数值计算方法第2版 第6章 数值积分和数值微分.ppt

第第6 6章章 数值积分数值积分和数值微分和数值微分 本章的问题：本章的问题：计算定积分计算定积分abf(x)dx的近似值。的近似值。必要性必要性:如果如果f(x)的原函数是的原函数是F(x)，则则 等等.实际问题中常有些被积函数没有表达式实际问题中常有些被积函数没有表达式,只是通过观测只是通过观测得到一些离散的数据点得到一些离散的数据点,这样的定积分也只能用数值方法近这样的定积分也只能用数值方法近似计算似计算.（牛顿（牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示表示,牛顿牛顿-莱布尼兹公式不能用莱布尼兹公式不能用.如如 第第6 6 章章 数值数值积分和数值微分积分和数值微分 6.1 数值积分概述 6.2 牛顿-柯特斯公式 6.3 变步长求积和龙贝格算法 6.4 高斯型求积公式 6.5 数值微分6.1.2 6.1.2 代数精度代数精度代数精度与节点数的关系代数精度与节点数的关系6.1.3 6.1.3 插值求积公式插值求积公式6.1.4 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤用待定系数法构造插值求积公式用待定系数法构造插值求积公式6.2 6.2 牛顿牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式6.2.1 6.2.1 公式的导出公式的导出6.2.2 6.2.2 牛顿牛顿-柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度6.2.3 6.2.3 低阶求积公式的余项低阶求积公式的余项6.2.4 6.2.4 复化求积法复化求积法6.2 6.2 牛顿牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式6.2.1 公式的导出公式的导出2 2 柯特斯系数的求取柯特斯系数的求取n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14425/14425/9619/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/8407751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/172808989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/28350柯特斯求积系数表：柯特斯求积系数表：例如：例如：n=1时，有时，有n=2时，有时，有柯特斯系数的性质柯特斯系数的性质(2)系数有对称性。系数有对称性。(3)当当n8时开始出现负值的柯特斯系数。时开始出现负值的柯特斯系数。(1)取取f(x)1，则则 f(n+1)(x)0,Rn(f)0，于是于是梯形公式梯形公式 当当n=1 1时时,有有 相当于用直线相当于用直线P(x)代替代替f(x)计算积分计算积分。3 3 常用的低阶牛顿常用的低阶牛顿-柯特斯公式柯特斯公式抛物线抛物线(辛卜生辛卜生)公式公式牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式 当当n=2时有时有 相当于用过两个端点和中点的二次相当于用过两个端点和中点的二次 抛物线抛物线P(x)代替代替f(x)计算积分计算积分。辛卜生公式的几何意义辛卜生公式的几何意义 柯特斯公式柯特斯公式牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式 当当n=4时有时有 6.2.2 牛顿柯特斯公式的代数精度牛顿柯特斯公式的代数精度当当f(x)是是1,x,x2,xm 时，准确成立，但当时，准确成立，但当f(x)=xm+1时，不时，不准确成立，则称求积公式的准确成立，则称求积公式的代数精确度代数精确度（简称（简称代数精度代数精度）为）为m。复习复习 定义定义 求积公式求积公式（Ai与与f(x)无关）无关）牛顿柯特斯公式是把积分区间分成牛顿柯特斯公式是把积分区间分成n等分，用等分，用n+1个个节点构造的插值求积公式。因此，牛顿柯特斯公式至少具节点构造的插值求积公式。因此，牛顿柯特斯公式至少具有有n次次代数精度，但当代数精度，但当n n为偶数时为偶数时具有具有n+1次次代数精度。代数精度。定理定理 当当n是偶数时，牛顿柯特斯求积公式具有是偶数时，牛顿柯特斯求积公式具有n+1次代数精确度。次代数精确度。梯形公式，梯形公式，n=1(2个节点）个节点）,有有1次代数精度，应用梯次代数精度，应用梯形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单。形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单。辛卜生（抛物线）公式，辛卜生（抛物线）公式，n=2(3个节点）个节点）,有有3次代次代数精度，数精度，柯氏公式，柯氏公式，n=4(5个节点）个节点）,有有5次代数精度。次代数精度。因为其代数精度高，所以常采用。因为其代数精度高，所以常采用。当当n=3(4个节点）个节点）,因为因为n=3不是偶数，只有不是偶数，只有3次代数次代数精度，所以该公式不采用。精度，所以该公式不采用。证证由于由于(x-a)(x-b)在在a,b 中不变号，中不变号，在在a,b 中连续，中连续，根据广义积分中值定理，存在一点根据广义积分中值定理，存在一点 a,b,使使6.2.3 6.2.3 牛顿柯特斯公式的余项牛顿柯特斯公式的余项 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计）梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计）定理定理（梯形公式的余项）设（梯形公式的余项）设f(x)在在a,b上具有连续的二阶上具有连续的二阶导数，则梯形公式的余项（误差导数，则梯形公式的余项（误差)对对梯形公式余项的说明梯形公式余项的说明1负号负号2f(x)的的2阶导数，有阶导数，有1次代数精度。次代数精度。3和区间的和区间的3次方成正比。次方成正比。例例 证梯形公式的代数精度为证梯形公式的代数精度为1。证明证明梯形公式是梯形公式是误差误差当当f(x)=1,x时，时，R1(f)=0,梯形公式成为准确等式梯形公式成为准确等式.当当f(x)=x2时，根据梯形公式，时，根据梯形公式，R1(f)不为零。不为零。因此，梯形公式的代数精度为因此，梯形公式的代数精度为1。定理定理 （辛卜生（辛卜生公式的公式的余项）设余项）设f(x)在在a,b上具有连续上具有连续的四阶导数，则辛卜生公式的余项的四阶导数，则辛卜生公式的余项 定理定理 （柯特斯（柯特斯公式的公式的余项）设余项）设f(x)在在a,b上具有连续的六上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的阶导数，则柯特斯公式的余项余项对对辛卜生公式余项的说明辛卜生公式余项的说明1负号负号2f(x)的的4阶阶导数，有导数，有3次代数精度。次代数精度。3和区间的和区间的5次方成正比。次方成正比。例例 证明辛卜生公式的代数精度为证明辛卜生公式的代数精度为3。证明证明辛卜生公式是辛卜生公式是误差误差当当f(x)=1,x,x2,x3时，时，R2(f)=0,辛卜生公式成为准确等式辛卜生公式成为准确等式.当当f(x)=x4 时，时，因此，辛卜生公式的代数精确度为因此，辛卜生公式的代数精确度为3。0，辛卜生公式不能准确成立。，辛卜生公式不能准确成立。对对科特斯科特斯公式余项的说明公式余项的说明1负号负号2f(x)的的6阶导数，有阶导数，有5次代数精度。次代数精度。3和区间的和区间的7次方成正比。次方成正比。梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在区间不大梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在区间不大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比较大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比较大时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生公式时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项分别和区间长度的和柯特斯公式的余项分别和区间长度的3，5，7次方次方成正比），为减小因区间过大造成的误差过大，将积成正比），为减小因区间过大造成的误差过大，将积分区间等分成分区间等分成 n 等份，对每等份（每个小区间）分别等份，对每等份（每个小区间）分别用低阶的牛顿柯特斯公式（如梯形公式、辛卜生公用低阶的牛顿柯特斯公式（如梯形公式、辛卜生公式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来，得到式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来，得到积分的近似值。积分的近似值。6.2.4复化求积法复化求积法 复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份,每每份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛卜生公式或科特斯公式等）积公式（如梯形公式、辛卜生公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式。分加起来，得到复化求积公式。将积分区间等分成将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式求积，然后再将其结果加起来。积公式求积，然后再将其结果加起来。设设f(x)在在a,b上有连续的二阶导数，上有连续的二阶导数，n是正整数是正整数.将将a,b等分等分成成n个小区间个小区间1 1 复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差在在，上运用梯形公式，上运用梯形公式然后对各子区间的积分值相加然后对各子区间的积分值相加在在a,b上的误差上的误差由于由于f(x)连续，对连续函数在连续，对连续函数在a,b上存在上存在，有，有（平均值）（平均值）梯形公式的误差已知为梯形公式的误差已知为当当f(x)在在a,b有连续的有连续的2阶导数时，在子区间阶导数时，在子区间例例用用n=6的复化梯形公式计算积分的复化梯形公式计算积分的近似值。的近似值。解解 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.21.827655 用用n=6的复化梯形公式计算积分的复化梯形公式计算积分解解2 2 复化辛卜生（抛物线）公式及其误差复化辛卜生（抛物线）公式及其误差记子区间记子区间的中点为的中点为则复化辛卜生（抛物线）求积公式则复化辛卜生（抛物线）求积公式当当f(x)在在a,b上有连续的上有连续的4阶导数时，在子区间阶导数时，在子区间辛卜生公式的误差为辛卜生公式的误差为使绝对误差小于使绝对误差小于106。例例用复化辛卜生公式计算积分用复化辛卜生公式计算积分的近似值的近似值,解解解不等式解不等式求得求得n=6。用用n=6的复化抛物线公式计算积分，见上例。的复化抛物线公式计算积分，见上例。3 3 复化柯特斯公式及其误差复化柯特斯公式及其误差将子区间将子区间分成分成4等份，内分点依次为等份，内分点依次为则复化则复化柯特斯柯特斯求积公式求积公式当当f(x)在在a,b有连续的有连续的6阶导数时，复化阶导数时，复化柯特斯柯特斯公式的误差公式的误差6.3 6.3 变步长求积和龙贝格算法变步长求积和龙贝格算法复化求积公式能提高精度，但要给出步长，步长复化求积公式能提高精度，但要给出步长，步长太大精度低，步长太小，计算量大。实际计算用变太大精度低，步长太小，计算量大。实际计算用变步长计算，在步长逐次二分过程中，反复利用复化步长计算，在步长逐次二分过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求积分值满足精度要求求积公式进行计算，直到所求积分值满足精度要求为止。为止。将积分区间等分成将积分区间等分成n个子区间，则有个子区间，则有n+1个分点个分点对子区间再增加一个新节点对子区间再增加一个新节点 ，区间增加，区间增加1倍，有倍，有对子区间对子区间 运用梯形公式，有运用梯形公式，有 6.3.1 6.3.1 变步长梯形法则变步长梯形法则比较比较取取（允许截断误差允许截断误差）在步长逐次二分的过程中，校验上式，取满足精度的在步长逐次二分的过程中，校验上式，取满足精度的。若将区间再分半，为若将区间再分半，为 则有则有6.3.2 龙贝格龙贝格（Romberg)Romberg)求积法求积法1 1梯形法的加速梯形法的加速 梯形法计算简单，精度较低，收敛慢，当把区间分成梯形法计算简单，精度较低，收敛慢，当把区间分成n等份，用复化公等份，用复化公式计算积分的近似值为式计算积分的近似值为 ，截断误差为，截断误差为当当时，时，T2n即为所求的近似值。即为所求的近似值。是是T2n的修正项，它与的修正项，它与T2n之和比之和比T2n、Tn更接近与真值，即它是一种补偿。更接近与真值，即它是一种补偿。取取设设f(x)在在a,b连续且变化不大时，有连续且变化不大时，有f(n)f(2n),可得近似式可得近似式验后误差估计式验后误差估计式下面说明下面说明将将Tn,T2n的表达式的表达式代入，有代入，有2辛卜生法的辛卜生法的加速加速 当把区间分成当把区间分成n等份，用复化等份，用复化辛卜生辛卜生公式计算积分的近似值为公式计算积分的近似值为 ，截断误差为截断误差为若将区间再分半，为若将区间再分半，为 则有则有设设 连续且变化不大时，有连续且变化不大时，有 ,可得近似式可得近似式具有具有5次代数精度。次代数精度。3龙贝格公式龙贝格公式 （柯特斯法的（柯特斯法的加速）加速）当把区间分成当把区间分成 n 等份，用复化等份，用复化柯特斯柯特斯公式计算积分的近似值为公式计算积分的近似值为 ，截断误差为截断误差为若将区间再分半，为若将区间再分半，为 则有则有设设连续且变化不大时，有连续且变化不大时，有,可得近似式可得近似式具有具有7次代数精度。次代数精度。龙贝格积分法可以按下面表的顺序进行：龙贝格积分法可以按下面表的顺序进行：当对角线上最后两个相邻项满足当对角线上最后两个相邻项满足时时,可停止计算并取可停止计算并取作为所求积分的近似值。作为所求积分的近似值。例例 用龙贝格积分法计算积分用龙贝格积分法计算积分,使精确度达到使精确度达到10-4。解解最后得到最后得到6.4.2高斯高斯-勒让德（勒让德（Gauss-Legendre）求积公式求积公式从定理可以看出，当从定理可以看出，当 给定，节点给定，节点 就确定了。就确定了。本题的精确解本题的精确解,求积公式具有求积公式具有4为有效数字。为有效数字。6.5 数值微分 两点公式