函数一致连续性问题的思考-山晓东.doc

函数一致连续性问题的思考山晓东(包头师范学院数学系)摘要 函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质。本文进一步分析了一致连续的本质意义以及一致连续性的运算法则的讨论。关键词 连续，一致连续1 定义设函数在区间I连续，函数在点连续。根据连续定义：（满足连续定义的有无限多，取较大者）有.Y从连续的定义不难看出，的大小，一方面与给定的有关；另一方面与点的位置也有关，也就是说当暂时固定时，因为点的位置不同，的大小也不同，如下图： X 当暂时固定时,在点附近函数图像较“缓”对应的较大，在点附近函数图像较“陡”对应的较小。于是当暂时固定时有成立。对于无限多个，存在无限多个，那么无限多个中是否存在最小的呢？一般说来，区间上的连续函数并不具有这种性质：对对区间上的任意一点，存在共同的即最小的使得点适合于连续性定义的要求。就是说这是一种不同于连续性的新的性质，这种新的性质叫做一致连续性。设函数在区间I上有定义，若对使对区间上的任意一点，当时恒有成立，则称函数在区间I上一致连续。这里，哪个是哪个是，显然是无关紧要的。因此我们不加区分，而用来表示它们。这就是我们常见的一致连续性定义。定义： 设函数在区间I上有定义，若对对区间I上的任意两点只要就有成立，则称函数在区间I上一致连续。2 一致连续的条件有了一致连续的定义，我们便可以考察满足什么条件的连续函数在其定义域上是一致连续的。最常见的莫过于闭区间上的连续函数了，我们有以下定理：定理1：若函数在连续，则函数在一致连续。下面我们把条件逐步减弱看有什么结果2.1 有限区间上的连续函数的一致连续性的讨论。由于在（0,1）非一致连续，证明如下：有 这说明并非所有的有限区间上的连续函数都一致连续。那么需要满足什么条件才能一致连续呢？如下图：Y0 X函数在（0,1）非一致连续的原因在于函数图像曲线在原点附近太“陡峭”了，以至于对于充分靠近原点的x没有通用的，那么是否函数在区间端点附近的图像“不太陡峭”（函数端点的极限存在）函数在其定义域就一致连续了吗？我们有如下定理：定理2：函数在一致连续的充要条件为在连续且与都存在。类似的可得如下结论：定理3：函数在上一致连续的充要条件是在上连续且存在。定理4：函数在 上一致连续的充要条件是在上连续且存在。2.2无穷区间上的连续函数的一致连续性的讨论。前面在有限开区间的讨论可知，若函数在区间内部连续，在区间端点极限存在，则函数在开区间一致连续，在无穷区间上有如下定理：定理5：函数在R内一致连续的充分条件是在R内连续且与 都存在。同理有：定理6：函数在内一致连续的充分条件是在内连续且与都存在。定理7：函数在内一致连续的充分条件是在内连续且存在。定理8：函数在内一致连续的充分条件是在内连续且与都存在。定理9：函数在内一致连续的充分条件是在内连续且存在。注：定理59的条件都是充分条件，因为当函数在区间内部连续，在端点的极限不存在时，也存在在此区间上一致连续的函数。如y=x 与y=sinx都是端点的极限不存在，并且在R一致连续的函数。下面仅证明y=sinx在R的一致连续性。证明： 时要使得： 成立，只需即可。 本题得证那么这两个函数在区间R上满足一致连续的根本原因又在哪呢？判断函数在某一区间上是否一致连续的关键是看其是否存在使得在区间上任何一点都适用的通用的，而是否存在通用的与函数图像曲线在此区间上是否“陡峭”紧密相连，所谓曲线“陡峭”是指函数图像变化较快，也就是函数在这一区间的切线的斜率（）越来越大，即随着点的变化当切线逐渐垂直于x轴（）时，函数不存在通用的。分析以上两个函数y=x 与y=sinx，函数y=x在R一致连续是因为其函数图像曲线在R上“不陡峭” 即存在，是有限数，而y=sinx在R一致连续是因为有界，所以其函数图像在R上“不陡峭”综合以上可得如下定理：定理10：若函数在R上连续且在R上有界，则函数在区间R上一致连续。证明：只要能找到满足时，有即可 由于函数在R连续且可导，所以在连续而且在可导,满足拉格朗日定理的条件。所以又因为函数有界,所以要满足同理有如下结论：定理11：若函数在任意区间I上连续，且在区间I上有界，则函数在区间I上一致连续。注：定理10与定理11的条件都是函数在区间上一致连续的充分条件，而不是必要条件。例如函数在一致连续，但是，其导数在却无界。但是“在无穷区间上有界”却是“函数在无穷区间上一致连续”的充要条件。为证明这个结论，我们先看下面的引理：引理1：若在上一致连续，则存在正数与使得 证明：由题设知，对任意的，存在当 且 时有现在对任意充分大的，我们总可以取，使得x有表达式： ，为正整数。注意到在上有界，不妨设为从而有所以 令即得所证。引理2：如果存在正数与使得 ，成立，则存在。证明：（反证法）假设不存在即（关于且极限不存在的其他情况因能力有限暂时不与考虑）当时设 则由于所以存在点使得时所以在单调递增，因此存在使得对任意的点有，即 ，矛盾。 所以结论成立。同理可知时结论成立。 本题得证由以上两个引理可得结论1：函数在无穷区间上一致连续的充要条件是在无穷区间上有界。3 一致连续的运算3.1区间I上的一致连续函数那么在区间I一致连续吗？分析： 由于函数在区间I一致连续，所以当时，有所以一致连续。因此有如下定理定理12：设与都区在间I上一致连续，则在区间I上一致连续。同理有如下定理：定理13：设与都在区间I上一致连续，则在区间I上一致连续。3.2区间I上一致连续的函数与的乘积在区间I上一致连续吗？分析： 由于函数分别在I上一致连续所以：当时，有 所以 发现：当与都在区间I上有界时，函数在区间I上一致连续。可得如下定理：定理14：设与都在区间I上一致连续且有界，则函数在区间I上一致连续。由于有限区间上的一致连续函数必然有界，可得如下相应定理定理15：设与都在有限区间I上一致连续，则函数在区间I上一致连续。注：定理14与定理15都是充分条件而不是必要条件，如：都在R上一致连续，在R无界，但是在R也一致连续。3.3讨论区间I上的一致连续函数的倒数在其定义域上的一致连续性。分析： =由在区间I的一致连续性得： 有所以： 发现，当有界时，即时，函数在其定义域上一致连续。 得到如下定理定理16：设在区间I上一致连续且存在，使得对任意的有成立，则函数在其定义域上一致连续。综合定理15与定理16可得定理17：设与都在区间I上一致连续，且区间I上有界，且存在，使得对任意的有，则在区间I一致连续。3.4关于一致连续函数的复合函数的一致连续性，有如下定理定理18：设在区间U上一致连续，而在区间I上一致连续,且的值域是U的子集，则复合函数在区间I上一致连续。证明：对任意在区间U上一致连续，可知存时有 成立。对于这个，再由在区间I上一致连续可得使得当时，有且从而有成立，则复合函数在区间I上一致连续。3.5 一致连续函数的反函数的一致连续性。由于反函数仍然是一个函数，只是其函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。所以我们仍然可以采取前面讨论一致连续的条件的方法。 闭区间上的一致连续函数的反函数仍然一致连续。证明：因为在区间一致连续，不妨设，由于具有反函数的函数必然单调在区间连续。有定理1可得：在区间一致连续。 开区间上的一致连续函数的反函数一致连续。证明： 在区间一致连续，与存在，不妨分别设为A与B。存在反函数的函数必然单调，所以不妨设。在开区间有定义，且由定理2可得：在开区间一致连。综合以上两个结论可得结论2：有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。 我们讨论无穷区间上的一致连续函数的反函数的一致连续性。 由于无穷区间有如下五中情况： 因此我们主要讨论最有代表性的区间（）上的情况，其余四种情况可以类似得出相应结论。由前面一致连续的条件的讨论可知区间上的一致连续函数可以分为两类。第一类： 与都存在，不妨设=A, =B。存在反函数的函数必然单调，所以不妨设。在开区间有定义，且所以有结论3：函数在区间上一致连续，如果存在，则函数的反函数不一致连续。为帮助理解上面的结论，举例如下：例：在一致连续，且所以其反函数在不一致连续。第二类：存在而不存在时，不存在有两种情形，一种是x趋向于无穷时，函数的图像上下波动，函数的变化趋势不确定而造成无极限。由于具有反函数的函数必然单调，所以此种情况可排除，仅讨论第二种情况即此时函数满足存在(由结论1可得)，即有界。根据法则：反函数的导数等于原函数导数的倒数。当时，可设所以因此有如下结论：结论4：若无穷区间上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限 则其反函数在无穷区间上不一致连续。若则其反函数在无穷区间上一致连续。为帮助理解上面的结论.举例如下：在区间不一致连续，（因为）所以其反函数在区间一致连续。参考文献1 刘玉琏，傅沛仁 1992 数学分析讲义（上册） 高等教育出版社2 吕通庆 1982 一致连续与一致收敛 人民教育出版社3 周民强 2002 数学分析 上海科学技术出版社4 李长明 1987 导数与微分 贵州人民出版社5 Gabriel Klambauer 1981 数学分析 湖南教育出版社