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高中数学必修 5 常考题型：等比数列 等比数列【知识梳理】1等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0)2 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G ab.3 等比数列an的首项为 a1，公比为 q(q0)，则通项公式为：ana1qn1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例 1】已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn12an，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式 解 依题意 an2(n1)(1)3n，于是 bn123n.而bnbn1123n124n1212.数列bn是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn2n3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an1anq(q 为常数且 q0)或anan1q(q 为常数且 q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：a2n1anan2(an0，nN*)an为等比数列 (2)法一：因为 a2a5a1qa1q418，a3a6a1q2a1q59，由得 q12，从而 a132.又 an1，所以 3212n11，即 26n20，所以 n6.法二：因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12.由 a1qa1q418，得 a132.由 ana1qn11，得 n6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等 比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，ana1qn1(a1q0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要注意应用q0 验证求得的结果【对点训练】2(1)若等比数列的前三项分别为 5，15,45，则第 5 项是()A405 B405 C135 D135(2)已知等比数列an为递增数列，且 a25a10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式 an_.解析：(1)选 A a5a1q4，而 a15，qa2a1 3，a5405.(2)根据条件求出首项 a1和公比 q，再求通项公式由 2(anan2)5an12q25q20q2 或12，由 a25a10a1q90a10，又数列an递增，所以 q2.a25a100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为 an2n.答案：(1)A(2)2n 题型三、等比中项【例 3】设等差数列an的公差 d 不为 0，a19d，若 ak是 a1与 a2k的等比中项，则 k 等于()A2 B.4 C6 D8 解析 an(n8)d，又a2ka1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得 k2(舍去)，k4.答案 B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：计算，与其它性质综合应用可以简化计算、提高速度和准确度用来判断或证明等比数列【对点训练】3已知 1 既是 a2与 b2的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则aba2b2的值是()A1 或12 B.1 或12 C1 或13 D1 或13 解析：选 D 由题意得，a2b2(ab)21，1a1b2，ab1，ab2或 ab1，ab2.因此aba2b2的值为 1 或13.【练习反馈】1等比数列an中，a1a310，a4a654，则公比 q 等于()A.14 B.12 C2 D8 解析：选 B an为等比数列，a4a6(a1a3)q3，q318，q12.2已知等差数列an的公差为 3，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2等于()A9 B.3 C3 D9 解析：选 D a1a23，a3a23，a4a232a26，由于 a1，a3，a4成等比数列，则 a23a1a4，所以(a23)2(a23)(a26)，解得 a29.3 在数列an中，a12，且对任意正整数 n,3an1an0，则 an_.解析：3an1an0，an1an13，因此an是以13为公比的等比数列，又 a12，所以 an213n1.答案：213n1 4已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比 q_.解析：由题意得 2q22q4，解得 q2 或 q1.又an单调递增，得 q1，q2.答案：2 5(1)已知an为等比数列，且 a58，a72，该数列的各项都为正数，求 an.(2)若等比数列an的首项 a198，末项 an13，公比 q23，求项数 n.(3)若等比数列an中 an4a4，求公比 q.解：(1)由已知得 a1q48，a1q62，得 q214a1128，an0，q12，a1128.an12812n128n.(2)由 ana1qn1，得139823n1，即23n1233，得 n4.(3)an4a4q(n4)4a4qn，又 an4a4，qn1，当 n 为偶数时，q1；当 n 为奇数时，q1.
