习题72定积分的基本性质.doc

习 题 7.2 定积分的基本性质1 设在上可积，在上定义，且在中除了有限个点之外，都有，证明在上也可积，并且有。证 设仅在处。对区间作划分：，任取，则，其中表示仅对含有中点的小区间（至多个）求和。 记, 取，则当 时, ,所以由可积, 可知也可积, 且成立 。2设和在上都可积，请举例说明一般有 。解 例如，则，,所以 。3 证明：对任意实数，只要，和都存在，就成立。 证 如设，则 ，于是 =。 其他情形可类推。4判断下列积分的大小： 和 ； 和 ； 和 ； 和 。解（1）当时，所以 >。 （2）当时，所以 。 （3）当时，而当时，由积分第一中值定理，可得 。 （4）当时，所以 。5设在上连续，但不恒为0，证明。证 证明一：不妨设。由，存在与，使得当时，成立。于是。,或的情况可类似证明。证明二：用反证法。若，则。由于在上可导，且，所以有，与题设矛盾，从而必定成立。6设在上连续，且，证明在上恒为0。证 由在上连续，可知在上连续，且。由上题即可得到结论。7设函数在上连续，在内可导，且满足。证明：存在，使得。证 由积分第一中值定理， 使得，再对在上应用Rolle定理，使得。8设在上连续，在上二阶可导，且。证明。证 将区间作划分：，记。由于下凸，由Jensen不等式（第5.1节习题24）,得到 ，令，上述不等式就转化为 。9设在上连续，且单调减少，证明对任意，成立。证 证明一：问题等价于证明对任意，成立。对不等式两端应用积分第一中值定理，则存在及，使得=及。由于显然有，所以得到。证明二：设，则。由积分第一中值定理，使得，即。由于单调减少，所以当时，即单调增加；当时，即单调减少。由，即可得到成立 。 证明三：当时，不等式显然成立。当时，令，利用单调减少，就得到。10（Young不等式）设是上严格单调增加的连续函数，且，记它的反函数为。证明 （）。证 先证当时等号成立。将区间作划分：，记，则 ，再记 ，于是 ，记 ，当时，的极限为 ，这就证明了当时， 。在一般情况下，设，则 。记，可知当时，单调减少，当时，单调增加，所以在处取到最小值。由上面的讨论，可知最小值，从而，这就是所要证明的。注 当时，的结论也可直接从几何图形上看出。11 证明定积分的连续性：设函数和在上可积，则有。证 由于在上可积，可知存在，使得在上可积。设。由于在上可积，存在对区间等分的划分，使得当时，成立 ，其中。另外，当时，记分别是在区间和上的振幅，则，。因为，且当时，由，可知，其中，从而有，于是 ，所以。12设和在上都可积，证明不等式(1) （Schwarz不等式）；(2) （Minkowski不等式）。 证（1）由于对任意的，积分，即所以其判别式恒为非正的，也就是成立 ；（2）由，得到，即，两边开平方，即得到 。13设和在上连续，且，证明。证 因为在上，所以有。记，不妨设（因为时等式显然成立）。 由, 可知 ，使得，且当时，成立 ，于是。由于当时，所以，当时，成立与， 从而当时，成立 ，即，所以。