离散数学图论部分形成性考核书面作业4答案378.pdf
形成性考核作业 1 离散数学作业 4 离散数学图论局部形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共 3 次，内容主要分别是集合论局部、图论局部、数理逻辑局部的综合练习，根本上是按照考试的题型除单项选择题外安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论局部的综合练习作业。一、填空题 1图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，那么 G 的边数是 15 2设给定图 G(如右由图所示)，那么图 G 的点割集是 f 3设 G 是一个图，结点集合为 V，边集合为 E，那么 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍 4无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且 等于出度 5设 G=是具有 n 个结点的简单图，假设在 G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，那么在 G 中存在一条汉密尔顿路 6假设图 G=中具有一条汉密尔顿回路，那么对于结点集V 的每个非空子集 S，在 G 中删除 S 中的所有结点得到的连通分支数为W，那么 S 中结点数|S|与 W 满足的关系式为 W(G-V1)V1 个人收集整理 勿做商业用途 7设完全图 Kn有 n 个结点(n2)，m 条边，当 n 为奇数 时，Kn中存在欧拉回路 姓 名：学 号：得 分：形成性考核作业 2 8结点数 v 与边数 e 满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树 9设图 G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，那么可从 G 中删去 4 条边后使之变成树 10设正那么 5 叉树的树叶数为 17，那么分支数为 i=5 二、判断说明题判断以下各题，并说明理由 1如果图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，那么图 G 存在一条欧拉回路(1)不正确，缺了一个条件，图 G 应该是连通图，可以找出一个反例，比方图 G 是一个有孤立结点的图。2如以下图所示的图 G 存在一条欧拉回路 (2)不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。3如以下图所示的图 G 不是欧拉图而是汉密尔顿图 解：正确 G 形成性考核作业 3 因为图中结点 a，b，d，f 的度数都为奇数，所以不是欧拉图。如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是 a 外，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图 4设 G 是一个有 7 个结点 16 条边的连通图，那么 G 为平面图 解：(1)错误 假设图 G 是连通的平面图，根据定理，结点数 v，边数为 e，应满足 e 小于等于 3v-6，但现在 16 小于等于 3*7-6，显示不成立。所以假设错误。5设 G 是一个连通平面图，且有 6 个结点 11 条边，那么 G 有 7 个面文档收集自网络，仅用于个人学习(2)正确 根据欧拉定理，有 v-e+r=2，边数 v=11，结点数 e=6，代入公式求出面数r=7 三、计算题 1设 G=，V=v1，v2，v3，v4，v5，E=(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)，试(1)给出 G 的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出其补图的图形 解：(1)v1 v5 v2 v3 v4 形成性考核作业 4 (2)邻接矩阵为 0110010110110110110000100 (3)v1结点度数为 1，v2结点度数为 2，v3结点度数为 3，v4结点度数为 2，v5结点度数为 2 (4)补图图形为 2图 G=，其中 V=a,b,c,d,e，E=(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(c,d),(d,e)，对应边的权值依次为 2、1、2、3、6、1、4 及 5，试 1画出 G 的图形；2写出 G 的邻接矩阵；3求出 G 权最小的生成树及其权值 1G 的图形如下：v1 v5 v2 v3 v4 形成性考核作业 5 2写出 G 的邻接矩阵 3G 权最小的生成树及其权值 3带权图 G 如右图所示 (1)求图 G 的最小生成树；(2)计算该生成树的权值 解：(1)最小生成树为 形成性考核作业 6 (2)该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=18 4设有一组权为 2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权 1 2 3 5 7 形成性考核作业 7 权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131 四、证明题 1设 G 是一个 n 阶无向简单图，n 是大于等于 3 的奇数证明图 G 与它的补图G中的奇数度顶点个数相等 证明：设,GV E，,GV E那么E是由 n 阶无向完全图nK的边删去E 所得到的所以对于任意结点uV，u 在 G 和G中的度数之和等于 u 在nK中的度数由于 n 是大于等于 3 的奇数，从而nK的每个结点都是偶数度的1(2)n 度，于是假设uV在 G 中是奇数度结点，那么它在G中也是奇数度结点故图 G 与它的补图G中的奇数度结点个数相等 3 5 2 5 17 17 31 136 形成性考核作业 8 2设连通图 G 有 k 个奇数度的结点，证明在图 G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图 证明：由定理 3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数 又根据定理 4.1.1 的推论，图 G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图 故最少要加2k条边到图 G 才能使其成为欧拉图
