九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性课件华东师大版20200325412.ppt
2.圆的对称性1.1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运并能运用其特有的性质推出在同一个圆中用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之圆心角、弧、弦之间的关系间的关系.2.2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力取知识的能力.问题：你知道赵州桥吗？它是问题：你知道赵州桥吗？它是1 3001 300多年前我国隋代建造多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m37.4 m，拱，拱高（弧的中点到弦的距离）为高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m7.2 m，你能求出赵州桥主，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？什么关系？解析：解析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.O O利用折叠的方法即可解决上述问题利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是旋转对称图形圆也是旋转对称图形.用旋转的方法可解决下面问题用旋转的方法可解决下面问题.将图将图1 1中的扇形中的扇形AOBAOB绕点绕点O O逆时针旋转某个角度，画出旋转逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？BBAA扇形扇形AOBAOB旋转到扇形旋转到扇形AOBAOB的位置，我们可以发现，的位置，我们可以发现，在旋转过程中，在旋转过程中，AOB=AOB=AOB,AB=ABAOB,AB=AB图图1 1A AB BO O图图2 2A AB BO O在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦相等.在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等所对的弦相等.在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等.AB AB =CD=CD 解：解：D DC CO OB BA A1 12 2例例1 1、如图，在、如图，在O O中，中，1 14545，求，求2 2的度数的度数.AC=BDAC=BD，2 21 14545AC=BDAC=BDACACBCBCBDBDBCBC 【例题例题】我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴直线都是它的对称轴.(1)(1)试一试，我们如何十分简捷地将一个圆试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2 2等分，等分，4 4等分，等分，8 8等分等分.O OO OO O(2)(2)动手操作，观察猜想动手操作，观察猜想.操作：操作：CDCD是圆是圆0 0的直径，过直的直径，过直径上任一点径上任一点E E作弦作弦ABCDABCD，将，将圆圆0 0沿沿CDCD对折，比较图中的线对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？段和弧，你有什么发现？猜想：猜想：AE=BE,AE=BE,AD=BD,AC=BCAD=BD,AC=BCA AB B O OC CD DE E (3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.求证：求证：AE=BE,AE=BE,AD=BD,AC=BCAD=BD,AC=BC 已知：在已知：在O O中，中，CDCD为直径，为直径，ABAB为弦，且为弦，且CDABCDAB于点于点E E，分析：分析：直径直径CDCD所在直线既是等所在直线既是等腰三角形腰三角形OABOAB的对称轴，又是的对称轴，又是O O的对称轴，把的对称轴，把O O沿直径沿直径CDCD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论.A AB BC CD DE O O垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧.题设题设结论结论平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦判断题：判断题：(1)(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3)O(3)O中，中，OEOE弦弦ABAB于于E E，则，则AE=BEAE=BE错错错错对对 A AB BC CD DE E(1)(1)A AB BC CD DE E(2)(2)O O A AB BE E(3)(3)O OO O【跟踪训练跟踪训练】【证明证明】连结连结AOAO、BOBO，AO=BOAO=BOAOBAOB为等腰三角形为等腰三角形AE=BEAE=BECDCDABABABABCDCD是直径，是直径，例例1 1、如图在、如图在O O中，直径中，直径CDCD交弦交弦ABAB于点于点E E，AE=BEAE=BE求证：求证：CDABCDAB，A AB B O OC CD DE E AD=BD,AC=BCAD=BD,AC=BC 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧于这条弦，并且平分弦所对的弧.AD=BD,AC=BCAD=BD,AC=BC 五个条件五个条件(1)(1)垂直于弦垂直于弦(2)(2)过圆心过圆心(3)(3)平分弦平分弦(4)(4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧(5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧规律规律知二知二推三推三【规律方法规律方法】例例2 2、已知：如图在、已知：如图在O O中，弦中，弦ABAB的长是的长是8 cm8 cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离的距离为为3cm3cm，求，求O O的半径的半径 o oA AB BE E解：解：连结连结OAOA，作，作OEABOEAB于于E E，则，则OE=3 cm,AE=BEOE=3 cm,AE=BEAB=8 cmAB=8 cmAE=4 cmAE=4 cm在在RtAOERtAOE中有中有OA=OA=5 =5（cmcm）O O的半径为的半径为5 cm5 cm解后指出：从例解后指出：从例2 2看出圆的半径看出圆的半径OAOA，圆，圆心到弦的垂线段心到弦的垂线段OEOE及半弦长及半弦长AEAE构成构成RtAOE.RtAOE.把垂径定理和勾股定理结合把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了起来，解决这类问题就显得很容易了.1.1.在圆中某弦长为在圆中某弦长为8cm8cm，圆的直径是，圆的直径是10cm10cm，则圆心到弦的距离是，则圆心到弦的距离是 cmcm2.2.在圆在圆O O中弦中弦CD=24CD=24，圆心到弦，圆心到弦CDCD的的距离为距离为5,5,则圆则圆O O的直径是的直径是 .3.3.如图，如图，ABAB为圆为圆O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于于E E，AE=16AE=16，BE=4,BE=4,则则CD=CD=.答案：答案：3 3答案：答案：2626答案：答案：1616 A AB BD DC CE EO O C CD DO OE EE E C CD DO O【跟踪训练跟踪训练】例例3 3 如图已知如图已知O O的直径为的直径为4 cm4 cm，弦，弦AB=cmAB=cm，求求OABOAB的度数的度数.解：解：过过O O作作ODABODAB于点于点D,D,则则AD=BDAD=BD AB=cm AB=cm AD=cm AD=cm O O的直径为的直径为4 cm 4 cm OA OA2 cm2 cm 在在RtOADRtOAD中中 cosOAB cosOAB =OABOAB3030你还有没有其他方法？你还有没有其他方法？o oA AB BD D1.1.（安徽（安徽中考）如中考）如图图，O O过过点点B B、C C，圆圆心心O O在等腰直在等腰直角角ABCABC的内部，的内部，BACBAC9090，OAOA1 1，BCBC6 6，则则O O的半径的半径为为（）【答案答案】D DB BC CD DA A2.2.（芜芜湖湖中考）如中考）如图图所示，在所示，在O O内有折内有折线线OABCOABC，其中，其中OAOA8 8，ABAB1212，A AB B6060，则则BCBC的的长为长为（）A.19 B.16 C.18 D.20A.19 B.16 C.18 D.20【答案答案】D D【答案答案】B B 3 3.（烟台（烟台中考）如中考）如图图，ABCABC内接于内接于O O，D D为线为线段段ABAB的的中点，延中点，延长长ODOD交交O O于点于点E E，连结连结AEAE，BEBE，则则下列五个下列五个结结论论ABDE,AE=BE,OD=DE,AEO=C,ABDE,AE=BE,OD=DE,AEO=C,正确结论的个数是（正确结论的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5AE=AE=C CB BE E0A AD D4.4.（湖州（湖州中考）如中考）如图图，已知，已知O O的直径的直径ABAB弦弦CDCD于点于点E E，下列，下列结论结论中一定正确的是（中一定正确的是（）A.AE=OE A.AE=OE B.CE=DEB.CE=DEC.OE=CE C.OE=CE D.AOC=60D.AOC=60【答案答案】B B5.5.（潍潍坊坊中考）如中考）如图图，ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OCABOCAB于于D D点，点，且且ABAB6 cm6 cm，ODOD4 cm4 cm，则则DCDC的的长为长为（）A.5 cm A.5 cm B.2.5 cm B.2.5 cmC.2 cmC.2 cm D.1cm D.1cm【答案答案】D D 【规律方法规律方法】运用垂径定理及推论解决一些数学问题，运用垂径定理及推论解决一些数学问题，最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径，及过最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题问题.1.1.对垂径定理的理解对垂径定理的理解(1)(1)证明定理的方法是典型的证明定理的方法是典型的“叠合法叠合法”(2)(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在中在“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”上上.圆、弦又关于直径所在的直圆、弦又关于直径所在的直线对称线对称.2.2.关于垂径定理的运用关于垂径定理的运用(1)(1)辅助线的常用作法辅助线的常用作法(2)(2)注意把问题化为解直角三角形的问题注意把问题化为解直角三角形的问题从来没有人读书，只有人在书中读自己，发现自己或检查自己.罗曼罗兰
