+COF+EOC2×COF+EOC,2（EOC+COF）90°EOC+COF45°EOF45°,又圆O的面积为32r2,EOF的面积4故答案是：45（10分）算式+的值的整数部分为46【分析】先把算式通过拆分变形为505×（+）,然后讨论括号里的和的取值,即可解答【解答】解：设A+5×（+）5×（1×10）505×（+）括号里的：+（+）+（+）+（+）所以,+5×（+）则,A505×46.5同理,+（+）+（+）+（+）所以,+5×（+）则,A505×46.8所以,46.5A46.8所以,A46即,原式的值的整数部分为46故答案为：466（10分）如图中,正方形ABCD的面积为840平方厘米,AEEB,BF2FC,DF与EC相交于G则四边形AEGD的面积为510平方厘米【分析】这图形,易让人想到求三角形BCE、CDF、CGF的面积,其中难求得是CGF的面积根据所给的条件,我们应做做GMBC交点为M,这样就形成了与BCE、CDF对应的2组相似三角形再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,即可求得CGF的面积最后根据图形即可算出所求图形的面积【解答】解：做GMBC交点为M,FMGFCDFM：FCMG：CD,BF2FCBC3FC,MG3FM,CGM：CEBCM：CBGM：BE,BC2BE,GMCM3FMCM6FM,FM：FC1：7,CM：CB2：7,SBCEABCD210,SCGM4÷49×210840÷49120÷7,SCDFSABCD÷6140,SMGF140×1÷49140÷4920÷7,SCGM+MGF120÷7+20÷720,840210140+20510（平方厘米）故：四边形AEGD的面积是510平方厘米7（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”,例如：909那么所有三位回文数的平均数是550【分析】三位回文数是ABA的形式,共有90个,因此平均数这些数的和÷90101×（1+2+9）×10+10×（0+1+2+9）×9÷90,即可得出结论【解答】解：三位回文数是ABA的形式A共有1到9共9种可能,即1B1、2B2、3B3B共有0到9共10种可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、共有9×1090个因此平均数这些数的和÷90101×（1+2+9）×10+10×（0+1+2+9）×9÷90（101×45×10+10×45×9）÷9045×10×110÷905×110550,故答案为5508（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A,B,C,D,E,F,G 处,使得每个圆上的数的和都相等如果所填的数都大于0且不大于10,则填在点G处的数是6【分析】首先分析这些数字之间的关系,相等的量和有倍数关系的量,枚举尝试即可【解答】解：依题意可知：A+BA+C+DB+E+FC+F+GD+E+G C+DB,E+FAC+F+G+D+E+GA+B+A+B2GA+B（和为偶数）字母G估算再中间数字5,6,7字母A不能是1,2字母B比较大尝试A3,B9,G6E+F3,C+D9相等数字和为12所以F1C5E2,D4满足条件故答案为：6二、回答下列各题（每题10分,共40分,写出答案即可）9（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行进,而且每条边在同一路线中至多通过一次问：小虫从A到B的不同路线有多少条?【分析】小虫从A到B,第一个六边形的分叉口上下均有2条,B所在的六边形也上下有2条,于是有2×2+2×28条,中间往回走的箭头有2条路线,一共有10条【解答】解：小虫从A到B,第一个六边形的分叉口上下均有2条,B所在的六边形也上下有2条,于是有2×2+2×28条,中间往回走的箭头有2条路线,一共有10条答：小虫从A到B的不同路线有10条10（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片问：图中由格点 A,B,C,D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米?【分析】这属于正方形格点问题,根据正方形格点毕克定理SN1+L÷2可以直接求出面积,其中N表示内部的格点数,L表示边界上的格点数【解答】解：内部的格点数是12,边界点的数是6,根据公式列出算式是121+6÷214答：四边形ABCD的面积等于14平方分米11（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德北京精神”中,每个汉字代表 09 的一个数字,爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字当四位数北京精神最大时,厚德为多少?【分析】由题意,14×20×35+989898,即可得出结论【解答】解：由题意,14×20×35+989898,当四位数北京精神最大时,厚德为9812（10分）求最小的自然数,它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和【分析】从连续非零自然数的和的奇偶性切入进行分析：因为是连续非零自然数之和,那么两个数的和,奇数+偶数奇数;三个数的和,偶数+奇数+偶数奇数,并且是3的倍数;四个数的和一定是偶数,排除掉;五个数的和,奇数+偶数+奇数+偶数+奇数奇数,并且是5的倍数;六个数时,三个奇数+三个偶数奇数3和5最小公倍数是15,这个最小自然数一定是15的倍数通过试算可知45是符合条件的最小的自然数【解答】解：两个数的和,奇数+偶数奇数;三个数的和,偶数+奇数+偶数奇数,并且是3的倍数;四个数的和一定是偶数,排除掉;五个数的和,奇数+偶数+奇数+偶数+奇数奇数,并且是5的倍数;六个数时,三个奇数+三个偶数奇数3和5的最小公倍数是15,所以这个最小自然数一定是15的倍数试算：4522+2314+15+167+8+9+10+115+6+7+8+9+10所以45是符合条件的最小的自然数13
