高中基本不等式经典例题教案.pdf
高中基本不等式经典例题教案 2 全方位教学辅导教案 学科：数学 任课教师：授课时间：2012 年 11 月 3 日 星期 姓 名 性 别 女 年 级 高二 总课时：第 次课 教 学 内 容 均值不等式应用（技巧）教 学 目 标 1、熟悉均值不等式的应用题型 2、掌握各种求最值的方法 重 点 难 点 重点是掌握最值应用的方法 难点是不等式条件的应用 3 4 5 教 学 过 程 课前检查与交流 作业完成情况：交流与沟通 针 对 性 授 课 一均值不等式 1.（1）若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）;若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba 时取“=”）3.若0ab，则2abba (当且仅当ba 时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它 6 们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解题技巧：技巧一：凑项 当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1时取“”号）。7 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()Aymg xB ABg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。变式(1)231,(0)xxyxx 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。8 因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。条件求最值 1.若 实 数 满 足2ba，则ba33 的 最 小 值是 .变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换：2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。9。变式：（1）若 Ryx,且12 yx，求yx11的最小值(2)已知 Ryxba,且1ybxa，求yx 的最小值 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，1 0 再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。点评：本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之 间 的 关 系，由 此 想 到 不 等 式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。1 1 技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2 a 2b 22，本题很简单 3x 2y 2（3x）2（2y）2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y23x 2y 102 3x 2y 10(3x)2(2y)2 10(3x2y)20 W 20 2 5 变式:求函数152152()22yxxx 的最大值。1 2 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应 应用二：利用均值不等式证明不等式 例 6：已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc 变式：1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 2、正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。1 3 解：令,0,0,xyk xy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k，,16m 课 堂 检 测 1：添加项【例 1】已知23x，求322xxy的最小值.2:配系数【例 2】已知230 x，求)23(xxy的最大值.3:分拆项 1 4 【例 3】已知2x，求2632xxxy的最小值.4:巧用”1”代换【例 4】已知正数yx,满足12 yx,求yx21的最小值.【例 5】已知正数zyx,满足1zyx，求zyx941的最小值.1 5 5:换元【例 6】已知cba,求cbcabacaw的最小值.【例 7】已知1x,求8512xxxy的最大值.7:直接运用化为其它【例 9】已知正数ba,满足3baab,求ab的取值范围.课 后 作 1、（1）、已知0 x，0y，满足21xy，求11xy的 1 6 业 最值；（2）、若0 x，0y，且281xy，求xy的最值；（3）、若-4x1,求22222xxx的最大值.2、函 数f(x)=242xx(x 0)的 最 大 值是 ；此 时 的x值 为 _ 3、（2010 山东理）若对任意0 x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是 4、若点(2,1)A 在直线10mxny 上，其中0mn,则nm21的最小值为 .5、（1）、已知 x+3y-2=0，则 3x+27y+1 的最小值为 .1 7 （2）、若 x,y(0,+)且 2x+8y-xy=0，求 x+y的最小值 .6、已知两个正数,a b满足4ab，求使28mab恒成立的m的范围.7函数y=loga(x+3)1(a0,a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中mn0，求nm11的最小值为。8(2010 年合肥模拟)已知 x1x2x2009x20101，且 x1，x2，x2009，x2010都是正数，则1x11x21x2010的最小值是_ 1 8 9已知直线 l 过点 P(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为_ 10(2008 年江苏卷改编)若 x、y、zR，x2y3z0，求y2xz的最小值 1 9 11 已知A(0,9)B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是 x 轴上任意一点，求当点 C 在何位置时，ACB最大？12.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,x y恒成立，则正实数a的最小值为 签 字 教研组长：教学主任：学生：教务老师：家长：老 师 课 后 评 价 学生的状况、接受情况和配合程度：2 0 给家长的建议：TA-65
