理论力学运动学作业解答 学.ppt
P P155155题题7 7-8 8解：解：一、直角坐标法，取一、直角坐标法，取M为动点，连接为动点，连接MO1，=t，几何关系如图所示，几何关系如图所示2vayaxa则则M点的运动方程为：点的运动方程为：x=R+R cos2t y=R sin2t对上式求导得：对上式求导得：vx=x=2Rsin2t vy=y=2Rcos2t则则M点的速度为：点的速度为：对对速度分量求导得：速度分量求导得：ax=vx=42Rcos2t ay=vy=42R sin2t则则M点的加速度为：点的加速度为：cos(a,i)=ax/a=cos2t二、自然法二、自然法（由下述结果可知：轨迹已知时，用自然法更简便）（由下述结果可知：轨迹已知时，用自然法更简便）M点的运动方程为：点的运动方程为：s=R 2t=2Rt则则M点的速度为：点的速度为：v=s=2R根据有关公式得：根据有关公式得：a t=v=0 a n=v2/R=4R2则则M点的加速度为：点的加速度为：指向曲率中心指向曲率中心O1P P155155题题7 7-8 8cos(v,i)=vx/v=sin2tvxvy(v,i)=/2+2t(a,i)=+2t2va=an沿沿M点的切线指向左上方点的切线指向左上方RRsM00 已知动点的运动方程：已知动点的运动方程：x=50t，y=500t2，x、y单位为单位为m，t单单位为位为 s，求求 t=0 时，时，动动点的切向加速度和法向加速度及轨迹的曲率半径。点的切向加速度和法向加速度及轨迹的曲率半径。P P156156题题7 7-1111解：运动方程对时间求导得：解：运动方程对时间求导得：vx=x=50 vy=y=2t ax=vx=0 ay=vy=2动动点速度为：点速度为：而动而动点加速度为：点加速度为：动动点切向加速度为：点切向加速度为：动动点法向加速度为：点法向加速度为：动动点处点处的轨迹曲率半径的轨迹曲率半径为：为：另解另解（按（按P152例例7-7推导出的计算式进行计算，从第三步开始）推导出的计算式进行计算，从第三步开始）动动点处点处的轨迹曲率半径的轨迹曲率半径为：为：动动点法向加速度为：点法向加速度为：动动点切向加速度为：点切向加速度为：MOO1xy 摇筛机构摇筛机构O1O2=AB，O1A=O2B=l=40cm，杆，杆O1A按按 的规律摆动，求的规律摆动，求 t=0 和和 t=2 s时，时，0=0.5rad，筛，筛面面中点中点M的速度和加速度。的速度和加速度。P P171171题题8 8-1 1解解：AB杆杆平平动动。为为求求中中点点M 的的速速度度和和加加速速度度，只只需需求求出出A点点（或或B点点）的的速速度度和和加加速速度度即即可可。本本题题中中点点A在在圆圆弧弧上上运运动动，圆圆弧弧的的半半径径为为l。如如以以最最高高点点O为为起起点点，规规定定弧弧坐坐标标s向向左左为为正正，则则A点点的运动方程为的运动方程为将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得A点的速度点的速度再求一次导，得再求一次导，得A点的切向加速度点的切向加速度A点的法向加速度点的法向加速度代入代入 t=0和和 t=2，l=40cm，0=0.5rad 就可求得就可求得A点在该两瞬时的速度和加速点在该两瞬时的速度和加速度，亦即点度，亦即点M在该两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：在该两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：0=-12.34(铅垂向上)002 =6.17 (铅垂向下)0 =15.71(水平向右)00an(ms2)at(ms2)v(ms1)(rad)t(s)绞车由带轮绞车由带轮、及鼓轮及鼓轮组成，轮组成，轮和轮和轮固连，各轮半固连，各轮半径分别为径分别为r1=30cm，r2=75cm，r3=40cm，轮轮转速转速n1=100rpm。轮与胶带间轮与胶带间无滑动，求重物无滑动，求重物M上升的速度和胶带上升的速度和胶带AB、BC、CD、DA各段上点的加速度。各段上点的加速度。P P172172题题8 8-8 8解：属定轴转动刚体及其传动问题由图知：n3=n2=r1n1/r2=30100/75=40rpm因带与各带轮间无滑动，故带与带轮轮缘的速度大小均相等，即：vAB=vBC=vCD=vDA=r11=r1n1/30=30100/30m/s绳不伸长，故重物与轮轮缘上点 H 的速度相等 vM=vH=r33=r3n3/30=4040/301.68m/sH因轮匀速转动，故1、2、3均为常量，1=2=3=0 即各轮定轴匀速转动。BC段与轮接触，aBC=v2BC/r2=2/0.75=13.16m/s2，指向轮的轴心DA段与轮接触，aDA=v2DA/r1=2/0.30=32.90m/s2，指向轮的轴心vMAB段和CD段为直线，aAB=aCD=0P P172172题题8 8-9 9 摩擦传动机构主动轮摩擦传动机构主动轮1 1的转速的转速 n=600rpm，它与被动轮它与被动轮2 2的接触点的接触点 C C 按按箭头方向移动，距离箭头方向移动，距离 d=10-0.5t(cm、s)，r=5cm，R=15cm，求，求(1)(1)以以 表表示轮示轮2 2的角加速度；的角加速度；(2)(2)d=r 时，轮时，轮2 2边缘上一点边缘上一点 A A 的全加速度。的全加速度。解：两轮只滚不滑时，两轮接触点解：两轮只滚不滑时，两轮接触点C C处的速度相同，处的速度相同，即即 vc1=vc2(1)(1)1=n1/30=20(rad/s)，由 vc1=vc2 即 1r=2d 得 2=1r/d=100/(100.5t)2=2=50/(100.5t)2=50/d2(rad/s2)(2)(2)当当d=r 时，时，aA=R2=R50/d2=1550/52=30(cm/s2)vA=R2=R1r/d=1520=300(rad/s)anA=22R=15(20)2=60002(cm/s2)或 anA=vA2/R=(300)2/15=60002(cm/s2)C CA A1 12 2 摇杆OC通过固定于齿条AB上的销子K带动齿条上下移动，齿条又带动半径为10cm的齿轮绕 O1 轴转动，如在图示位置时摇杆的角速度=0.5rad/s，求此时齿轮的角速度O1。选K为动点，动系固连于摇杆。yxP189题9-901解：则齿条AB 包括销K的铅垂运动为绝对运动，摇杆OC绕O轴转动为牵连运动，垂直于OC，销子K在齿条槽内的直线运动为相对运动。牵连速度、相对速度、绝对速度方向如图示由速度合成定理vavevr得：va=ve/sin60=OK/sin60 =0.5(40/sin60)/sin60=80/3=26.7(cm/s)齿条为平动刚体，故与齿轮的接触点的速度v也为 va，即 v=va=O1r解得：O1=va/r=26.7/10=2.67(rad/s)v 凸凸轮轮在在水水平平面面上上向向右右作作匀匀速速运运动动，如如图图所所示示。设设凸凸轮轮半半径径为为R，图图示示瞬时的速度和加速度分别为瞬时的速度和加速度分别为v和和a。求杆求杆AB在图示位置时的速度和加速度。在图示位置时的速度和加速度。=60 ABv vnRa a解：1.选择动点、动系与定系。选择动点、动系与定系。动系动系Oxy，固连于凸轮。固连于凸轮。2.运动分析。运动分析。绝对运动铅垂平动。绝对运动铅垂平动。牵连运动水平平动。牵连运动水平平动。动点杆动点杆AB 的端点的端点A。相对运动圆周运动。相对运动圆周运动。Oxy定系固连于机座。定系固连于机座。P190P190题题9-129-12ABv vnRa aOxy3.速度分析。速度分析。绝对速度绝对速度va：大小未知，方向沿杆大小未知，方向沿杆AB。相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆大小未知，方向沿凸轮圆 周的切线周的切线。牵连速度牵连速度ve：ve=v，方向水平向右。方向水平向右。v va av ve ev vr r根据速度合成定理根据速度合成定理得：得：沿杆沿杆AB 向上向上ABv vnRa a Oxy4.加速度分析。加速度分析。绝对加速度绝对加速度aa：大小未知大小未知，为所要求的量，方向沿直线为所要求的量，方向沿直线AB。相对加速度切向分量相对加速度切向分量art：大小未知大小未知，垂直于垂直于 OA，假设向右下。假设向右下。牵连加速度牵连加速度ae：ae=a，方向水平向左方向水平向左。相对加速度法向分量相对加速度法向分量arn：aen=vr 2/R，沿沿OA，指向指向O。aeaaP190P190题题9-129-12根据加速度合成定理根据加速度合成定理将上式投影到法线将上式投影到法线 n 上，得上，得解得杆解得杆AB在图示位置时的加速度为：在图示位置时的加速度为：方向铅垂向下。方向铅垂向下。最后将最后将 a=0，=60 代入代入进进行行计计算得：算得：方向铅垂向上。方向铅垂向上。两齿条以速度两齿条以速度v1和和v2作同向直线平动，两齿条间夹一半径为作同向直线平动，两齿条间夹一半径为r的齿轮，求齿轮的角速度的齿轮，求齿轮的角速度及其中心及其中心O的速度的速度vO。解：解：基点法基点法：以：以O以为基点，得以为基点，得 v1=vo+r v2=vor 由由得:=(v1v2)/2r 由由+得:vo=(v1+v2)/2 瞬心法瞬心法：设：设v1v2，瞬心为瞬心为C，BC=l，由于齿轮作平面运动，由于齿轮作平面运动，故有故有 =v2/l 及及 =v1/(l+2r)由此可得由此可得：l=2r v2/(v1v2)所以所以 =v2/l=(v1v2)/2r vo=(l+r)=(v1v2)/2r2r v2/(v1v2)+r=(v1+v2)/2C Cvovorrv1 v2，则，则顺钟向顺钟向；v1 v2，则，则逆逆钟向钟向；v1=v2，则，则=0，齿轮平动。齿轮平动。v1 v2，则，则顺钟向顺钟向；v1 v2，则，则逆逆钟向钟向；v1=v2，则，则=0，齿轮平动。齿轮平动。P209题题10-3P209P209题题10-510-5ABABv vA Av vB B 图示四连杆机构中，图示四连杆机构中，OA=OOA=O1 1B=0.5ABB=0.5AB，曲柄曲柄OAOA以角速度以角速度3rad/s3rad/s绕绕轴转动，求在图示位置杆轴转动，求在图示位置杆ABAB和杆和杆O O1 1B B的角速度。的角速度。2 2A A解解1 1：O O点瞬心，点瞬心，vA=OA=OAAB,AB=3 rad/svB=AB OB=2 O1B，2=ABOB/O1B=5.2 rad/s解解3 3：由速度投影定理得由速度投影定理得 vAcos=vBsin =30 2=OB/O1B=5.2 rad/s解解2 2：以：以A A为基点，得为基点，得 v vB B=v vA A+v vABABvA=vABsin OA=ABABsin30ABABv vA Av vB B2 2A A2=OAcot30/O1B=5.2 rad/s vA=vBtan OA=O1B2tan30AB=OA/(ABsin30)=3 rad/sABABv vA Av vB B2 2A A用速度投影法无法直接求得杆用速度投影法无法直接求得杆ABAB的角速度的角速度ABv vABABv vA AvBcos=vABvAsin 2O1Bcos=ABAB OAsinAB=(2O1Bcos+OAsin)/AB=3 rad/s
