2013年四川省绵阳市中考数学试题.docx

绵阳市2013年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学第一卷（选择题，共36分）一选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1的相反数是（ C ）A B C D解析考查相反数，前面加个负号即可，故选C。2下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ A ）解析B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。32013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（ D ）A1.2×10-9米 B1.2×10-8米 C12×10-8米 D1.2×10-7米解析科学记数法写成：形式，其中，再数小数位知，选D4设“”、“”、“”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小排列应为（ C ）A、 B、 C、 D、解析：5把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ B ）解析两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形，只有B。6下列说法正确的是（ D ）来源A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析由矩形的性质可知，只有D正确。平行四边形的对角线是互相平行，菱形的对角线互相平分且垂直，故A、C错，等腰梯形的对角线相等B也错。7如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ C ）7题图A B12mm C D来源:中#国&*教育出版网解析画出正六边形，如图，通过计算可知，ON3，MN6，选C。8朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（ B ）A4个 B5个 C10个 D12个解析（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）9如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角为60º，又从A点测得D点的俯角为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）A20米 B米 C米 D米解析GE/AB/CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=ABcotACB=30×cot60º=10米，DF=AFtan30º=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。10题图10如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DHAB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ B ）A B C D解析OA=4，OB=3，AB=5，BDHBOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-18/5=7/5，AGHABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5 / 4，GH=21/20。11“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ D ）A B C D解析：男A男B男C女1女2男A×男B男A男C男A女1男A女2男A男B男A男B×男C男B女1男B女2男B男C男A男C男B男C×女1男C女2男C女1男A女1男B女1男C女1×女2女1女2男A女2男B女2男C女2女1女2×上表中共有20种可能的组合，相同组合（同种颜色表示相同组合）只算一种，余10种组合，其中1男1女的组合有6组，所以一男一女的概率=6/10=3/5.12把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（ C ）A（45，77） B（45，39） C（32，46） D（32，23）解析第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33 分别计作a1,a2,a3,a4,a5an， an表示第n组的第一个数，a1 =1a2 = a1+2a3 = a2+2+4×1a4 = a3+2+4×2a5 = a4+2+4×3an = an-1+2+4×(n-2)将上面各等式左右分别相加得：a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + + a n-1)，当n=45时，a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45组当n=32时，a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46,A2013=(32,46).如果是非选择题：则2n2-4n+32013，2n2-4n-20100，假如2013是某组的第一个数，则2n2-4n-2010=0，解得n=1+ ,31<<32,32<n<33, 2013在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923, (2013-1923)÷2+1=46.(注意区别an和An)第二卷（非选择题，共114分）二填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。将答案填写在答题卡相应的横线上。13因式分解：= x2y2(y+x) (y-x) 。解析提取公因式x2y2，再用平方差公式。14如图，AC、BD相交于O，AB/DC，AB=BC，D=40º，ACB=35º，则AOD= 75º 。解析ABOD=40º，AACB=35º，AOD=AABO=75º15如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）。15题图14题图解析依题，可建立平面直角坐标系，如下图：平移后可得右眼B（3,3）16对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。解析连接AC，四边形ABCD是正方形，ACBD，E、F分别BC、CD的中点，EF/BD，ACEF，CF=CE，EFC是等腰直角三角形，直线AC是EFC底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条直线上，OC=OB=OD，OCOB，FG是DCO的中位线，OG=CG= OC, M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面积为1，OMOG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。Oxy1-118题图17已知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程，则ABC的周长是 10 。解析=(-3)2-320, k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+24，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以ABC的周长=4+4+2=10。18二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：2a+b0；bac；若-1mn1，则m+n；3|a|+|c|2|b|。其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）.解析抛物线开口向下，a <0, 2a<0,对称轴x= >1,-b<2a ,2a+b>0 ，正确； -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，则（+2）/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a<c,a=c都有可能），错误；-1mn1，-2<m+n<2,抛物线的对称轴为x= >1，>2，m+n<，正确； 当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 , 3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,正确。三解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。19（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：；解： 原式= - +|1- |×2(+1) = - +(-1) ×2(+1) = - +2（）2 -12 = 2- = （2）解方程： 解： = x+2 = 3 x = 1 经检验，x = 1是原方程的增根，原方程无解。20（本题满分12分）为了从甲乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：图1 甲、乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲7740乙775541图2 甲、乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；答：甲胜出。因为S甲2 <S乙2（甲的方差小于乙的方差），甲的成绩较稳定。（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？答：如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出。因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，乙的射击成绩越来越好。 21（本题满分12分）如图，AB是O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分DAB，ADCD，垂足为D，AD交O于E，连接CE。（1）判断CD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是 的中点，O的半径为1，求图中阴影部分的面积。解（1）直线CD与O相切。 证明：连结AC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分DAB，DAC=OAC，DAC=OCA，AD/OC，ADCD，OCCD，CD与O相切。（2）连结OE， 点E是 的中点，DAC=ECA（相等的弧所对的圆周角相等），DAC=OAC（1）中已证），ECA=OAC，CE/OA，AD/OC，四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，OCE是等边三角形，OCE=60º，OCD=90º，DCE=OCD-OCE=90º-60º=30º，ADCD，在RtDCE中，ED= CE = ,DC=cos30ºCE= ,CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，S阴影=SDCE=EDDC=××= .答：图中阴影部分的面积为。22（本题满分12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；22题图（2）若将BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EGOC，垂足为G，证明EGDDCF，并求k的值。解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是AB的中点，AE=2，OA=2，点E（2，2）在双曲线y=上，k=2×2=4 ,点F在直线BC及双曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,所以点F的坐标为（4，1）.(2)证明：DEF是由BEF沿EF对折得到的，EDF=EBF=90º，点D在直线OC上，GDE+CDF=180º-EDF=180º-90º=90º，DGE=FCD=90º，GDE+GED=90º，CDF=GED，EGDDCF； 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,DC=2,EGDDCF,= ,= ,b= ,有点F（4，），k = 4×= 3.23（本题满分12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x , 根据题意列方程：64（1+x）2 =100 , 解得x=-225%（不合题意，舍去）, x= 25% 100×(1+25%)=125(辆) 答：该商城4月份卖出125辆自行车。（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组 2x2.8x ， 解得 12.5x15,自行车辆数为整数，所以13x15,销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x .整理得：W=-100x+12000， W随着x的增大而减小, 当x=13时，销售利润W有最大值，此时，=34，所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。24（本题满分12分）ABCDOxyl如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 ,点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；（2）BOC=PDB=90º，点P在直线x=m上，设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，当BOCPDB时，,p= 或p = ,点P的坐标为（m，）或（m，）；当BOCBDP时， ，p=2m-2或p=2-2m,点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；（3）不存在满足条件的点Q。点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE直线l , 垂足为E，BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD， 当P的坐标为（m，）时，m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，）时，x-m= m=- m=12x2-2- = m-1, x=- x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，2m-2）时，m-x =2m-2 m= m=12x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；当P的坐标为（m，2-2m）时，x- m = 2m-2 m= m=12x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q。25（本题满分14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHGSAGH分别表示四边形BCHG和AGH的面积，试探究的最大值。解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。点O是ABC的重心，P是AB的中点，D是BC的中点，PD是ABC的中位线，AC=2PD， AC / PD，DPO=ACO，PDO=CAO，OPDCA，= = , = ,；（2）点O是是ABC的重心。证明：如图2，作ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是ABC的重心；（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交于点M、N，点O是ABC的重心， = ， = , 在ABE中，OM/AB，= = ，OM = AB，在ACF中，ON/AC，= = ，ON = AC，在AGH中，OM/AH，= ，在ACH中，ON/AH，= ， + = +=1， + =1, + = 3 ,令= m , = n , m=3-n, = , = = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + , 当 = n = ，GH/BC时， 有最大值 。附：或 的另外两种证明方法的作图。方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。下面的图解也能说明问题：