高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和.pdf

FAPHBQ圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭 圆：焦 点 在x轴 上 时12222byax（0ab），焦 点 在y轴 上 时2222bxay 1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB）。若Ryx,，且62322 yx，则yx的最大值是_，22yx 的最小值是_（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10,4(P，则 C的方程为_（答：226xy）（3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p，开口 向 左 时22(0)ypx p，开 口 向 上 时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb ；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是_（答：3 或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa 或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称 为 等 轴 双 曲 线，其 方 程 可 设 为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。（3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线2px ；离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy 的焦点坐标为_（答：)161,0(a）；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；（3）相离：0 直线与椭圆相离；0 直线与双曲线相离；0 直线与抛物线相离。提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为 bc；对于双曲线2tan2bS。如 （1）短轴长为5，练习：点 P 是双曲线上11222yx上一点，21,FF为双曲线的两个焦点，且21PFPF=24，求21FPF的周长。8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A1，B1，若 P 为 A1B1的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。9、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb；弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0py。提醒：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！11了解下列结论（1）双曲线12222byax的渐近线方程为0byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB，1122(,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp （7）若 OA、OB 是过抛物线22(0)ypx p顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与 到 准 线 的 距 离 和 最 小,则 点 P的 坐 标 为_ (2)抛物线C:y2=4x 上一点Q 到点 B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）（2）（1,41）1、已知椭圆C1的方程为1422 yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：2 kxy与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线 C2的方程为12222byax，则.1,31422222bcbaa得再由 故C2的 方 程 为221.3xy（II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入 由直线l与椭圆 C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即 21.4k 0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将.由直线l与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A，B 得22222221 30,11.3(6 2)36(1 3)36(1)0.kkkkkk 即且 226 29(,),(,),1 31 366,(2)(2)AABBABABABABABABABABkA xyB xyxxxxkkOA OBx xy yx xy yx xkxkx设则由得而 222222(1)2()296 2(1)221 31 337.31ABABkx xk xxkkkkkkk 22223715136,0.3131kkkk于是即解 此 不 等 式 得22131.153kk或 由、得.11513314122kk或 故k的取值范围为13311313(1,)(,)(,)(,1)15322315 2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上，M 点满足 MB/OA，MAAB=MBBA，M点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得 知（MA+MB）AB=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.()设P(x0,y0)为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为 y=12x,所以l的斜 率 为12x0因 此 直 线l的 方 程 为0001()2yyx xx，即200220 x xyyx。则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx 当20 x=0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为 2.3 设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于()4、过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260F PF，则椭圆的离心率为 5、已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF2PF()0 6、已知直线20yk xk与抛物线2:8C yx相 交 于AB、两 点，F为C的 焦 点，若|2|FAFB，则k()7、已知直线1:4360lxy和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为_.9、椭圆22192xy的焦点为12,F F，点 P 在椭圆上，若1|4PF，则2|PF ；12FPF的大小为 .10、过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则p _ 【解析】设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa 双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去 y,得210bxxa 有唯一解,所以=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222 yx，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且)1,3(P或)1,3(P.不妨去)1,3(P，则)1,32(1PF，)1,32(2PF.1PF2PF01)32)(32()1,32)(1,32(【解析】设抛物线2:8C yx的准线为:2l x 直线 20yk xk恒过定点 P2,0.如图过AB、分 别 作AMl于M,BNl于N,由|2|FAFB,则|2|AMBN,点 B 为 AP 的中点.连结OB,则1|2OBAF,|OBBF 点B的横坐标为1,故点B的坐标为 2 202 2(1,2 2)1(2)3k,故选 D 2111122122222212121212124,444yxA x yB xyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，直线l的方程为y-2=x-2,即y=x 20XX 年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）一、选择题：1 重庆卷)若动点(x,y)在曲线14222byx(b0)上变化，则x22y的最大值为(A)(A)4(2)40(442bbbb；(B)2(2)20(442bbbb；(C)442b；(D)2b；2.(浙江)函数yax21 的图象与直线yx相切，则a(B )(A)18 (B)41 (C)21 (D)1 3.（天津卷）设双曲线以椭圆192522yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （C）A2 B34 C21 D43 4（天津卷）从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程12222nymx中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域 B=(x,y)|x|11 且|y|9内的椭圆个数为（B）A43 B 72 C 86 D 90 5.（上海）过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（B）A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D不存在 6.（山东卷）设直线:220lxy关于原点对称的直线为l，若l与椭圆2214yx 的交点为 A、B、，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为12的点P的个数为（B ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7(全国卷)已知双曲线)0(1222ayax的一条准线为23x，则该双曲线的离心率为（A）（A）23 （B）23 （C）26 （D）332 8.(全国卷 II)双曲线22149xy的渐近线方程是(C)(A)23yx (B)49yx (C)32yx (D)94yx 9.(全国卷 II)已知双曲线22163xy的焦点为1F、2F，点M在双曲线上且1MFx轴，则1F到直线2F M的距离为(C)(A)3 65(B)5 66(C)65(D)56 10.抛物线24xy上一点A的纵坐标为 4，则点A与抛物线焦点的距离为(D)(A)2(B)3(C)4(D)5 11.(全国卷 III)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）（A）22 （B）212 （C）22 （D）21 12.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是 （B ）A23+6 B21 C21218 D21 13.（江苏卷）抛物线 y=42x上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是(B)(A)1617 (B)1615 (C)87 (D)0 14.（江 苏 卷）(11)点P(-3,1)在 椭 圆22221(0)xyabab的左准线上.过点 P 且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A)(A)33 (B)31 (C)22 (D)21 15.（湖南卷）已知双曲线22ax22by1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，OAF的面积为22a（O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D）A30 B45 C 60 D90 16.（湖南卷）已知双曲线22ax22by1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，OAF的面积为22a（O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D）A30 B45 C 60 D90 17.（湖北卷）双曲线)0(122mnnymx离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为 （A ）