中考第二次模拟检测《数学卷》带答案解析.pdf

中考数学综合模拟测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ 一、选择题(本题共 10小题，每小题4分，共 40分)1.抛物线 y（x 2）21 的顶点坐标是（）A.（2，1）B.（2，1）C.（2，1）D.（2，1）2.方程 x25x0 的解是（）A.x5B.x1 5，x2 5C.x15，x2 0D.x0 3.下列图形是中心对称图形的是（）A.B.C.D.4.如图，点 A，B，C 在 O 上，AOB=72，则 ACB 等于（）A.36B.54C.18D.285.如图，在正方形ABCD中，E为 DC边上的点，连接BE，将 BCE绕点 C顺时针方向旋转90 得到 DCF，连接 EF，若 BEC=60 ，则 EFD的度数为（）A.10B.15C.20D.256.抛物线 y=2（x2）2+5 向左平移 3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，此时抛物线的对称轴是（）A.x=2B.x=1C.x=5D.x=0 7.已知点 A(1，2)，O 是坐标原点，将线段OA 绕点 O 逆时针旋转90，点 A 旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是()A.(2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，2)8.某药厂 2013 年生产 1t 甲种药品的成本是6000 元.随着生产技术的进步，2015 年生产 1t 甲种药品的成本是3600 元.设生产 1t 甲种药品成本的年平均下降率为x，则 x 的值是()A.5155B.5155C.155D.259.如图，已知 ABC 中，C 90，ACBC2，将 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60 得到 A B C的位置，连接C B，则 C B 的长为()A.22B.32C.31D.1 10.设函数 yx2+2kx+k 1(k 为常数)，下列说法正确的个数是()(1)对任意实数k，函数与 x 轴有两个交点(2)当 x k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大(3)k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条抛物线上(4)对任意实数k，抛物线yx2+2kx+k 1都必定经过唯一定点A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本题共 6小题，每小题 4分，共 24 分)11.已知 x1 是方程 x2a 0的根，则a_12.时钟上的时针不停地旋转，从上午8 时到上午11 时，时针旋转的旋转角是_13.如图，已知AB3，AC1，D90，DEC 与 ABC 关于点 C 成中心对称，则AE 的长是 _ 14.有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x 个人，在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24 人患流感，则x_.15.如图，在 ABC 中，BAC 90，AB AC，点 D，E 均在边 BC 上，且 DAE 45(1)若 BD2，CE4，则 DE_.(2)若 AEB 75，则线段BD 与 CE 的数量关系是 _.16.如图，点A 在二次函数yax2(a0)第一象限的图象上，ABx 轴，AC y 轴，垂足分别为B、C，连接 BC，交函数图象于点D，DEy 轴于点 E，则DEBO的值为 _.三、解答题(本题共 9 小题，共86 分)17.解方程：x(x3)x1.18.如图，在 O 中，?ABAC，B 70()若 O 的半径为3，求 O 的周长(精确到 0.1)；()求 A 的度数.19.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，3)()画出线段AB；再画出线段AB 关于原点对称的图形；()画出线段AB 绕点 O 逆时针旋转90 后的图形.20.我国古代数学著作算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解21.小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与 x 的几组对应值如下表所示：x(s)0 0.5 1 1.5 2 y(m)0 8.75 15 18.75 20()求 y关于 x 的函数解析式(不要求写x 的取值范围)；()问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.22.阅读下列材料：若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c0 的两个非零实数根分别为x1，x2，则 x1+x2ba，x1x2ca.解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程(x+n)26x 有两个非零不等实数根x1，x2，设 m1211xx，()当 n1 时，求 m 的值；()是否存在这样的n值，使 m 的值等于12？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由.23.如图，点C 将线段 AB 分成两部分，若AC2BC?AB(AC BC)，则称点C 为线段 AB 的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线yax2+bx+c，满足 b2 ac(b0)，则称此抛物线为黄金抛物线.()若某黄金抛物线的对称轴是直线x2，且与 y 轴交于点(0，8)，求 y 的最小值；()若黄金抛物线yax2+bx+c(a 0)的顶点 P为(1，3)，把它向下平移后与x 轴交于 A(5+3，0)，B(x0，0)，判断原点是否是线段AB 的黄金分割点，并说明理由.24.已知 ACD 90，AC DC，MN 是过点 A 的直线，DBMN 于点 B（1）如图，求证：BD+AB 2BC；（2）直线 MN 绕点 A 旋转，在旋转过程中，当BCD 30，BD2时，求 BC 的值25.已知抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点 M(1，4a)，且过点 A(4，t)，与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C的左侧)，直线 l 经过点 A，B，交 y 轴交于点D.(1)若 a 1，当 2x4 时，求 y 的范围；(2)若 MBC 是等腰直角三角形，求ABM 的面积；(3)点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，BDE 的面积的最大值为2516；设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点A、B、P、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.答案与解析一、选择题(本题共 10小题，每小题4分，共 40分)1.抛物线 y（x 2）21 的顶点坐标是（）A.（2，1）B.（2，1）C.（2，1）D.（2，1）【答案】A【解析】顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），y=2（x-2）2+1 的顶点坐标是（2，1），故选 A2.方程 x25x0 的解是（）A.x 5 B.x15，x2 5 C.x15，x20 D.x0【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解方程，即可求解.【详解】因式分解，得：(5)0 x x ，x=0 或 x-5=0，10 x，25x，故选 C.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键.3.下列图形是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可.【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确.故选 D.【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握定义是关键.4.如图，点 A，B，C 在 O 上，AOB=72，则 ACB 等于（）A.36B.54C.18D.28【答案】A【解析】【分析】由圆周角定理即可求出.【详解】根据圆周角定理可知，AOB=2ACB=72，则 ACB=36，故选A【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.5.如图，在正方形ABCD中，E为 DC边上的点，连接BE，将 BCE绕点 C顺时针方向旋转90 得到 DCF，连接 EF，若 BEC=60 ，则 EFD的度数为（）A.10B.15C.20D.25【答案】B【解析】试题分析：根据正方形的性质及旋转的性质可得ECF是等腰直角三角形，DFC=BEC=60，即得结果.由题意得EC=FC，DCF=90 ，DFC=BEC=60 EFC=45 EFD=15 故选 B.考点：正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等6.抛物线 y=2（x2）2+5 向左平移 3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，此时抛物线的对称轴是（）A.x=2B.x=1C.x=5D.x=0【答案】B【解析】将抛物线22(2)5yx向左平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度后所得新抛物线的解析式为：2y2(x1)3，新抛物线的对称轴为直线：1x.故选 B.点睛：（1）抛物线2()ya xhk的对称轴是直线：xh；（2）将抛物线2()ya xhk向左（或右）平移m 个单位长度，再向上（或向下）平移n 个单位长度所得新抛物线的解析式为：2()ya xmhnk，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减).7.已知点 A(1，2)，O 是坐标原点，将线段OA 绕点 O 逆时针旋转90，点 A 旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是()A.(2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，2)【答案】C【解析】【分析】如图，作 AFx 轴于 F，A1Ex 轴于 E 构造全等三角形解决问题即可.【详解】如图，作AFx 轴于 F，A1Ex 轴于 E.A(1，2)，AF2，OF1，AFO OEA1 AOA190，AOF+EOA1 90，A+AOF 90，A EOA1，OA OA1，AOF OA1E(AAS)，OEAF2，A1E OF1，A1(2，1)，故选：C.【点睛】本题主要考查了旋转图形的坐标变化，熟练掌握相关方法是解题关键.8.某药厂 2013 年生产 1t 甲种药品的成本是6000 元.随着生产技术的进步，2015 年生产 1t 甲种药品的成本是3600 元.设生产 1t 甲种药品成本的年平均下降率为x，则 x 的值是()A.5155B.5155C.155D.25【答案】A【解析】【分析】设生产 1t 甲种药品成本的年平均下降率为x，根据 2013年生产 1 吨某药品的成本是6000 元，随着生产技术的进步，2015年生产 1 吨药品的成本是3600 元可列方程解答即可.【详解】设生产1t 甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得：6000(1x)23600 解得：x15155，x25155(不合题意，舍去)，生产 1t 甲种药品成本的年平均下降率为5155.故选：A.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.9.如图，已知 ABC 中，C 90，ACBC2，将 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60 得到 A B C的位置，连接C B，则 C B 的长为()A.22B.32C.31D.1【答案】C【解析】【分析】如图，连接BB ，延长 BC 交 AB 于点 D，证明 ABC BBC，得到 DBB=DBA=30 ；求出 BD、CD的长，即可解决问题【详解】解：如图，连接BB ，延长 BC 交 AB 于点 D，由题意得：BAB=60，BA=B A，ABB 为等边三角形，ABB=60，AB=B B；在ABC 与BBC 中，ACB CABB BBCBC ABC BBC（SSS），DBB=DBA=30 ，BD AB ，且 AD=B D，ACBC2，22222ABABACBC，112ADAB，22413BDABAD，112DCAB，31BCBDDC故选：C【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线作辅助线构造出全等三角形并求出BC 在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点10.设函数 yx2+2kx+k 1(k 为常数)，下列说法正确的个数是()(1)对任意实数k，函数与 x 轴有两个交点(2)当 x k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大(3)k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条抛物线上(4)对任意实数k，抛物线yx2+2kx+k 1都必定经过唯一定点A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】(1)b24ac4k2 4k+4(2k1)2+30，即可求解；(2)函数的对称轴为：x2ba k，a0，即可求解；(3)函数的对称轴为：x k，则顶点坐标为：(k，k2+k1)，即可求解；(4)yx2+2kx+k 1x2+k(2x+1)1，当 x12时，y34，即可求解.【详解】(1)b2 4ac4k24k+4(2k1)2+30，故对任意实数k，函数与 x 轴有两个交点，符合题意；(2)函数的对称轴为：x2ba k，a0，故当 x k 时，函数y 的值都随 x 的增大而增大，符合题意；(3)函数的对称轴为：x k，则顶点坐标为：(k，k2+k1)，故顶点在抛物线：y x2x1 上，k取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条抛物线上，符合题意；(4)yx2+2kx+k 1x2+k(2x+1)1，当 x12时，y34，故对任意实数k，抛物线y x2+2kx+k 1都必定经过唯一定点，符合题意；故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题(本题共 6小题，每小题 4分，共 24 分)11.已知 x1 是方程 x2a 0的根，则a_【答案】1【解析】【分析】把 x 1代入方程x2a0得 1a 0，然后解关于a的方程即可【详解】解：把x1 代入方程x2a0 得 1a0，解得 a 1故答案为1【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解12.时钟上的时针不停地旋转，从上午8 时到上午11 时，时针旋转的旋转角是_【答案】90º【解析】本题主要考查了钟面角根据时针12 小时走 360，时针旋转的旋转角=360时间差 12解：时针从上午的8 时到 11 时共旋转了3 个格，每相邻两个格之间的夹角是30，时针旋转的旋转角=30 3=90 13.如图，已知AB3，AC1，D90，DEC 与 ABC 关于点 C 成中心对称，则AE长是 _【答案】13【解析】【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE 的长，进而利用勾股定理得出答案【详解】解：DEC 与ABC 关于点 C 成中心对称，DCAC1，DEAB3，在 Rt EDA 中，AE的长是：222313故答案为13【点睛】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理,掌握成中心对称的两图形对应边相等和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.14.有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x 个人，在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24 人患流感，则x_.【答案】5【解析】【分析】第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x 1+x(x1)人患了流感，而此时患流感人数为24，根据这个等量关系列出方程进一步求解即可.【详解】设在每轮传染中一人将平均传给x 人根据题意得：1+x2+x(x1)24 整理得：x2124 解得 x15，x2 5(舍去)，x5，故答案为：5.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键.15.如图，在 ABC 中，BAC 90，AB AC，点 D，E 均在边 BC 上，且 DAE 45(1)若 BD2，CE4，则 DE_.(2)若 AEB 75，则线段BD 与 CE 的数量关系是 _.【答案】(1).25(2).CE3BD【解析】【分析】(1)将 ABD 绕点 A 逆时针旋转90，至 ACD，则 AB 与 AC 重合，连接ED，则 CDBD 2，CAD BAD，AD AD，DAD 90，ACD ABD，证明 ADE ADE(SAS)，得出DEDE，由等腰直角三角形的性质得出B ACB 45，得出 DCE90，在 RtCDE 中，由勾股定理得出DE222 5CECD，即可得出答案；(2)由(1)得出 DCE90，ADE ADE，由全等三角形的性质得出DEDE，AED AEB75，求出 CED30，由含 30 角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1)将 ABD 绕点 A 逆时针旋转90，至 ACD，则 AB 与 AC 重合，连接ED，如图所示：则 CDBD2，CAD BAD，AD AD，DAD 90，ACD ABD，BAC 90，DAE 45，DAE 90 45 45 DAE，在 ADE 和 ADE 中，ADADD AEDAEAEAE，ADE ADE(SAS)，DEDE，BAC 90，AB AC，B ACB 45，DCE45+45 90，在 RtCDE 中，由勾股定理得：DE22CECD224225，DE25；故答案为：25；(2)CE3BD，理由如下：由(1)得：DCE90，ADE ADE，DEDE，AED AEB 75，CED180 75 75 30，CE3CD，CE3BD，故答案为：CE3BD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.16.如图，点A 在二次函数yax2(a0)第一象限的图象上，ABx 轴，AC y 轴，垂足分别为B、C，连接 BC，交函数图象于点D，DEy 轴于点 E，则DEBO的值为 _.【答案】512【解析】【分析】设 A(m，am2)，则 B(m，0)，C(0，am2)，根据待定系数法求得直线BC 的解析式，然后联立方程求得D 的横坐标即可求得DEBO的值.【详解】设A(m，am2)，则 B(m，0)，C(0，am2)，设直线 ykx+b，20mkbbam，解得2kambam，y amx+am2，解22mxmyaayax得 x1512m，x2512m(舍去)，DEy 轴于点 E，DE512m，DEOB5m1m2512.故答案为512.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题(本题共 9 小题，共86 分)17.解方程：x(x3)x1.【答案】x12+3，x2 23.【解析】【分析】整理方程得x24x 1，利用配方法求解可得.【详解】原方程整理得：x24x 1，x24x+4 1+4，即(x2)23，则 x 23，x12+3，x223.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.18.如图，在 O 中，?ABAC，B 70()若 O 的半径为3，求 O 的周长(精确到 0.1)；()求 A 的度数.【答案】()O 的周长 18.8；()A=40.【解析】【分析】()根据圆的周长公式计算；()根据圆心角、弧、弦的关系求出C，根据三角形内角和定理计算，得到答案.【详解】()O 的半径为3，O 的周长 2 318.8；()?ABAC，C B70，A180 C B40.【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，熟练掌握相关概念是解题关键.19.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，3)()画出线段AB；再画出线段AB 关于原点对称的图形；()画出线段AB 绕点 O 逆时针旋转90 后的图形.【答案】()见解析；()见解析.【解析】【分析】()利用坐标的表示方法描点得到线段AB，然后利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B 关于原点的对称点，然后描点即可；()根据旋转的性质画出A、B 的对应点A、B 即可.【详解】()如图，线段AB 和 AB为所作；()如图，线段A B为所作.【点睛】本题主要考查了旋转图形的画法，熟练掌握相关方法是解题关键.20.我国古代数学著作算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解【答案】该矩形长36 步，宽 24 步.【解析】试题分析：如果设矩形田地的长为x 步,那么宽就应该是（x-12）步,根据矩形面积864=矩形的长 矩形的宽4,即可得出方程求解即可.解：设矩形长为x步，宽为（x-12）步x（x-12）=864 x2-12x-864=0 解得 x1=36，x2=-24（舍）x-12=24答：该矩形长36 步，宽 24 步21.小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与 x 的几组对应值如下表所示：x(s)0 0.5 1 1.5 2 y(m)0 8.75 15 18.75 20()求 y关于 x 的函数解析式(不要求写x 的取值范围)；()问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.【答案】()y 5x2+20 x；()小球的飞行高度不能达到22m，理由见解析.【解析】【分析】()设 y 与 x 之间的函数关系式为y ax2+bx(a 0)，然后再根据表格代入x1 时，y 15；x 2时，y20可得关于a、b 的方程组，再解即可得到a、b 的值，进而可得函数解析式；()把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【详解】()x 0 时，y0，设 y 与 x 之间的函数关系式为yax2+bx(a 0)，x 1 时，y15；x2 时，y20，154220abab，解得520ab，y与 x 之间的函数关系式为y 5x2+20 x；()由()得：y 5x2+20 x 5(x2)2+20，小球飞行的最大高度为20m，2220，小球的飞行高度不能达到22m.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.22.阅读下列材料：若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c0 的两个非零实数根分别为x1，x2，则 x1+x2ba，x1x2ca.解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程(x+n)26x 有两个非零不等实数根x1，x2，设 m1211xx，()当 n1 时，求 m 的值；()是否存在这样的n值，使 m 的值等于12？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】()m=4；()存在，n 6.【解析】【分析】当 n 1时，由 x1，x2是关于 x 的一元二次方程(x+1)26x 的两个实数根，根据根与系数的关系可得：x1+x24，x1?x21，又由 m1211xx1212xxx x，即可求得答案；()当 m12时，262nn12，解此方程即可求得n 的值，又由根的判别式0求出 n 的取值范围是n32，即可确定n的值.【详解】()关于 x 的一元二次方程(x+1)2 6x，即 x24x+10 有两个非零不等实数根x1，x2，x1+x24，x1?x21，m1211xx1212xxx x414；()存在.理由：关于x 的一元二次方程(x+n)26x，即 x2+(2n6)x+n20 有两个非零不等实数根x1，x2，(2n 6)24n20，解得 n32.x1+x262n，x1?x2n2，m1211xx1212xxx x262nn，当 m12时，即262nn12，整理得：n2+4n120，解得：n1 6，n22，n32，n 6；使 m12的值存在，此时n 6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.23.如图，点C 将线段 AB 分成两部分，若AC2BC?AB(AC BC)，则称点C 为线段 AB 的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线yax2+bx+c，满足 b2 ac(b0)，则称此抛物线为黄金抛物线.()若某黄金抛物线的对称轴是直线x2，且与 y 轴交于点(0，8)，求 y 的最小值；()若黄金抛物线yax2+bx+c(a 0)的顶点 P为(1，3)，把它向下平移后与x 轴交于 A(5+3，0)，B(x0，0)，判断原点是否是线段AB 的黄金分割点，并说明理由.【答案】()y 有最小值为6；()原点是线段AB 的黄金分割点，理由见解析.【解析】【分析】()根据对称轴确定a和 b 的关系，再根据已知条件即可求解；()根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断.【详解】()黄金抛物线的对称轴是直线x2，2ba2，b 4a，又 b2ac 16a2ac.且与 y 轴交于点(0，8)，c8.a12，b 2.y12x2 2x+8 12(x2)2+6，120，y 有最小值为6.()原点是线段AB 的黄金分割点.理由如下：黄金抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点 P为(1，3)，把它向下平移后与x 轴交于 A(5+3，0)，B(x0，0)，x0 15.OA 3+5，OB1+5，AB 4+25.OA2(3+5)214+65.OB?AB(1+5)(4+25)14+65.OA2OB?AB.原点是线段AB 的黄金分割点.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.24.已知 ACD 90，AC DC，MN 是过点 A 的直线，DBMN 于点 B（1）如图，求证：BD+AB 2BC；（2）直线 MN 绕点 A 旋转，在旋转过程中，当BCD 30，BD2时，求 BC 的值【答案】（1）证明见解析；（2）BC3+1 或31【解析】【分析】(1)过点C 作 CECB 于点C，与MN 交于点E，易证：BCD ACE，CBD CEA，进而证明ACE DCB（AAS），可得：ECB 为等腰直角三角形，即：BE2CB，进而得到结论；(2)分两种情况讨论：当C，D在直线 MN 的同侧时，当C，D在直线 MN 的异侧时，分别求出BC 的值，即可.【详解】（1）过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，如图 1，ACB+BCD90，ACB+ACE 90，BCD ACE，DB MN，ABC+CBD90，CECB ABC+CEA 90，CBD CEA 又 ACDC，ACE DCB（AAS），AEDB，CE CB，ECB 为等腰直角三角形，BE2CB又 BEAE+AB，BEBD+AB，BD+AB 2CB.（2）当 C，D在直线 MN 的同侧时，连接AD，过点 D 作 DFBC 于点 F，如图 2，AC CD，ACD 90，CAD ADC 45，ACD ABD 90，点 A，点 C，点 D，点 B 四点共圆，CAD CBD 45，且 DF BC，FBD FDB 45，且 BD2，BFDF 1，BCD30，DF BC，CF3DF3，BCCF+BF 3+1，当 C，D在直线 MN 的异侧时，连接AD，过点 D 作 DFBC 于点 F，如图 3，AC CD，ACD 90，CAD ADC 45，ACD ABD 90，点 A，点 C，点 D，点 B 四点共圆，CAD DBF 45，且 DF BC，FBD FDB 45，且 BD2，BFDF 1，BCD30，DF BC，CF3DF3，BCCFBF31图 1 图 2 图 3【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键.25.已知抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点 M(1，4a)，且过点 A(4，t)，与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C的左侧)，直线 l 经过点 A，B，交 y 轴交于点D.(1)若 a 1，当 2x4 时，求 y 的范围；(2)若 MBC 是等腰直角三角形，求ABM 的面积；(3)点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，BDE 的面积的最大值为2516；设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点A、B、P、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.【答案】(1)5 y3；(2)ABM 的面积 4；(3)以点 A、D、P、Q 为顶点的平行四边形都不可能是矩形，理由见解析.【解析】【分析】(1)a 1 时，y(x 3)(x+1)，当 x2 时，y3，当 x4 时，y 5，即可求解；(2)MBC 是等腰直角三角形，则yM12BC2，ABM 的面积12 CByM124 24；(3)SACE SAFESCFE，解得 a 1；分 AD 是平行四边形的一条边、AD 是平行四边形的一条对角线，分别求解即可.【详解】解：ya(x 1)24aax22ax3a，令 y 0，则 0ax22ax3a，解得 x1 1，x23 点 A 在点 B 的左侧，A(1，0)，直线 l 经过点 A，0 k+b，bk，ykx+k，点 D 的横坐标为4，令 ax22ax 3akx+k，a 422a 43ak 4+k，ka，直线 l 的函数表达式为yax+a；(1)a 1 时，y(x 3)(x+1)，当 x 2时，y3，当 x4 时，y 5，故 5y3；(2)MBC 是等腰直角三角形，则yM12BC2，ABM 的面积12 CByM124 24；(3)如答图 1，过点 E 作 EF y 轴，交直线l 于点 F，设 E(x，ax22ax3a)，则 F(x，ax+a)EFax22ax3a(ax+a)ax23ax4a SACESAFESCFE12(ax23ax 4a)(x+1)12(ax23ax4a)x 12(ax23ax 4a)12a(x32)2258a，ACE 的面积的最大值为258a，ACE的面积的最大值为258，258a258，解得 a 1；抛物线解析式为y x2+2x+3，A(1，0)，D(4，5)，A、D 点的横坐标相差5，抛物线的对称轴为x1，P点的横坐标是1，如答图2，若 AD 是平行四边形的一条边，AD QP，则点 P与点 Q 的横坐标相差5，则 Q 点横坐标是4，Q(4，21)；如答图3，若 AD 是平行四边形的一条对角线，则线段 AD 的中点的横坐标是32，P点的横坐标是1，Q 点横坐标是2，Q(2，3)，经验证以上两种以点A、D、P、Q 为顶点的平行四边形都不可能是矩形.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.