中考专项复习一元二次方程.ppt

第八讲一元二次方程 一元二次方程一元二次方程1.1.定定义义:只含有只含有_个未知数个未知数,并且未知数的最高次数并且未知数的最高次数为为_的的_方程方程.2.2.一般形式一般形式:_:_一一2 2整式整式axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)3.3.解法解法:(1)(1)一般思路一般思路:一元二次方程一元二次方程 一元一元_次方程次方程.一一(2)(2)方法方法:解法解法形式形式方程的根方程的根直接开直接开平方法平方法x x2 2=p(p0)=p(p0)x=x=(mx+n)(mx+n)2 2=p(p0,m0)=p(p0,m0)x=x=解法解法形式形式方程的根方程的根配方配方法法(x-m)(x-m)2 2=n(n0)=n(n0)x=x=公式公式法法axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0,b(a0,b2 2-4ac0)-4ac0)x=x=因式因式分解分解法法(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)=0)=0_x=xx=x1 1或或x x2 24.4.根的判根的判别别式式:(1)(1)一元二次方程根的判一元二次方程根的判别别式式为为=_=_(2)(2)判判别别式与方程根的关系式与方程根的关系:=b=b2 2-4ac0-4ac0方程方程_的的实实数根数根.=b=b2 2-4ac=0-4ac=0方程方程_的的实实数根数根.=b=b2 2-4ac0-4ac0方程方程_实实数根数根.b b2 2-4ac-4ac有两个不相等有两个不相等有两个相等有两个相等没有没有5 5、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系如果方程如果方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个的两个实实数根是数根是x x1 1,x,x2 2,那么那么x x1 1+x+x2 2=,x,x1 1xx2 2=.6.6.应应用用:(1)(1)增增长长(降低降低)率率问题问题.(2)(2)图图形面形面积问题积问题.(3)(3)利利润问题润问题.【自我【自我诊诊断】断】(打打“”“”或或“”)“”)1.mx1.mx2 2+3x-5=0+3x-5=0是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程.()()2.2.一元二次方程一元二次方程3x3x2 2=5x+1=5x+1的一次的一次项项系数系数为为5.5.()()3.3.若若x=0 x=0是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程(k-2)x(k-2)x2 2+3x+k+3x+k2 2-4=0-4=0的一个根的一个根,则则k=2.k=2.()()4.4.一元二次方程一元二次方程2x2x2 2-2 x+1=0-2 x+1=0有一个有一个实实数根数根.()()5.5.一元二次方程一元二次方程(x+2)(x+2)2 2=5=5的解的解为为x=-2.x=-2.()()6.6.若一元二次方程若一元二次方程3x3x2 2-5x-2=0-5x-2=0的两个根分的两个根分别为别为x x1 1,x,x2 2,则则x x1 1+x+x2 2=-.=-.()()7.7.三个三个连续连续整数的平方和整数的平方和为为50,50,则这则这三个三个连续连续整数整数为为3,4,5.3,4,5.()()考点一考点一 一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念【例【例1 1】(1)(2016(1)(2016泰州中考泰州中考)方程方程2x-4=02x-4=0的解也是关于的解也是关于x x的方程的方程x x2 2+mx+2=0+mx+2=0的一个解的一个解,则则m m的的值为值为_._.(2)(2016(2)(2016达州中考达州中考)设设m,nm,n分分别为别为一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x-+2x-2018=02018=0的两个的两个实实数根数根,则则m m2 2+3m+n=_.+3m+n=_.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610410716104107【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)解一次方程解一次方程,得得x x的值的值,再代入求再代入求m.m.(2)(2)应用应用m m2 2+2m-2018=0+2m-2018=0降次后应用根与系数的关系得到降次后应用根与系数的关系得到m+nm+n的值的值,整体代入求解整体代入求解.【自主解答】【自主解答】(1)(1)由由2x-4=0,2x-4=0,解得解得x=2,x=2,把把x=2x=2代入方程代入方程x x2 2+mx+2=0+mx+2=0得得4+2m+2=0,4+2m+2=0,解得解得m=-3.m=-3.答案答案:-3-3(2)m,n(2)m,n是是x x2 2+2x-2018=0+2x-2018=0的根的根,m,m2 2+2m-2018=0,+2m-2018=0,m m2 2+2m=2018,+2m=2018,由根与系数的关系得由根与系数的关系得m+n=-2m+n=-2mm2 2+3m+n=m+3m+n=m2 2+2m+m+n=2018-2=2016.+2m+m+n=2018-2=2016.答案答案:20162016【名【名师师点津】点津】已知方程的根求与未知数有关的代数式已知方程的根求与未知数有关的代数式的的值值已知一根已知一根直接代入原方程直接代入原方程,得到一个关于未得到一个关于未知系数知系数(参数参数)的方程的方程,解方程求出解方程求出未知系数的未知系数的值值已知两根已知两根把两个根直接代入原方程把两个根直接代入原方程,列出关列出关于未知系数的方程于未知系数的方程组组,解方程解方程组组,求求出未知系数出未知系数利用根与系数的关系求解利用根与系数的关系求解 【题组过题组过关】关】1.(20171.(2017威海中考威海中考)若若1-1-是方程是方程x x2 2-2x+c=0-2x+c=0的一个的一个根根,则则c c的的值为值为()A.-2A.-2B.4 -2B.4 -2C.3-C.3-D.1+D.1+【解析】【解析】选选A.1-A.1-是方程是方程x x2 2-2x+c=0-2x+c=0的一个根的一个根,(1-)(1-)2 2-2(1-)+c=0,-2(1-)+c=0,1-2 +3-2+2 +c=0,1-2 +3-2+2 +c=0,2+c=0,c=-2.2+c=0,c=-2.2.(20162.(2016包包头头中考中考)若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+(m+1)x+=0+(m+1)x+=0的一个的一个实实数根的倒数恰是它本身数根的倒数恰是它本身,则则m m的的值值是是()世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610410816104108 【解析】【解析】选选C.C.原方程的一个实数根的倒数恰是它本原方程的一个实数根的倒数恰是它本身身,则该实根为则该实根为1 1或或-1,-1,若是若是1,1,则则1+m+1+=0,1+m+1+=0,解得解得m=-;m=-;若是若是-1,-1,则则m=.m=.3.(20173.(2017新疆生新疆生产产建建设设兵兵团团中考中考)已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+x-a=0+x-a=0的一个根的一个根为为2,2,则则另一个根是另一个根是()A.-3A.-3B.-2B.-2C.3C.3D.6D.6【解析】【解析】选选A.A.设方程的另一个根为设方程的另一个根为t,t,根据题意得根据题意得2+t=-1,2+t=-1,解得解得t=-3,t=-3,即方程的另一个根是即方程的另一个根是-3.-3.4.(20164.(2016菏菏泽泽中考中考)已知已知m m是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的的一个根一个根,则则2m2m2 2-4m=_.-4m=_.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610410916104109【解析】【解析】mm是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的一个根的一个根,mm2 2-2m-3=0,m-2m-3=0,m2 2-2m=3,2m-2m=3,2m2 2-4m=6.-4m=6.答案答案:6 6考点二考点二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法【例【例2 2】(1)(2017(1)(2017丽丽水中考水中考)解方程解方程:(x-3)(x-1)=3.(x-3)(x-1)=3.(2)(2017(2)(2017兰兰州中考州中考)解方程解方程:2x2x2 2-4x-1=0.-4x-1=0.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)将方程整理后利用因式分解法求解将方程整理后利用因式分解法求解.(2)(2)用配方法或公式法求解用配方法或公式法求解.【自主解答】【自主解答】(1)(1)方程化为方程化为x x2 2-4x=0,-4x=0,x(x-4)=0,x(x-4)=0,所以所以x x1 1=0,x=0,x2 2=4.=4.(2)2x(2)2x2 2-4x-1=0,-4x-1=0,x x2 2-2x-=0,-2x-=0,(x-1)(x-1)2 2=,=,x-1=,x-1=,x=1 .x=1 .xx1 1=1+,x=1+,x2 2=1-.=1-.【名【名师师点津】点津】一元二次方程解法的一元二次方程解法的选择选择(1)(1)直接开平方法适用情况直接开平方法适用情况:当方程缺少一次当方程缺少一次项时项时,即方程即方程axax2 2+c=0(a0,ac0);+c=0(a0,ac0,-42(-72)=6250,所以所以x=x=即即x x1 1=,x=,x2 2=-8.=-8.答案答案:或或-8-8 【题组过题组过关】关】1.(20171.(2017南京中考南京中考)若方程若方程 =19 =19的两根的两根为为a a和和b,b,且且ab,ab,则则下列下列结论结论中正确的是中正确的是()世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411016104110A.aA.a是是1919的算的算术术平方根平方根B.bB.b是是1919的平方根的平方根C.a-5C.a-5是是1919的算的算术术平方根平方根D.b+5D.b+5是是1919的平方根的平方根【解析】【解析】选选C.C.因为若方程因为若方程 =19 =19的两根为的两根为a a和和b,b,且且ab,ab,所以所以a-5a-5与与b-5b-5是是1919的平方根的平方根,所以只有所以只有C C正确正确.2.(20172.(2017泰安中考泰安中考)一元二次方程一元二次方程x x2 2-6x-6=0-6x-6=0配方后化配方后化为为()A.(x-3)A.(x-3)2 2=15=15B.(x-3)B.(x-3)2 2=3=3C.(x+3)C.(x+3)2 2=15=15D.(x+3)D.(x+3)2 2=3=3【解析】【解析】选选A.A.根据配方的步骤根据配方的步骤:第一步移项得第一步移项得x x2 2-6x=6;-6x=6;第二步配方第二步配方,方程的左右两边都加上一次项系数一方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方半的平方,x,x2 2-6x+9=6+9;-6x+9=6+9;第三步整理第三步整理 =15.=15.3.(20173.(2017温州中考温州中考)我我们们知道方程知道方程x x2 2+2x-3=0+2x-3=0的解是的解是x x1 1=1,x=1,x2 2=-3,=-3,现给现给出另一个方程出另一个方程(2x+3)(2x+3)2 2+2(2x+3)-3=0,+2(2x+3)-3=0,它的解是它的解是A.xA.x1 1=1,x=1,x2 2=3=3B.xB.x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-3C.xC.x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3D.xD.x1 1=-1,x=-1,x2 2=-3=-3【解析】【解析】选选D.D.由题意可得由题意可得:2x+3=1:2x+3=1或或-3,-3,解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=-3.=-3.4.(20174.(2017德州中考德州中考)方程方程3x(x-1)=2(x-1)3x(x-1)=2(x-1)的根的根为为_._.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411116104111【解析】【解析】当当x-1=0 x-1=0时时,即即x=1,x=1,方程两边均为方程两边均为0,0,即即x=1x=1是原方程的根是原方程的根;当当x-10 x-10时时,方程两边同除以方程两边同除以x-1,x-1,得得3x=2,3x=2,解得解得x=.x=.综上可知综上可知,原方程的根为原方程的根为x=1x=1或或x=.x=.答案答案:1 1或或 5.(20165.(2016兰兰州中考州中考)解方程解方程:2y:2y2 2+4y=y+2.+4y=y+2.【解析】【解析】2y2y2 2+4y=y+2,+4y=y+2,2y2y2 2+3y-2=0,+3y-2=0,yy2 2+y=1,+y=1,考点三考点三 一元二次方程根的判一元二次方程根的判别别式及其式及其应应用用【例【例3 3】(2016(2016白白银银中考中考)已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+mx+m-+mx+m-2=0.2=0.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411216104112(1)(1)若此方程的一个根若此方程的一个根为为1,1,求求m m的的值值.(2)(2)求求证证:不不论论m m取何取何实实数数,此方程都有两个不相等的此方程都有两个不相等的实实数数根根.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)把把x=1x=1代入原方程代入原方程 消去消去x x 关于关于m m的方程的方程 求解求解 结论结论.(2)(2)证明根的判别式大于证明根的判别式大于0.0.【自主解答】【自主解答】(1)(1)根据题意根据题意,将将x=1x=1代入方程代入方程x x2 2+mx+m-2=0,+mx+m-2=0,得得1+m+m-2=0,1+m+m-2=0,解得解得m=.m=.(2)=m(2)=m2 2-41(m-2)-41(m-2)=m=m2 2-4m+8=(m-2)-4m+8=(m-2)2 2+40,+40,不论不论m m取何实数取何实数,该方程都有两个不相等的实数根该方程都有两个不相等的实数根.【名【名师师点津】点津】根的判根的判别别式的三个式的三个应应用用(1)(1)不解方程不解方程,直接判断一元二次方程根的情况直接判断一元二次方程根的情况.(2)(2)根据方程根的情况根据方程根的情况,确定某个未知系数的确定某个未知系数的值值(或范或范围围).).(3)(3)证证明一个一元二次方程根的情况明一个一元二次方程根的情况.【题组过题组过关】关】1.(20171.(2017宜宜宾宾中考中考)一元二次方程一元二次方程4x4x2 2-2x+=0-2x+=0的根的根的情况是的情况是()A.A.有两个不相等的有两个不相等的实实数根数根B.B.有两个相等的有两个相等的实实数根数根C.C.没有没有实实数根数根 D.D.无法判断无法判断【解析】【解析】选选B.B.根的判别式可表示为根的判别式可表示为b b2 2-4ac,-4ac,在这个方在这个方程中程中a=4,b=-2,c=,ba=4,b=-2,c=,b2 2-4ac=(-2)-4ac=(-2)2 2-44 =0,-44 =0,故此方程有两个相等的实数根故此方程有两个相等的实数根.2.(20172.(2017益阳中考益阳中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根的两根为为x x1 1=1,x=1,x2 2=-1,=-1,那么下列那么下列结论结论一定成立的是一定成立的是()世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411316104113A.bA.b2 2-4ac0-4ac0B.bB.b2 2-4ac=0-4ac=0C.bC.b2 2-4ac0-4ac0.4ac0.3.(20173.(2017咸宁中考咸宁中考)已知已知a,b,ca,b,c为为常数常数,点点P(a,c)P(a,c)在在第二象限第二象限,则则关于关于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的情况是根的情况是 ()A.A.有两个相等的有两个相等的实实数根数根B.B.有两个不相等的有两个不相等的实实数根数根C.C.没有没有实实数根数根D.D.无法判断无法判断【解析】【解析】选选B.B.点点P(a,c)P(a,c)在第二象限在第二象限,ac0,a0,=bac0,-4ac0,故原方程有两个不相故原方程有两个不相等的实数根等的实数根.4.(20174.(2017攀枝花中考攀枝花中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x(m-1)x2 2-2x-1=02x-1=0有两个有两个实实数根数根,则实则实数数m m的取的取值值范范围围是是()世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411416104114A.m0A.m0B.m0B.m0C.m0C.m0且且m1m1D.m0D.m0且且m1m1【解析】【解析】选选C.C.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x(m-1)x2 2-2x-1=-2x-1=0 0有两个实数根有两个实数根,m-10,m-10且且0,0,即即2 22 2-4(m-1)-4(m-1)(-1)0,(-1)0,解得解得m0,mm0,m的取值范围是的取值范围是m0m0且且m1.m1.【变变式式训练训练】(2016(2016抚顺抚顺中考中考)若关于若关于x x的一元二次方的一元二次方程程(a-1)x(a-1)x2 2-x+1=0-x+1=0有有实实数根数根,则则a a的取的取值值范范围为围为_._.【解析】【解析】一元二次方程一元二次方程(a-1)x(a-1)x2 2-x+1=0-x+1=0有实数根有实数根,a-10a-10即即a1,a1,且且0,0,即有即有=(-1)=(-1)2 2-4(a-1)1=5-4a0,-4(a-1)1=5-4a0,解得解得a ,a ,aa的取值范围是的取值范围是a a 且且a1.a1.答案答案:a a 且且a1a1考点四考点四 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系【例【例4 4】(1)(2017(1)(2017内江中考内江中考)设设,是方程是方程(x+1)(x-(x+1)(x-4)=-54)=-5的两的两实实数根数根,则则 =_.=_.(2)(2017(2)(2017鄂州中考鄂州中考)关于关于x x的方程的方程x x2 2-(2k-1)x+k-(2k-1)x+k2 2-2k-2k+3=0+3=0有两个不相等的有两个不相等的实实数根数根.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411516104115求求实实数数k k的取的取值值范范围围.设设方程的两个方程的两个实实数根分数根分别为别为x x1 1,x,x2 2,存不存在存不存在这样这样的的实实数数k,k,使得使得|x|x1 1|-|x|-|x2 2|=?|=?若存在若存在,求出求出这样这样的的k k值值;若不存在若不存在,说说明理由明理由.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)将方程整理为一般形式将方程整理为一般形式求出求出+和和通分通分 用用+和和表示表示结果结果.(2)(2)原方程有两个不等实根原方程有两个不等实根0k0k的范围的范围.将将|x|x1 1|-|x|-|x2 2|=|=去掉绝对值去掉绝对值两边平方两边平方得关于得关于k k的方程的方程kk的值的值.【自主解答】【自主解答】(1)(1)原方程可化为原方程可化为:x:x2 2-3x+1=0,-3x+1=0,则则+=3,=1,+=3,=1,则则=答案答案:4747(2)(2)根据题意根据题意,得得b b2 2-4ac0.-4ac0.-41(k -41(k2 2-2k+3)0.-2k+3)0.解得解得k ,k ,即实数即实数k k的取值范围是的取值范围是k .k .存在存在.由根与系数的关系由根与系数的关系,得得x x1 1+x+x2 2=2k-1,x=2k-1,x1 1x x2 2=k=k2 2-2k+3.-2k+3.kk2 2-2k+3=(k-1)-2k+3=(k-1)2 2+20,+20,即即x x1 1x x2 20,0,xx1 1,x,x2 2同号同号.xx1 1+x+x2 2=2k-1,k ,=2k-1,k ,xx1 1+x+x2 20.0.xx1 10,x0,x2 20.0.|x|x1 1|-|x|-|x2 2|=,|=,xx1 1-x-x2 2=.=.(x(x1 1-x-x2 2)2 2=5,=5,即即(x(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2=5.=5.(2k-1)(2k-1)2 2-4(k-4(k2 2-2k+3)=5.-2k+3)=5.解得解得k=4.k=4.k ,k ,kk的值为的值为4.4.【名【名师师点津】点津】1.1.利用根与系数的关系的两个前提条件利用根与系数的关系的两个前提条件(1)(1)二次二次项项的系数的系数a0.a0.(2)(2)方程有方程有实实数根数根.2.2.根与系数关系的三个根与系数关系的三个应应用用(1)(1)已知方程的一根求另一根及未知的一个系数已知方程的一根求另一根及未知的一个系数.(2)(2)求某些固定代数式的求某些固定代数式的值值.(3)(3)与根的判与根的判别别式式综综合运用合运用.【题组过题组过关】关】1.(20171.(2017呼和浩特中考呼和浩特中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+x+a-1=0 x+a-1=0的两个的两个实实数根互数根互为为相反数相反数,则则a a的的值为值为世世纪纪金金榜榜导导学号学号16104116(16104116()A.2A.2B.0B.0C.1C.1D.2D.2或或0 0【解析】【解析】选选B.B.根据根据“根与系数的关系根与系数的关系”x”x1 1+x+x2 2=,=,-(a-(a2 2-2a)=0,-2a)=0,解得解得:a:a1 1=0,a=0,a2 2=2(=2(舍去舍去),),当当a=2a=2时时,原方程为原方程为x x2 2+1=0+1=0是无解的是无解的.2.(20172.(2017绵绵阳中考阳中考)关于关于x x的方程的方程2x2x2 2+mx+n=0+mx+n=0的两个根的两个根是是-2-2和和1,1,则则n nm m的的值为值为()A.-8A.-8B.8B.8C.16C.16D.-16D.-16【解析】【解析】选选C.C.关于关于x x的方程的方程2x2x2 2+m+n=0+m+n=0的两个根是的两个根是-2-2和和1,1,m=2,n=-4,nm=2,n=-4,nm m=(-4)=(-4)2 2=16.=16.3.(20173.(2017泰州中考泰州中考)方程方程2x2x2 2+3x-1=0+3x-1=0的两个根的两个根为为x x1 1,x,x2 2,则则 的的值值等于等于_._.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411716104117【解析】【解析】根据根与系数的关系可知根据根与系数的关系可知,答案答案:3 34.(20174.(2017荆门荆门中考中考)已知方程已知方程x x2 2+5x+1=0+5x+1=0的两个的两个实实数数根分根分别为别为x x1 1,x,x2 2,则则 =_.=_.【解析】【解析】由根与系数的关系由根与系数的关系,得得x x1 1+x+x2 2=-5,x=-5,x1 1x x2 2=1.=1.=(x =(x1 1+x+x2 2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=(-5)=(-5)2 2-21=25-2=23.-21=25-2=23.答案答案:2323【知【知识识拓展】拓展】根与系数关系常根与系数关系常见见的五种恒等的五种恒等变变形形【变变式式训练训练】(2016(2016眉山中考眉山中考)设设m,nm,n是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+2x-7=0+2x-7=0的两个根的两个根,则则m m2 2+3m+n=_.+3m+n=_.【解析】【解析】m,nm,n是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+2x-7=0+2x-7=0的两个根的两个根,m+n=-2.m+n=-2.mm是原方程的根是原方程的根,mm2 2+2m-7=0,+2m-7=0,即即m m2 2+2m=7,+2m=7,mm2 2+3m+n=m+3m+n=m2 2+2m+m+n=7-2=5.+2m+m+n=7-2=5.答案答案:5 55.(20175.(2017南充中考南充中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(m-3)x-m=0.(m-3)x-m=0.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411816104118(1)(1)求求证证:方程有两个不相等的方程有两个不相等的实实数根数根.(2)(2)如果方程的两如果方程的两实实数根数根为为x x1 1,x,x2 2,且且 -x -x1 1x x2 2=7,=7,求求m m的的值值.【解析】【解析】(1)=-(m-3)(1)=-(m-3)2 2-41(-m)-41(-m)=m=m2 2-2m+9=(m-1)-2m+9=(m-1)2 2+80.+80.原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数根.(2)(2)根据一元二次方程根与系数的关系根据一元二次方程根与系数的关系,得得x x1 1+x+x2 2=m-3,x=m-3,x1 1x x2 2=-m.=-m.-x -x1 1x x2 2=7,(x=7,(x1 1+x+x2 2)2 2-3x-3x1 1x x2 2=7.=7.(m-3)(m-3)2 2-3(-m)=7.-3(-m)=7.解得解得m m1 1=1,m=1,m2 2=2.=2.mm的值为的值为1 1或或2.2.考点五考点五 一元二次方程的一元二次方程的应应用用 【考情分析】【考情分析】一元二次方程的一元二次方程的应应用用层级为层级为能列一元二次方程解能列一元二次方程解决决实际问题实际问题,在各地中考中均有体在各地中考中均有体现现,是一元二次方程是一元二次方程中的一个重要考向中的一个重要考向,主要考主要考查查点有平均增点有平均增长长(降低降低)率率问问题题、几何、几何图图形面形面积问题积问题、商品利、商品利润问题润问题等等.命命题题角度角度1:1:平均增平均增长长(降低降低)率率问题问题【例【例5 5】(2017(2017烟台中考烟台中考)今年今年,我市某中学响我市某中学响应习总书应习总书记记“足球足球进进校园校园”的号召的号召,开开设设了了“足球大足球大课间课间”活活动动.现现需要需要购进购进100100个某品牌的足球供学生使用个某品牌的足球供学生使用.经调查经调查,该该品品牌足球牌足球20152015年年单单价价为为200200元元,2017,2017年年单单价价为为162162元元.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610411916104119(1)(1)求求20152015年到年到20172017年年该该品牌足球品牌足球单单价平均每年降低的价平均每年降低的百分率百分率.(2)(2)选购选购期期间发现该间发现该品牌足球在两个文体用品商品牌足球在两个文体用品商场场有不有不同的促同的促销销方案方案:试问试问去哪个商去哪个商场购买场购买足球更足球更优优惠惠?【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据根据“2015“2015的单价的单价(1-(1-降低的百分降低的百分率率)2 2=2017=2017的单价的单价”列方程求解列方程求解.(2)(2)分别计算两个商场的总收费分别计算两个商场的总收费,作出判断作出判断.【自主解答】【自主解答】(1)(1)设该品牌足球单价平均每年降低的设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为百分率为x.x.根据题意根据题意,得得200(1-x)200(1-x)2 2=162.=162.解得解得x x1 1=0.1=10%,x=0.1=10%,x2 2=1.9(=1.9(舍去舍去).).答答:2015:2015年到年到20172017年该品牌足球单价平均每年降低的年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为百分率为10%.10%.(2)(2)到到A A商场购买商场购买9191个足球个足球,赠送赠送9 9个足球个足球,共共100100个足球个足球,总价总价=91162=14742=91162=14742元元.到到B B商场购买总价商场购买总价=1001620.9=14580=1001620.9=14580元元.1458014742,1458012(,26-2x=1612(舍去舍去),),当当x=8x=8时时,26-2x=1012.,26-2x=1012.答答:所围矩形猪舍的长为所围矩形猪舍的长为10m10m、宽为、宽为8m.8m.命命题题角度角度3:3:与与涨涨价、降价有关的商品利价、降价有关的商品利润问题润问题【例【例7 7】(2017(2017眉山中考眉山中考)东东坡某烘焙店生坡某烘焙店生产产的蛋糕礼的蛋糕礼盒分盒分为为六个档次六个档次,第一档次第一档次(即最低档次即最低档次)的的产产品每天生品每天生产产7676件件,每件利每件利润润1010元元.调查调查表明表明:生生产产提高一个档次的提高一个档次的蛋糕蛋糕产产品品,该产该产品每件利品每件利润润增加增加2 2元元.世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610412016104120(1)(1)若生若生产产的某批次蛋糕每件利的某批次蛋糕每件利润为润为1414元元,此批次蛋糕属此批次蛋糕属第几档次第几档次产产品品.(2)(2)由于生由于生产产工序不同工序不同,蛋糕蛋糕产产品每提高一个档次品每提高一个档次,一天一天产产量会减少量会减少4 4件件.若生若生产产的某档次的某档次产产品一天的品一天的总总利利润为润为10801080元元,该该烘焙店生烘焙店生产产的是第几档次的的是第几档次的产产品品?【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)设此批次蛋糕属于第设此批次蛋糕属于第x x档档,则则“原利原利润润+2(+2(增加后的档次增加后的档次-1)=-1)=后来的利润后来的利润”列方程列方程.(2)(2)根据根据“每件的利润每件的利润件数件数=总利润总利润”列方程求解列方程求解.【自主解答】【自主解答】(1)(1)设此批次蛋糕属于第设此批次蛋糕属于第x x档次产品档次产品,则则10+2(x-1)=14,10+2(x-1)=14,解得解得x=3.x=3.答答:此批次蛋糕属于第此批次蛋糕属于第3 3档次产品档次产品.(或或:+1=3,:+1=3,此批次蛋糕属第此批次蛋糕属第3 3档次产品档次产品.).)(2)(2)设该烘焙店生产的是第设该烘焙店生产的是第y y档次的产品档次的产品,根据题意根据题意,得得10+2(y-1)76-4(y-1)=1080,10+2(y-1)76-4(y-1)=1080,解之解之,得得y y1 1=5,y=5,y2 2=11(=11(舍去舍去).).答答:该烘焙店生产的是第该烘焙店生产的是第5 5档次的产品档次的产品.【母【母题变题变式】式】(改改变问变问法法)该该店生店生产产的第几档的第几档产产品利品利润润最大最大.提示提示:设总利润为设总利润为w,w,则则w=10+2(y-1)76-4(y-1)w=10+2(y-1)76-4(y-1)w=-8yw=-8y2 2+128y+640,+128y+640,当当y=y=时利润最大时利润最大,此时此时y=8,y=8,而产品只有六个档次而产品只有六个档次,故第六档次产品利润最大故第六档次产品利润最大.【名【名师师点津】点津】1.1.增增长长率率问题问题的有关公式的有关公式增增长长数数=基数基数增增长长率率;实际实际数数=基数基数+增增长长数数.(1)(1)两次增两次增长长,且增且增长长率相等的率相等的问题问题的基本等量关系式的基本等量关系式为为:原来的原来的(1+(1+增增长长率率)2 2=后来的后来的.(2)(2)如果是下降率如果是下降率,则则上述关系式上述关系式为为:原来的原来的(1-(1-下降率下降率)2 2=后来的后来的.2.2.与几何与几何图图形有关的形有关的计计算算问题问题解解题题关关键键是依据几何是依据几何图图形的性形的性质寻质寻求求问题问题中的等量关中的等量关系系.3.3.商品利商品利润问题润问题利利润润=售价售价-进进价价=进进价价利利润润率率.总总利利润润=单单位利位利润润销销售量售量.【题组过题组过关】关】1.(20171.(2017安徽中考安徽中考)一种一种药药品原价每盒品原价每盒2525元元,经过经过两次两次降价后每盒降价后每盒1616元元.设设两次降价的百分率都两次降价的百分率都为为x,x,则则x x满满足足()A.16(1+2x)=25A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16B.25(1-2x)=16C.16(1+x)C.16(1+x)2 2=25=25D.25(1-x)D.25(1-x)2 2=16=16【解析】【解析】选选D.D.一种药品原价每盒一种药品原价每盒2525元元,两次降价的百分两次降价的百分率都为率都为x,x,所以第一次降价后的价格用代数式表示为所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)25(1-x)元元,第二次降价后的价格用代数式表示为第二次降价后的价格用代数式表示为25(1-25(1-x)(1-x)=25(1-x)x)(1-x)=25(1-x)2 2,根据题意可列方程根据题意可列方程25(1-x)25(1-x)2 2=16.=16.2.(20162.(2016台州中考台州中考)有有x x支球支球队队参加参加篮篮球比球比赛赛,共比共比赛赛了了4545场场,每两每两队队之之间间都比都比赛赛一一场场,则则下列方程中符合下列方程中符合题题意的是世意的是世纪纪金榜金榜导导学号学号16104121(16104121()A.x(x-1)=45A.x(x-1)=45B.x(x+1)=45B.x(x+1)=45C.x(x-1)=45C.x(x-1)=45D.x(x+1)=45D.x(x+1)=45【解析】【解析】选选A.A.有有x x支球队参加篮球比赛支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场每两队之间都比赛一场,总共比赛场数为总共比赛场数为 x(x-1),x(x-1),共比赛了共比赛了4545场场,x(x-1)=45.,x(x-1)=45.【变变式式训练训练】春春节节期期间间,小小组组的同学互的同学互赠赠礼物礼物,共共赠赠送送礼物礼物7272件件,则则小小组组共有共有_名同学名同学.【解析】【解析】设有设有x x名同学名同学,则则x(x-1)=72,x(x-1)=72,xx1 1=9,x=9,x2 2=-8(=-8(舍去舍去).).答案答案:9 93.(20173.(2017白白银银中考中考)如如图图,某小区某小区计计划在一划在一块长为块长为32m,32m,宽为宽为20m20m的矩形空地上修建三条同的矩形空地上修建三条同样宽样宽的道路的道路,剩余的剩余的空地上种植草坪空地上种植草坪,使草坪的面使草坪的面积为积为570m570m2 2.若若设设道路的道路的宽宽为为xm,xm,则则下面所列方程正确的是下面所列方程正确的是()世世纪纪金榜金榜导导学号学号1610412216104122A A(32-2x)(20-x)=570(32-2x)(20-x)=570B B32x+220 x=3232-57032x+220 x=3232-570C.(32-x)(20-x)=3220-570C.(32-x)(20-x)=3220-570D D32x+220 x-2x32x+220 x-2x2 2=570=570【解析】【解析】选选A.A.把道路移动到矩形空地的边上把道路移动到矩形空地的边上,则种植则种植草坪的面积是长为草坪的面积是长为(32-2x)m,(32-2x)m,宽为宽为(20-x)m(20-x)m的矩形面积的矩形面积,即可得即可得 (32-2x)(20-x)=570.(32-2x)(20-x)=570.(2017(2017重重庆庆中考中考B B卷卷)某地大力某地大力发发展展经济经济作物作物,其中果其中果树树种植已初具种植已初具规规模模,今年受气候、雨水等因素的影响今年受气候、雨水等因素的影响,樱樱桃桃较较去年有小幅度的减去年有小幅度的减产产,而枇