第5节指数、对数--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

第 5 节 指数、对数 知 识 梳 理 1.根式与指数幂的运算（1）根式 概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.性质：（na）na（a 使na有意义）；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1）；正数的负分数指数幂的意义是amn1nam（a0，m，nN*，且 n1）；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：arasars；（ar）sars；（ab）rarbr，其中 a0，b0，r，sQ.2.对数与对数的运算（1）对数的概念 如果 axN（a0，且 a1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质 loga10；logaa1；alogaNN；logaabb（a0，且 a1）.（3）对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga（MN）logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM（nR）.（4）换底公式 logbNlogaNlogab（a，b 均大于零且不等于 1）.已知 a，b，c，d，M，N 都满足条件，则：（1）logamMnnmlogaM（m，nR，且 m0）；（2）logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad.诊 断 自 测 1.（必修 1P52 例 5 改编）化简（2）612（1）0的结果为（）A.9 B.7 C.10 D.9 答案 B 解析 原式（26）121817.2.若 loga2logb20，则（）A.0ab1 B.0bab1 D.ba1 答案 B 解析 loga2logb20lg 2lg alg 2lg b0lg blg a0，故 0ba0，b0）；（2）27823（0.002）1210（52）1（2 3）0.解（1）原式（a3b2a13b23）12ab2a13b13a3216113b113213ab1.（2）原式2782315001210521 827235001210（52）1 4910 510 52011679.感悟升华（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练 1】化简求值：（1）23502221412（0.01）0.5；（2）（a23b1）12a12b136ab5.解（1）原式1144912110012 114231101161101615.考点二 对数的运算【例 2】（1）设 2a5bm，且1a1b2，则 m（）A.10 B.10 C.20 D.100（2）计算：lg14lg 25 10012 .（3）（2020全国卷）设 alog342，则 4a（）A.116 B.19 C.18 D.16 答案（1）A（2）20（3）B 解析（1）由已知，得 alog2m，blog5m，则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10.（2）原式（lg 22lg 52）10012lg1225210lg 10210 21020.（3）法一 因为 alog342，所以 log34a2，所以 4a329，所以 4a14a19.故选 B.法二 因为 alog342，所以 a2log342log43log432log49，所以 4a4log494log4919119.故选 B.感悟升华（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（3）abNblogaN（a0，且 a1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练 2】（1）（2017全国卷）设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则（）A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x5z（2）（2020全国卷）已知 5584，13485.设 alog53，blog85，clog138，则（）A.abc B.bac C.bca D.ca32（由 ln 32ln 23可得），又 x，y 为正数，2x3y.xln 2zln 5，则xzln 5 ln 252（由 ln 52ln 25可得），又 x，z 为正数，2x5z，3y2x5z，故选 D.（2）log53 log85 log53 1log58log53log581log58log53log58221log58log524221log58log525221log580，log53log85.5584，13485，5log854log8844log13135log138，log85log138，log53log85log138，即 abc.故选 A.（3）由 ab1，得 0logab1，又因为 logablogbalogab1logab52，解得 logab12，所以 a12b，即 b2a，所以b2a1.基础巩固题组 一、选择题 1.化简：416x8y4（x0，y0）（）A.2x2y B.2xy C.4x2y D.2x2y 答案 D 解析 x0，y0，416x8y42x2|y|2x2y.2.（log29）（log34）（）A.14 B.12 C.2 D.4 答案 D 解析（log29）（log34）2log232log324.3.（2021台州期末评估）已知 alog248，2b23，则 ab（）A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 由题意得 alog2（163）4log23，blog2231log23，则 ab5，故选 B.4.已知 x，y 为正实数，则（）A.2lg xlg y2lg x2lg y B.2lg（xy）2lg x2lg y C.2lg xlg y2lg x2lg y D.2lg（xy）2lg x2lg y 答案 D 解析 x，y（0，），2lg（xy）2lg xlg y2lg x2lg y，A 不成立，D 成立；对于 B，C，不妨取 xy1，代入 B，C 易知不成立，故选 D.5.（2021杭州质检）设正实数 x，y 满足 exey（ex）y，则当 xy 取得最小值时，x（）A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 由 exey（ex）y得 exyexy，所以 xyxy（xy）24，解得 xy4，当且仅当 xy2 时，等号成立，故选 B.6.（2020全国卷）设 alog32，blog53，c23，则（）A.acb B.abc C.bca D.cab 答案 A 解析 3log32log382，log3223，即 a2，log5323，即 bc.ac0，b0，则下列等式不正确的是（）A.alg bblg a1 B.alg bblg a2alg b C.alg bblg a（alg b）2 D.alg bblg ablg a2 答案 A 解析 由于 a0，b0，故当 ab 时，有 alg bblg a（alg b）2，alg bblg aalg balg b2alg b，alg bblg a（blg a）2b2lg ablg a2，故选 A.8.（2019北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k1，2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1 答案 A 解析 设太阳的星等为 m1，天狼星的星等为 m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知 m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45（26.7）52lgE1E2，所以 lgE1E210.1，所以E1E21010.1.故选 A.9.已知 log23a，log25b，则 log295（）A.a2b B.2ab C.a2b D.2ab 答案 B 解析 log23a，log25b，log295log29log252log23log252ab.二、填空题 10.若 log2xlog43，则 x .答案 3 解析 由等式可得 log2x12log23，解得 x 3.11.（lg 2）2lg 2lg 50lg 25 .答案 2 解析（lg 2）2lg 2lg 50lg 25 lg 2（lg 2lg 50）lg 25 2（lg 2lg 5）2.12.若 xlog43，则（2x2x）2 .答案 43 解析 xlog43，4x3，4x13，（2x2x）24x24x321343.13.已知 a12a123，则 aa1 ，a2a2 答案 7 47 解析 a12a123，两边平方得 aa129，aa17，对上式两边平方得 a22a249，a2a247.14.计算：2lg 2lg 25 ，方程 log2（x1）3 的解为 x 答案 2 7 解析 2lg 2lg 25lg 4lg 25lg 1002，方程 log2（x1）3，x1238，解得 x7.能力提升题组 15.（2021温州适考）设 a，b（0，1）（1，），则“ab”是“logablogba”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为 a，b（0，1）（1，），当 ab 时，logablogba，充分性成立；当 logablogba，取 a2，b12，验证等式成立，故必要性不成立，所以“ab”是“logablogba”的充分不必要条件，故选 A.16.（2018全国卷）设 alog0.20.3，blog20.3，则（）A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0ab 答案 B 解析 由 alog0.20.3 得1alog0.30.2，由 blog20.3 得1blog0.32，所以1a1blog0.30.2log0.32log0.30.4，所以 01a1b1，得 0abab0，b0，所以 ab0，所以 abab0.17.函数 f（x）2log2x1xx21x222的图象为（）答案 D 解析 f（x）2log2x1xx21x222 x，0 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则 xy 的最大值是 .答案 112 解析 由题意得 lg 2xlg 8ylg（2x23y）lg 2x3ylg 2（x0，y0），所以 x3y1，则 xy13x3y13x3y22112，当且仅当 x3y12时，等号成立，所以 xy 的最大值为12