空间向量__高中的数学的教案设计书的.pdf
.空间向量 1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的根本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义与其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第 1 课时 空间向量与其运算空间向量是平面向量的推广在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；向量：具有和的量 向量相等：方向且长度 向量加法法如此：向量减法法如此：数乘向量法如此：3共线向量共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b,ab等价于存在实数,使 直线的向量参数方程：设直线l过定点 A 且平行于非零向量a,如此对于空间中任意一点 O,点 P 在l上等价于存在Rt,使4共面向量 共面向量：平行于 的向量 共面向量定理：两个向量a、b不共线,如此向量 P 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对,使 P共面向量定理的推论：5空间向量根本定理 空间向量的基底：的三个向量根底过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2线性运算律 加法交换律：ab 加法结合律：c 数乘分配律：.空间向量根本定理：如果a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量 p,存在一个唯一的有序实数组zyx,使空间向量根本定理的推论：设 O,A,B,C 是不共面的的四点,如此对空间中任意一点 P,都存在唯一的有序实数组zyx,使6空间向量的数量积 空间向量的夹角：空间向量的长度或模：空间向量的数量积：空间中任意两个向量a、b,如此ab空间向量的数量积的常用结论：cosa、b；a2；ab例 1正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 F 是侧面 CDD1C1的中心,假如1AAyABxADAF,求xy的值.解：易求得0,21yxyx变式训练 1.在平行六面体1111DCBAABCD 中,M 为 AC 与 BD 的交点,假如11BAa,11DAb,AA1c,如此如下向量中与MB1相等的向量是 A21a21bc B21a21bcC21a21bc D21a21bc解：A例 2.底面为正三角形的斜棱柱 ABCA1B1C1中,D 为 AC 的中点,求证：AB1平面 C1BD.证明：记,1cAAbACaAB如此cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,11111ABcaDCDB,11,DCDBAB共面.B1平面 C1BD,AB1/平面 C1BD.变式训练 2：正方体 ABCDEFGH 中,M、N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点,且 AMEN 求证：MN平面 FC；求证：MNAB；当 MA 为何值时,MN 取最小值,最小值是多少？解：设.)1(,BFkBCkMNkACMCEBNB则.0)1(ABBFkABBCkABMN 设正方体的边长为a,也即时ACAM21,aMN22min典型例题 A B C D AC1 B1 空间向量的数量积的运算律：交换律 ab ；分配律 a.例 3.四面体 ABCD 中,ABCD,ACBD,G、H 分别是ABC 和ACD 的重心求证：ADBC；GHBD证明：ADBC0BCAD因为 ABCD0CDAB,0BDACBDAC,而0)()(DCBDBDABBCAD所以 ADBC 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD,只需证 GHEF,AHGAGH3232EF 变式训练 3：平行六面体1111DCBAABCD,E、F、G、H 分别为棱ABCCCDDA和11111,的中点求证：E、F、G、H 四点共面解：CGHCHG1GCHC 1FCGFHCGFFCFA11GFEF 2,所以EHEGEF,共面,即点 E、F、G、H 共面例 4.如图,平行六面体 AC1中,AE3EA1,AFFD,AGGB21,过 E、F、G 的平面与对角线 AC1交于点 P,求 AP:PC1的值解：设1ACmAP AFmAEmAGmAP2343又E、F、G、P 四点共面,12343mmm193mAPPC1316变式训练 4：空间四边形 OABC 中,M 为 BC 的中点,N 为 AC 的中点,P 为 OA 的中点,Q 为 OB 的中点,假如 ABOC,求证QNPM 证明：法一：)(21OCOBOM)(21OCABOMPOPM故QNPM 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明对于垂直,一般是利用abab0 进展证明对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进展证明2运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法如此,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的向量表示出来,从而求得结果3利用向量求夹角有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角如此可以利用公式cosbaba4异面直线间的距离的向量求法：异面直线l1、l2,AB 为其公垂线段,C、D 分别为l1、l2上的任意一点,n为与AB共D F A G B B1 C1 D1 A1 C E P 小结归纳 法二：PMQN)(21OCAB)(21BAOC)(4122ABOC0.线的向量,如此AB|nnCD.5设平面的一个法向量为n,点 P 是平面外一点,且 Po,如此点 P 到平面的距离是d|nnPPo.第 2 课时 空间向量的坐标运算设a),(321aaa,b),(321bbb ab a ab ab；ab 设),(),(222111zyxBzyxA 如此AB,AB AB 的中点 M 的坐标为 例 1.假如a,b 1假如,某某数k的值；2假如,某某数k的值；3假如bak取得最小值,某某数k的值 解：31k；3106k；278k 变式训练 1.O为原点,向量3,0,1,1,1,2,OAOBOCOA BC OA,求AC 解：设,1,1,2OCx y zBCxyz,OCOA BCOA,0OC OA,BCOAR,30,1,1,23,0,1xzxyz,即30,13,10,2.xzxyz 解此方程组,得7211,1,101010 xyz.721,1,1010OC,3711,1,1010ACOCOA.典型例题 根底过关.例 2.如图,直三棱柱111CBAABC,底面ABC中,CACB1,90BCA,棱21AA,M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点 求 BM 的长；求11,cosCBBA的值；求证：NCBA11 解：以 C 为原点建立空间直角坐标系xyzO.依题意得 B0,1,0,M1,0,1 3)01()10()01(222 BM.依题意得 A11,0,2,B0,1,0,C0,0,0,B10,1,2.1030,cos111111CBBACBBACBBA.证明：依题意得 C10,0,2,N)0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11NCBA.变式训练 2.在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB3,BC1,PA2,E 为 PD 的中点 在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离；求 中的点 N 到平面 PAC 的距离 解：建立空间直角坐标系 ABDP,如此 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A、B、C、D、P、E,依题设 N,如此NE,由于 NE平面 PAC,00ACNEAPNE 即0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(xzzxzx 163zx,即点 N 的坐标为,从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1,63.设 N 到平面 PAC 的距离为d,如此d|NENENA 1233121|)0,21,63(|)0,21,63()1,0,63(|.例 3.如图,在底面是棱形的四棱锥ABCDP中,60aACPAABCaPDPB2,点E在PD上,且PE:ED2:1 证明 PA平面ABCD；求以 AC 为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小；在棱 PC 上是否存在一点 F,使BF平面AEC？证明你的结论 解：1证明略；x y z B1 C1 A1 C B A M N C D B A P E A B C P E D .2易解得30；3解 以 A 为坐标原点,直线APAD,分别为y轴、z轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图 由题设条件,相关各点的坐标为 所以AE)31,32,0(aa,AC)0,21,23(aa,AP),0,0(aPC),21,23(aaa BP),21,23(aaa,设点 F 是棱PC上的点,PCPF),21,23(aaa,其中10,如此)1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF令AEACBF21得221131)1(3221)1(2123)1(23aaaaaaa 解得23,21,2121,即21时,AEACBF2321亦即,F 是 PC 的中点时,AEACBF,共面,又BF平面AEC,所以当 F 是 PC 的中点时,BF平面AEC 例 4.如图,多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB4,BC1,BE3,CF4.求EF和点 G 的坐标；求 GE 与平面 ABCD 所成的角；求点 C 到截面 AEFG 的距离 解：由图可知：A,B,E,F )1,0,1(EF 又EFAG,设 G,如此 z1 G 平面 ABCD 的法向量).1,0,0(DG)2,4,1(GE,设 GE 与平面 ABCD 成角为,如此 21212|)2cos(GEDGGEDG21212arcsin 设0n面 AEFG,0n 0nAG,0nAE,而AG,AE),43,(430340000000000000zzznzyzxzyzx 取z04,如此0n 414116|),4,0,0(00nnCFdCF 即点 C 到截面 AEFG 的距离为414116 变式训练 4.如图四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且PGZ A D G E F C B x y P A G B C D F E.4,GDAG31,BGGC,GBGC2,E是BC的中点 求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；求点D到平面PBG的距离；假如F点是棱PC上一点,且DFGC,求FCPF的值 解：以G点为原点,GPGCGB、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如此B,C,P,故E,GE,PC.10102022|cosPCGEPCGEPCGE，,GE与PC所成的余弦值为1010 平面PBG的单位法向量n.)02323(4343，BCADGD,点D到平面PBG的距离为GD|n|23.设F,如此)2323()02323()0(zyzyDF，.GCDF,0GCDF,即032)020()2323(yzy，,23y,又PCPF,即,z=1,故F ,)1210()3230(，FCPF,3 52352PFPC.对于以下几类立体几何问题：共线与共面问题；平行与垂直问题；夹角问题；距离问题；探索性问题 运用向量来解决它们有时会表现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个适宜的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进展向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时,一个根本的思路是列方程,解方程 小结归纳
