一次函数中的最值问题.pdf
学校 北师大三附中 教师 习富云 时间 课题 一次函数中的最值问题 教 学 目 标 知识与技能 由实际问题中的最值问题建立数学模型引入，然后利用图形变换和一次函数在直角坐标系中确定最值点，巩固一次函数的知识并进一步体会数形结合思想.过程与方法 体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直线的交点，增强数学的应用意识.情感价值观 在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的喜悦.教学 重点 图形变换和一次函数的应用.教学 难点 如何通过图形变换进行转化，确定对称点坐标然后求解析式进而求得最值点 教 学 过 程 活动内容 师生活动 设计意图 一、问题探究 1.提出问题 问题 1 如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?2.实际问题数学化 如图,已知点 A、B 在直线 l 的同侧.在 l 上找点 P，使 PA+PB 最小.提问：1）.线段和的最小值的理论依据是什么 2）.如何将两条线段的和转化到一条线段上 3.几何问题代数化 学生独立思考,教师巡视.观察学生是否作数学化,同时对转化正确的同学给予肯定,并指出实际问题转化为数学问题是解决实际问题的第一步.学生会回答：利用两点之间线段最短;利用图形变换实现问题的转化 选用“西气东输”作为背景，引导学生了解数学来源于生活.让 学 生 明确 用 数 学方 法 解 决实际问题，BAl 教 学 过 程 提问:“如图，已知点A（4，3），点B（0，1）。若点C 是x 轴上一动点，当BCAC的值最小时，求C 点坐标.提问：如何在直角坐标系中确定两条直线的交点 4画图找点 解：做B点关于 x 轴的对称点B(0,-1)连接BB交 x 轴与点 C 设AB所在直线的解析式为 y=kx+b，将,BA两点坐标代入 341bkb 求得，k=1 AB所在直线的解析式为 y=x-1 点 C 坐标为（1,0）5思考 提出问题:如图，已知点A（4，3），点 B（0，-1）。若点 C 是 x 轴上一动点，当BCAC的值最大时，求 C 点坐标.提出问题：轴对称变换在解决问题中起了什么作用？学生想到通过求直线的解析式再求其与 x 轴的交点.学生思考，讨论交流.利用轴对称变换和一次函数解决问题.学生独立思考并回得 将 实 际问 题 数 学化.回 忆 轴 对称 变 换 的知识.让 学 生 复习 一 次 函数 的 有 关知识 由 辅 助 问题的铺垫,利 用 轴 对BBCB 二、拓展 问题 2 如图，已知点 A（4，3）。若点 C 是直线y=-x+4 上一点，B 是直线x=5 上一点，当ABC 的周长最小时，求 C、B两点的坐标.分析：先找点 A 关于两条直线的对称点1A（1，0）、2A（6，3）,连接 1A2A分别较两条直线于 B、C从而将ABC 的周长转化为线段1A2A的长 设1A2A所在直线的解析式为 y=kx+b，将1A（1，0）、2A（6，3）两点坐标代入 360bkbk 求得，k=53，b=-53 AB所在直线的解析式为 y=53x-53 53534xyxy 点 C 坐标为89,823，B 的坐标为512,5。答 学生读完题后尝试独立求解，教师巡视指导.学生在解该题时可能模仿问题 1 容易想到利用轴对称变换求解，但对为什么这样做缺少理性思考,此时提问学生称 变 换 和一 次 函 数求解该题.使 学 生 从另 一 个 角度 对 利 用轴 对 称 变换 求 解 该题作说明，进 一 步 理解 轴 对 称变换.让 学 生 明确 轴 对 称变 换 在 该题 中 的 转化作用.y=-x+4BCA2A1如何求解，引导学生理解运用轴对称变换求解最短路线的实质，即“折化直”关键抓住点 A通过两次轴对称变换后得到的 A1、A2为定点，同时由轴对称性质可将三角形周长转化为非封闭 的 折 线 段 的 长度，从而利用问题 1的结论又可求解该题.问题2在这里 起 承 上启 下 的 作用.该题变得更复杂，但 究 其 实质，与问题1 一样都是利 用 轴 对称 变 换 将多 条 路 径转 化 到 一条直线上，从 而 解 决路 线 最 短问题.问题 3 如图，已知点 A（4，3）,B（1，2）。若点C 是 y 轴上点，D 是 x 轴上一点，当四边形 ABCD的周长最小时，求 C、D两点的坐标.问题 4 如图，已知点 A（4，3）,B（1，2）。若点C、D 是 x 轴上两点，且 CD=1 当使四边形 ABCD的周长最小时，求 C、D两点的坐标.解：分析：可将点向右平移 1 个单位到1B（2，2），再.学生独立思考、交流讨论解决问题.引导学生考虑我们学过的图形变换除了轴对称之外还有平移变换，探讨是否可以通过平移变换实现问题的转化 与前面问题相似，都是涉及路径的最短问题.让学生在收获成功喜悦的同时，对转化的思想上升到理性层面.BB教 学 过 程 做1B关于 x 轴的对称点2B（2，-2），连接 A2B交 x轴于点 D，将点 D 向左平移得到点 C。B2B1DC 教 学 过 程 三、总结反思 怎样将实际问题转化为数学问题?将实际问题中的条件作数学化的简化或抽象是解决实际问题时的常用方法.例如将管道、河流近似看成直线，但这种简化或抽象不是普遍适用的.图形变换所起的作用是什么?利用图形变换将多条路径转化到一条直线上，从而解决最短路线问题.（将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化简单问题.）教师引导，学生思考、回答 对实际问题数学化，及转化的解题思想进行提炼总结.四、再探究 如图，已知点 A（4，3）,B（-1，-2）。若点 C 是直线 y=2 上一点，D 是 x 轴上一点，CDx 轴，当四边形AC+CD+BD 最小时，求 C、D两点的坐标.四、作业 积极鼓励学生进行思考，鼓励他们畅所欲言。在问题 4 的基础上，积极发挥图形变换的转化作用，激发学生的灵感和学习兴趣 B
