2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)文科数学试题及详解精编精校版.pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标 1 卷）文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合02A，21012B ，则AB（）A02，B12，C 0 D21012，1.答案：A 解答：0,2AB，故选 A.2设1i2i1iz，则z（）A0 B12 C1 D2 2.答案：C 解答：121iziii，1z，选 C 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3。答案：A 解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x，种植收入为0.6x.建设后经济收入则为 2x，种植收入则为0.3720.74xx，种植收入较之前增加 4已知椭圆C：22214xya的一个焦点为(2 0)，则C的离心率为（）A13 B12 C22 D2 23 4、答案：C 解答：知2c，2228abc，2 2a，离心率22e.5已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）A12 2 B12 C8 2 D10 5.答案：B 解答：截面面积为8，所以高2 2h，底面半径2r，所以表面积为2(2)222 2 212S.6设函数 321f xxaxax若 f x为奇函数，则曲线 yf x在点00，处的切线方程为（）A2yx Byx C2yx Dyx 6.答案：D 解答：()f x为奇函数，()()fxf x，即1a，3()f xxx，(0)1f，切线方程为：yx，选 D.7在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABAC 7答案：A 解答：由题可知11 131()22 244EBEAABADABABACABABAC .8已知函数 222cossin2f xxx，则（）A f x的最小正周期为，最大值为 3 B f x 的最小正周期为，最大值为 4 C f x 的最小正周期为2，最大值为 3 D f x的最小正周期为2，最大值为 4 8、答案：B 解答：222()2cos(1cos)23cos1f xxxx，最小正周期为，最大值为4.9某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A2 17 B2 5 C3 D2 9.答案：B 解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为,M N连线的距离，所以22422 5MN，所以选 B.10 在长方体1111ABCDABC D中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为（）A8 B6 2 C8 2 D8 3 10.答案：C 解答：连接1AC和1BC，1AC与平面11BBCC所成角为30，130AC B，11tan30,2 3ABBCBC，12 2CC，2 2 2 28 2V ，选 C.11已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点1Aa，2Bb，且2cos23，则ab（）A15 B55 C2 55 D1 11答案：B 解答：由22cos22cos13 可得222225cos1cos6sincostan1，化简可得5tan5；当5tan5时，可得515a，525b，即55a，2 55b，此时55ab；当5tan5 时，仍有此结果.12设函数 201 0 xxf xx，则满足 12f xfx的 x 的取值范围是（）A1，B0，C10，D0，12.答案：D 解答：取12x ，则化为1()(1)2ff，满足，排除,A B；取1x ，则化为(0)(2)ff，满足，排除C，故选D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数 22logf xxa，若 31f，则a _ 13、答案：7 解答：可得2log(9)1a，92a，7a .14若xy，满足约束条件220100 xyxyy，则32zxy的最大值为_ 14.答案：6 解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，max3 2206z.15直线1yx与圆22230 xyy交于AB，两点，则AB _ 15.答案：2 2 解答：由22230 xyy，得圆心为(0,1)，半径为2，圆心到直线距离为222d.222 2(2)2 2AB.16ABC的内角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin4 sinsinbCcBaBC，2228bca，则ABC的面积为_ 16.答案：2 33 解答：根据正弦定理有：sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC，2sinsin4sinsinsinBCABC，1sin2A.2228bca，22243cos22bcaAbcbc，8 33bc，12 3sin23SbcA.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）已知数列 na满足11a，121nnnana，设nnabn（1）求123bbb，；（2）判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求 na的通项公式 17.答案：（1）1231,2,4bbb（2）见解答（3）12nnan 解答：依题意，212 24aa，321(2 3)122aa，1111ab，2222ab，3343ab.（1）12(1)nnnana，121nnaann，即12nnbb，所以 nb为等比数列.（2）1112nnnnabbqn，12nnan.18（12 分）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD 平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积 18.答案：（1）见解析（2）1 解答：（1）证明：ABCM为平行四边形且90ACM,ABAC,又ABDA,AB 平面ACD,AB 平面ABC,平面ABC 平面ACD.（2）过点Q作QHAC,交AC于点H，AB 平面ACD，ABCD,又CDAC,CD 平面ABC,13HQAQCDAD,1HQ,3 2,3 2BCBCAMAD,2 2BP,又ABC为等腰直角三角形，123 2 2322ABPS，113 1133Q ABDABDVSHQ .19（12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 00.1，0.10.2，0.20.3，0.30.4，0.40.5，0.50.6，0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 00.1，0.10.2，0.20.3，0.30.4，0.40.5，0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19答案：略 解答：（1）（2）由题可知用水量在0.3,0.4的频数为10，所以可估计在0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于30.35m的频数为1 5 13524，其概率为240.4850P.（3）未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为：31(0.05 10.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ，一年的平均用水量则为30.506365184.69 m.使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为：31(0.05 10.1550.25 130.35 100.45 160.555)0.3550m ，一年的平均用水量则为30.35365127.75 m，一年能节省3184.69127.7556.94m.20（12 分）设抛物线22Cyx：，点20A，20B ，过点A的直线l与C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN 20.答案：（1）220yx或220yx；（2）见解析 解答：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为2x，代入22yx，(2,2),(2,2)MN或(2,2),(2,2)MN，BM的方程为：220,yx或220yx.（2）设MN的方程为2xmy，设1122(,),(,)M x yN xy，联立方程222xmyyx，得2240ymy，12122,4yym y y，11222,2xmyxmy，121212122244BMBNyyyykkxxmymy 12121224()0(4)(4)my yyymymy，BMBNkk，ABMABN.21（12 分）已知函数 eln1xf xax（1）设2x 是 f x的极值点，求a，并求 f x的单调区间；（2）证明：当1ea时，0f x 21.答案：见解析 解答：（1）()f x定义域为(0,)，1()xfxaex.2x 是()f x极值点，(2)0f，2211022aeae.xe在(0,)上增，0a，xae在(0,)上增.又1x在(0,)上减，()fx在(0,)上增.又(2)0f，当(0,2)x时，()0fx，()f x减；当(2,)x时，()0fx，()f x增.综上，212ae，单调增区间为(2,)，单调减区间为(0,2).（2）0 xe，当1ae时有11xxxaeeee，1()ln1ln1xxf xaexex.令1()ln1xg xex，(0,)x.11()xg xex，同（1）可证()g x在(0,)上增，又1 11(1)01ge，当(0,1)x时，()0g x，()g x减；当(1,)x时，()0g x，()g x增.1 1min()(1)ln1 1 1 0 10g xge ，当1ae时，()()0f xg x.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2yk x以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22 cos30（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程 22.答案：（1）22(1)4xy；（2）423yx 解答：（1）由22 cos30可得：22230 xyx，化为22(1)4xy.（2）1C与2C有且仅有三个公共点，说明直线2(0)ykxk与圆2C相切，圆2C圆心为(1,0)，半径为2，则2221kk，解得43k ，故1C的方程为423yx.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 11f xxax（1）当1a 时，求不等式 1f x 的解集；（2）若01x，时不等式 f xx成立，求a的取值范围 23.答案：（1）1|2x x；（2）(0,2.解答：（1）当1a 时，21()|1|1|21121xf xxxxxx ，()1f x 的解集为1|2x x.（2）当0a 时，()|1|1f xx，当(0,1)x时，()f xx不成立.当0a 时，(0,1)x，()1(1)(1)f xxaxaxx，不符合题意.当01a时，(0,1)x，()1(1)(1)f xxaxaxx 成立.当1a 时，1(1),1()1(1)2,axxaf xa xxa，(1)121a，即2a.综上所述，a的取值范围为(0,2.2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1A 2C 3A 4C 5B 6D 7A 8B 9B 10C 11B 12D 二、填空题 13-7 146 152 2 162 33 三、解答题 17解：（1）由条件可得 an+1=2(1)nnan 将 n=1 代入得，a2=4a1，而 a1=1，所以，a2=4 将 n=2 代入得，a3=3a2，所以，a3=12 从而 b1=1，b2=2，b3=4（2）bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得121nnaann，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列（3）由（2）可得12nnan，所以 an=n2n-1 18解：（1）由已知可得，BAC=90，BAAC 又 BAAD，所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3 2 又23BPDQDA，所以2 2BP 作 QEAC，垂足为 E，则QE13DC 由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE=1 因此，三棱锥QABP的体积为 11113 2 2sin451332Q ABPABPVQES 19解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3的频率为 0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3的概率的估计值为 0.48（3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 11(0.05 10.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850 x 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 21(0.05 10.1550.25 130.35 100.45 160.555)0.3550 x 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m)20解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，2）所以直线 BM 的方程为 y=112x或112yx （2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABM=ABN 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为(2)(0)yk xk，M（x1，y1），N（x2，y2），则x10，x20 由2(2)2yk xyx，得 ky22y4k=0，可知 y1+y2=2k，y1y2=4 直线 BM，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BMBNyyx yx yyykkxxxx 将112yxk，222yxk及 y1+y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 121221121224()882()0y yk yyx yx yyykk 所以 kBM+kBN=0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以ABM=ABN 综上，ABM=ABN 21解：（1）f（x）的定义域为(0)，f（x）=aex1x 由题设知，f（2）=0，所以 a=212e 从而 f（x）=21eln12exx，f（x）=211e2exx 当 0 x2 时，f（x）2 时，f（x）0 所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当 a1e时，f（x）eln1exx 设 g（x）=eln1exx，则e1()exg xx 当 0 x1 时，g（x）1 时，g（x）0所以 x=1 是 g（x）的最小值点 故当 x0 时，g（x）g（1）=0 因此，当1ea 时，()0f x.22解：（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为 22(1)4xy（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆 由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l 由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点 当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k 或0k 经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点 当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k 或43k 经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，2l与2C没有公共点 综上，所求1C的方程为4|23yx 23解：（1）当1a 时，()|1|1|f xxx，即2,1,()2,11,2,1.xf xxxx 故不等式()1f x 的解集为1|2x x （2）当(0,1)x时|1|1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax 成立 若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax 的解集为20 xa，所以21a，故02a 综上，a的取值范围为(0,2