2020高中数学第2章解析几何初步.5平面直角坐标系中的距离公式学案.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-15 平面直角坐标系中的距离公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1。掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用（重点）2.能准确求出两平行直线间的距离。3.会用解析法证明几何问题(难点）1。通过学习平面中两点间,点到直线及平行线间的距离提升数学抽象素养.2。通过距离公式的简单应用,培养数学运算素养.1两点间的距离公式 一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1,y1），B（x2，y2）,则有两点A,B间的距离公式，AB|错误!。2点到直线的距离公式 已知点P（x0,y0)，直线l的方程是AxByC0，则点P到直线l的距离公式是d错误!.思考：点到直线的距离公式对于A0 或B0 时的直线是否仍然适用？提示：仍然适用,当A0，B0 时，直线l的方程为ByC0，学必求其心得，业必贵于专精 -2-即y错误!，d错误!错误!，适合公式 当B0,A0 时，直线l的方程为AxC0，x错误!，dx0CA错误!，适合公式 3两平行线间的距离公式 两条平行直线l1:AxByC10,与l2：AxByC20 之间的距离d错误!。1已知A（1,0)，B(5,6)，C（3，4),则错误!的值为()A.错误!B.错误!C3 D2 D 由两点间的距离公式,得|AC错误!4错误!,CB|错误!2错误!，故错误!错误!2。2点（1，1）到直线xy10 的距离是(）A。322 B。错误!C.错误!D。错误!A d错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -3-3分别过点A(2,1）和点B（3，5）的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是_ 5 d3（2)|5.两点间的距离公式 【例 1】(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,3)到原点的距离相等,则点M的坐标为（)A（2，0)B（1，0）C.错误!D（错误!，0）(2)直线 2xmy20(m0)与两坐标轴的交点之间的距离为_（1)D(2）错误!（m0）(1)设点M（x,0）（x0)，由题意可知，错误!错误!，解得x34。(2)直线 2xmy20 与x轴的交点为(1,0）,与y轴的交点为错误!，所以两交点之间的距离为错误!错误!（m0）学必求其心得，业必贵于专精 -4-使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关,使用于任意两点P1x1，y1，P2x2，y2，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷。1已知点A(1,2)，B（2，错误!），在x轴上求一点P，使PA|PB，并求|PA的值 解 设所求点P(x，0),于是由PA|PB|得 错误!错误!，即x22x5x24x11，解得x1。所以,所求P点坐标为（1,0），PA1120222错误!。点到直线的距离公式【例 2】求点P(1，2)到下列直线的距离:(1）l1：yx3;（2)l2：y1；（3）y轴 思路探究 解答本题可先将直线方程化为一般式,然后直接用点到直线的距离公式求解 解（1）将直线方程化为一般式为xy30.由点到直线的距离公式，得d错误!2错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -5-(2）法一：直线方程化为一般式为y10,由点到直线的距离公式,得d错误!3。法二：y1 平行于x轴，由图知，d2(1)3。（3）法一：y轴的方程为x0，由点到直线的距离公式，得d错误!1.法二:由图可知，d|101。应用点到直线的距离公式应注意以下问题:1直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式,再用公式；2当点Px0，y0在直线上时，d0；3点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a；，点Px0，y0到直线yb的距离dy0b。学必求其心得，业必贵于专精 -6-2若点(2，k)到直线 5x12y60 的距离是 4，则k的值是_ 3 或错误!错误!4,|1612k|52，k3 或k错误!。两平行线间的距离公式 探究问题 1能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可 2已知l1：AxByC10,l2:AxByC20，如何推导出l1与l2的距离公式呢？提示:由l1与l2的方程可知直线l1l2，设P0（x0，y0)是直线AxByC20 上任一点,则点P0到直线AxByC10 的距离为d|Ax0By0C1A2B2。又Ax0By0C20，即Ax0By0C2,d错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -7-【例 3】已知直线l1与l2的方程分别为 7x8y90,7x8y30，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且错误!错误!,求直线l的方程 思路探究 设P为l上任一点,根据点到直线的距离公式求出d1，d2，代入d22d1，化简求解 解 设P(x，y）为l上任一点 则d1错误!，d2错误!.由错误!错误!,即d22d1,得|7x8y327x8y9。7x8y32（7x8y9）或 7x8y32(7x8y9）化简得l的方程为 7x8y210 或 7x8y50.求两条平行直线间的距离有两种思路：,1转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；,2利用公式d错误!求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等。3已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是（）学必求其心得，业必贵于专精 -8-A1 B2 C。12 D4 B 错误!错误!错误!，m8，直线 6xmy140 可化为3x4y70，两平行线之间的距离d错误!2。1点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式 当直线与坐标轴垂直时可直接求之 2利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰 3已知两平行直线，其距离可利用公式d错误!求解,也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离 1思考辨析（1)直线l:AxByC10 到l2：AxByC20 的距离是|C1C2|。(）（2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形 学必求其心得，业必贵于专精 -9-（3)原点到直线AxByC0 的距离公式是错误!。(4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式 （)答案（1)（2)(3）（4)2已知点A（2，1)，B（a，3)，且AB5，则a的值为（)A1 B5 C1 或5 D1 或 5 C 由|AB错误!5a1 或a5.3P，Q分别为直线 3x4y120 与 6x8y60 上任意一点，则|PQ的最小值为_ 3 直线 6x8y60 可变为 3x4y30，由此可知两条直线平行，它们的距离d12332423,PQ|最小值为d3。4求与直线l：5x12y60 平行且到l的距离为 2 的直线方程 解 设所求直线的方程为 5x12yC0，在直线l上取点错误!,学必求其心得，业必贵于专精 -10-由点到直线的距离公式得 2错误!,解得C32 或C20.故所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200。
