对数函数的概念、图象与性质教学设计.pdf

环节一 对数函数的概念、图象和性质 整体感知 问题 1 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，请大家回忆我们是如何研究指数函数的你能结合以往研究函数的经验，谈一谈我们是如何研究函数的？答案：对于具体的函数，我们一般按照“背景概念图象和性质应用”的路径进行研究 过渡语：指数幂运算和对数运算紧密相关，类比运算间的关系，我们也换个角度分析指数函数，看看有什么新发现 引入新课 问题 2 在 4.2.1 的问题 2 中，我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 y 随死亡时间x 的变化而衰减的规律是函数5 7301()02xyx进一步地，死亡时间 x 是碳 14 的含量 y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？答案：要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断 课堂探究 追问 1 解决这个问题，显然要依据函数的定义那么依据定义应该怎样进行判断呢？答案：函数的定义：设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA 所以要判断死亡时间 x 是否是碳 14 的含量 y 的函数，就要确定，对于任意一个 y(0，1，是否都有唯一确定的数 x 和它对应 追问 2 若已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图 1，观察5 7301()02xyx的图象，过 y 轴正半轴上任意一点(0，y0)（0y01）作x 轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与5 7301()02xyx的图象有几个交点？这说明对任意一个 y(0，1，都有几个 x 与其对应？能否将 x 看成是 y 的函数？图 1 答案：从图象上看，这条平行于 x 轴的直线，与5 7301()02xyx的图象至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数5 7301()02xyx为减函数，所以这个交点是唯一的交点这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳 14 的含量为 y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间 x0这说明对任意一个 y(0，1，在0，)上都有唯一确定的数 x 和它对应所以 x 也是 y 的函数 追问 3 能否求出生物死亡年数随体内碳 14 含量变化的函数解析式？答案：根据指数与对数的运算关系，可以将5 7301()02xyx这种对应关系，改写为573012log01xyy习惯上用 x 表示自变量，用 y 表示函数值，于是就得到函数573012log,0,1yx x，它刻画了时间 y 随碳 14 含量 x 的衰减而变化的规律 问题 3 对一般的指数函数 yax(a0，且 a1)，根据指数与对数的运算关系，转换成 xlogay(a0，且 a1)，能否将 x 看成是 y 的函数？答案：根据指数函数的性质，当 0a1 时，yax单调递减；当 a1 时，yax单调递增所以考虑一般的指数函数 yax(a0，且 a1)，对任意一个 y(0，)，都有唯一确定的数 x 和它对应因此，x 也是 y 的函数 结论：通常，我们用 x 表示自变量，y 表示函数为此，可将 xlogay(a0，且 a1)改写为：ylogax(a0，且 a1)这就是对数函数 追问 如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定这个函数现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为 ylogax(a0，且 a1)，你能联系指数函数给出一般的对数函数的定义域吗？答案：根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量 x 的取值范围是(0，)于是就得到了：定义：一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数（logarithmic function），其中 x 是自变量，定义域是(0，)问题 4 按照问题 1 的设计，接下来需要研究对数函数的图象和性质，你能说说研究的具体内容和思路吗？答案：类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出大量的对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象 按照函数研究的一般内容，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点(0，1)，所以对数函数也可能会过某个定点最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系 追问 1 我们先从简单的函数 ylog2x 开始描点法画图的步骤是什么？请同学们利用计算器完成 x，y 的对应值表 1，并用描点法画出函数 ylog2x 的图象 答案：描点法的步骤：列表描点画图 完成的表 1，和画出的函数 ylog2x 的图象（如图 2）表 1 x y 0.5 1 1 0 2 1 4 2 6 2.6 8 3 12 3.6 16 4 追问 2 在 4.2.2 中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 ylog21x 和 ylog2x，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数 ylog21x 的图象，并与函数 ylog2x 的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数 ylog2x 的图象，画出函数 ylog21x 的图象？答案：利用换底公式，可以得到 ylog21xlog2x因为点(x，y)与点(x，y)关于 x 轴对称，所图 2 图 3 图 4 以 ylog2x 图象上任意一点 P(x，y)关于 x 轴的对称点 P1(x，y)都在函数 ylog21x 的图象上，反之亦然由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称根据这种对称性，就可以利用 ylog2x 的图象画出 ylog21x 的图象如图 3 所示 追问 3 为了得到对数函数 ylogax(a0，且 a1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察 选取底数 a(a0，且 a1)的若干个不同的值，例如 a3，a4，a13，a14，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数 ylogax(a0，且 a1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等 答案：选取底数 a 的若干值，例如 a3，a4，a13，a14，利用信息技术画出图象，如图 4 发现对数函数 ylogax 的图象按底数 a 的取值，可分为 0a1 和 a1 两种类型 因此对数函数的性质也可以分 0a1 和 a1 两种情况进行研究，设计的表格如表 2 表 2 0a1 a1 图象 定义域(0，)值域 R 性质（1）过定点(1，0)，即 x1 时，y0（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性 问题 5 前面根据指数与对数间的关系，由5 7301()2xy(x0)得到573012logxy(0y1)由函数定义可知573012logxy，y(0，1是一个函数通常我们用 x 表示自变量，用 y 表示函 数，为此可以把573012logxy改写成573012logyx，x(0，1这样，由指数函数5 7301()2xy，x0，)可得到对数函数573012logyx，x(0，1研究这两个函数的相关性，从函数的三要素：定义域、对应关系、值域来考虑，你能发现它们有什么特殊关系吗？答案：从定义域和值域来看，对数函数573012logyx的定义域(0，1、值域0，)分别是指数函数5 7301()2xy 的值域和定义域函数的对应关系，实际上是对定义域中的数进行某种代数运算变化，变成值域中的数所以从对应关系来看，对数函数573012logyx进行的是底数为573012的对数运算，指数函数5 7301()2xy 进行的是底数也为573012的指数幂运算 结论：像指数函数5 7301()2xy，x0，)和对数函数573012logyx，x(0，1这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数这样，对数函数573012logyx，x(0，1是指数函数5 7301()2xy，x0，)的反函数同时，指数函数5 7301()2xy，x0，)也是对数函数573012logyx，x(0，1的反函数，它们的定义域与值域正好互换 从定义上，互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换，运算变化过程正好互逆，这是一种对称性*（选学）追问：对于一般的指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)，我们知道，它们互为反函数那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个 a(a0，且 a1)，画出指数函数 yax及其反函数 ylogax 的图象这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的？答案：根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为 0a1 和 a1 的情况讨论 分别选取 a2 和 a12为例，在同一直角坐标系中，画出相应的函数图象，如图 5 从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象关于直线 yx 对称一个函数图象上的任意一点关于 yx 的对称点，一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性 归纳总结 问题 6 对比指数函数的研究过程，你能说说指数函数和对数函数研究的异同吗？答案：相同之处：研究路径和研究方法基本相同不同之处：对数函数的研究凸显了对数函数和指数函数间的联系，这种联系性在概念引入环节和函数性质研究中都有体现 图 5