力法(李廉锟-结构力学-中南大学2013年课件).ppt

第第七七章章 力法力法 7-1 超静定结构概述超静定结构概述7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定7-3 力法的基本概念力法的基本概念7-4 力法的典型方程力法的典型方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-6 对称性的利用对称性的利用7-7 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算7-8 最后内力图的校核最后内力图的校核7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算7-11*用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱7-12*两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱7-13 超静定结构的特性超静定结构的特性超静定结构超静定结构：具有多余约束的结构。具有多余约束的结构。几何特征：几何特征：具有具有多余约束多余约束的几何不变体系。的几何不变体系。静力特征静力特征：反力和内力反力和内力不能不能仅由平衡条件全部解出。仅由平衡条件全部解出。外部一次超静定结构外部一次超静定结构内部一次超静定结构内部一次超静定结构一、超静定结构的一、超静定结构的静力特征静力特征和和几何特征几何特征7-1 超静定结构超静定结构概述概述思考：思考：多余约束是多余约束是多余多余的吗？的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。超静定结构的超静定结构的优点优点为为:1.内力分布均匀内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强抵抗破坏的能力强7-1 超静定结构超静定结构概述概述二、超静定结构的二、超静定结构的类型类型超静定梁超静定梁超静定刚架超静定刚架超静定拱超静定拱两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱7-1 超静定结构超静定结构概述概述超静定桁架超静定桁架超静定组合结构超静定组合结构7-1 超静定结构超静定结构概述概述Methods of Analysis of Statically Indeterminate StructuresMethods of Analysis of Statically Indeterminate Structures遵循遵循同时考虑同时考虑“变形、本构、平衡变形、本构、平衡”分析超静定问分析超静定问题的思想题的思想，可有不同的出发点：，可有不同的出发点：以以力力作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足平平衡衡条条件件的的基基础础上上进进行行分分析析，这这时时主主要要应应解解决决变变形形协协调调问问题题，这这种种分分析方法称为析方法称为力法力法（force methodforce method）。）。三、超静定结构三、超静定结构求解方法求解方法概述概述1.力法力法-以多余约束力作为基本未知量以多余约束力作为基本未知量基本未知量：基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全当它确定后，其它力学量即可完全 确定。确定。-关键量关键量 7-1 超静定结构超静定结构概述概述 以以位位移移作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足变变形形协协调调条条件件的的基基础础上上来来分分析析，当当然然这这时时主主要要需需解解决决平平衡衡问问题题，这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacement methoddisplacement method）。如如果果一一个个问问题题中中既既有有力力的的未未知知量量，也也有有位位移移的的未未知知量量，力力的的部部分分考考虑虑位位移移协协调调，位位移移的的部部分分考考虑虑力力的的平平衡衡，这这样样一一种种分分析析方方案案称称为为混混合合法法（mixture mixture methodmethod）。2.位移法位移法-以结点位移作为基本未知量以结点位移作为基本未知量3.混合法混合法-以结点位移和多余约束力作为以结点位移和多余约束力作为 基本未知量基本未知量7-1 超静定结构超静定结构概述概述4.力矩分配法力矩分配法-近似计算方法近似计算方法 位移法位移法的变体，便于手算，不用解方程。的变体，便于手算，不用解方程。5.结构矩阵分析法结构矩阵分析法-有限元法有限元法.以上各种方法共同的以上各种方法共同的基本思想基本思想:4.消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。3.找出改造后的问题与原问题的差别；找出改造后的问题与原问题的差别；2.将其化成会求解的问题；将其化成会求解的问题；1.找出未知问题不能求解的原因；找出未知问题不能求解的原因；适用于电算适用于电算 7-1 超静定结构超静定结构概述概述超静定次数：超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念一、概念 二、确定方法二、确定方法 1 1）由）由计算自由度计算自由度 确定确定2 2）去）去约束约束法法 将多余约束去掉，使原结构转化为将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构静定结构。？7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定 解解除除多多余余约约束束的的办办法法确确定定超超静静定定结结构构的的超超静静定定次次数数，应应注意注意以下几点以下几点：（1）去掉去掉一根链杆一根链杆，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。两铰拱，一次超静定结构。两铰拱，一次超静定结构。一次超静定桁架一次超静定桁架曲梁，静定结构。曲梁，静定结构。静定桁架静定桁架7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定去掉几个约束后成为静去掉几个约束后成为静定结构定结构,则为几次超静定则为几次超静定X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3去掉一个链杆或切断一个链杆相去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束当于去掉一个约束7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定（2）去掉去掉一个铰支座一个铰支座或或一个单铰一个单铰，等于拆掉，等于拆掉两个约束两个约束。（3）去掉去掉一个固定支座一个固定支座或切断或切断一个梁式杆一个梁式杆，等于拆掉，等于拆掉三个约束三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定（4）在在梁式杆上加上一个单铰梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。三次超静定刚架三次超静定刚架静定三铰刚架静定三铰刚架静定悬臂刚架静定悬臂刚架（5）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的铰结点个杆件的铰结点，等于拆掉，等于拆掉2(n-1)个约束个约束。（6）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的刚结点个杆件的刚结点，等于拆掉，等于拆掉3(n-1)个约束个约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定五次超静定刚架五次超静定刚架注意：注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的式，但解除约束的个数是相同的,解除约束后的体系解除约束后的体系必须是几何不变的。必须是几何不变的。（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。（8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定 以五个支座链杆为多余约束以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架静定悬臂刚架其它形式的静定刚架：其它形式的静定刚架：静定三铰刚架静定三铰刚架静定简支刚架静定简支刚架7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定3 3）框格法）框格法一个封闭无铰框格一个封闭无铰框格 个封闭个封闭无铰框格无铰框格7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定若有铰若有铰 单铰数，则单铰数，则 注意：注意：多少个封闭无铰框格？多少个封闭无铰框格？7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定三、计算示例三、计算示例 拆除多余联系变成的拆除多余联系变成的静定结构形式：静定结构形式：7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定1.力法基本思路力法基本思路待解的未知问题待解的未知问题 原（一次超静定）结构原（一次超静定）结构1)1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系基本体系)。基本体系基本体系力法基本未知量力法基本未知量去掉余约束代之以多余未去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。知力，得到基本体系。7-3 力法的基本概念力法的基本概念2)2)、沿多余未知力方向建立沿多余未知力方向建立位移协调方程位移协调方程，解方，解方程就可以求出多余未知力程就可以求出多余未知力X1。原原结结构构的的B是是刚刚性性支支座座,该该点点的的竖竖向向位位移移是是零零。即原即原结构在的结构在的X1位移为：位移为：位移协调条件：位移协调条件：基本结构在原有荷载基本结构在原有荷载 q 和多余力和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。构相应的位移相等。变形条件变形条件 在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下,基本体系的内力和基本体系的内力和基本体系的内力和基本体系的内力和位移与原结构等价位移与原结构等价位移与原结构等价位移与原结构等价.7-3 力法的基本概念力法的基本概念超静定结构计算超静定结构计算静定结构计算静定结构计算 基本结构基本结构（悬臂梁）悬臂梁）对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。7-3 力法的基本概念力法的基本概念 在在荷荷载载作作用用下下B 点点产产生生向向下下的的位位移移为为1P,未未知知力的作用将使力的作用将使B点产生的向上的位移为点产生的向上的位移为1 1X。要使体系的受力情况与原结构一样要使体系的受力情况与原结构一样,则必须则必须B 的的位移也与原结构一样，要求：位移也与原结构一样，要求：位移协调条位移协调条件件1=1X+1P=0=0 (a)1P 基本结构由荷载引起的竖向位移基本结构由荷载引起的竖向位移,1X 基本结构由知力引起的竖向位移。基本结构由知力引起的竖向位移。7-3 力法的基本概念力法的基本概念由叠加原理由叠加原理 1X=11X1 1111X1 1+1P=0 =0 (b)力法典型方程力法典型方程 位移系数位移系数自自乘乘 广义荷载位移广义荷载位移互乘互乘7-3 力法的基本概念力法的基本概念将将1111、1P 1P 入力法典型方程，解得入力法典型方程，解得:3)3)、将将求求出出的的多多余余未未知知力力作作用用于于基基本本结结构构，用用叠叠加加法即可求出超静定结构的内力。法即可求出超静定结构的内力。7-3 力法的基本概念力法的基本概念2.几个概念几个概念 力法的基本未知数力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约超静定结构多余约束的未知约束力束力,即超静定次数。即超静定次数。力法的基本结构力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉把原超静定结构的多余约束去掉,所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。力法的基本体系力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。约束力，就得到了基本体系。力法的基本方程力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。7-3 力法的基本概念力法的基本概念 选取基本体系的原则：选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。超静定的基本体系。7-3 力法的基本概念力法的基本概念力法基本思路小结力法基本思路小结:根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数超静定次数。超静定次数。超静定次数。超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力束代以多余未知力束代以多余未知力束代以多余未知力基本未知力。基本未知力。基本未知力。基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件力法典型方程。力法典型方程。力法典型方程。力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。了解决。了解决。了解决。7-3 力法的基本概念力法的基本概念 超静定刚架如图所示超静定刚架如图所示,荷载是作用在刚性结点荷载是作用在刚性结点C上上的集中力矩的集中力矩M 。一、多次超静定的计算一、多次超静定的计算原结构原结构基本结构基本结构基本体系基本体系（1）力法基本未知量）力法基本未知量X1 与与X27-4 力法的典型方程力法的典型方程（2 2）位位移移协协调调条条件件：基基本本结结构构在在原原有有荷荷载载M 和和多多余余力力X1、X2共共同同作作用用下下，在在去去掉掉多多余余联联系系处处的的位位移移应应与与原结构相应的位移相等。原结构相应的位移相等。（a）基本体系在基本体系在X1 1方向的位移为零，方向的位移为零，1=0 基本体系在基本体系在X2方向的位移为零方向的位移为零,2=0 7-4 力法的典型方程力法的典型方程（b）将将 ，代入代入（b）式，式，得两次超静定的力法基本方程得两次超静定的力法基本方程（c）7-4 力法的典型方程力法的典型方程 （3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力位力 与荷载单独作用下的弯矩图。与荷载单独作用下的弯矩图。7-4 力法的典型方程力法的典型方程7-4 力法的典型方程力法的典型方程（4）求出基本未知力。）求出基本未知力。将计算出来的系数与自由项代入典型方程将计算出来的系数与自由项代入典型方程得得解方程得解方程得 ，求得的求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。为正，表明与原假定的方向一致。7-4 力法的典型方程力法的典型方程 先先作作弯弯矩矩图图（），把把弯弯矩矩图图画在杆件的受拉纤维一侧。画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。再作剪力图，最后作轴力图。由由刚刚结结点点C 的的平平衡衡可可知知M 图正确。图正确。(5)作内力图。作内力图。7-4 力法的典型方程力法的典型方程杆杆AC:杆杆CB:作剪力图的原则是作剪力图的原则是,截取每一杆为隔离体，由平截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。衡条件便可求出剪力。7-4 力法的典型方程力法的典型方程取刚结点取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得为隔离体，由投影平衡条件解得 （拉），（拉），（压）（压）作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。剪力便可求出轴力。7-4 力法的典型方程力法的典型方程二、力法典型方程二、力法典型方程 n 次超静定定结构，力法典型方程为次超静定定结构，力法典型方程为 （7-1a）柔柔度度系系数数 ij 表表示示当当单单位位未未知知力力Xj=1=1作作用用下下,引起基本体系中引起基本体系中Xi 的作用点沿的作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。思考：柔度系数由什么的特点？思考：柔度系数由什么的特点？答：答：，。7-4 力法的典型方程力法的典型方程 自自由由项项 iP荷荷载载作作用用下下引引起起基基本本体体系系中中Xi 的的作用点沿作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩通常先用叠加原理计算弯矩 由力法典型方程解出由力法典型方程解出n 个基本未知数个基本未知数X1，X2，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。7-4 力法的典型方程力法的典型方程1 1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；3 3、柔度系数是体系常数；、柔度系数是体系常数；4 4、荷载作用时、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。比可使内力重分布。小结：小结：7-4 力法的典型方程力法的典型方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例:用力法计算图示刚架，并作用力法计算图示刚架，并作M图。图。解：解：)确定力法基本未知量和基本体系确定力法基本未知量和基本体系基本体系基本体系力法方程：力法方程：d d11x1+d d12x2+1P=0 d d21x1+d d22x2+2P=0)作作M1、M2、MP图图7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例基本体系基本体系MP7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例）计算系数、自由项计算系数、自由项 d d11=5l/12EI d d22=3l/4EI d d12=d d21=0 1P=FPl2/32EI 2P=0说明说明:力法计算刚架时，力法方程力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：影响：d dii=l(Mi2 /EI)ds d dij=l(Mi Mj/EI)ds iP=l(Mi MP/EI)ds）代入力法方程，求多余力代入力法方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0 x1=-3FPl/40 (3l/4EI)x2=0 x2=0）叠加作叠加作M M图图 MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80 (右侧受拉）右侧受拉）力法的解题步骤力法的解题步骤 （1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力反力,即基本未知数。即得基本体系。即基本未知数。即得基本体系。（2）列力法方程式）列力法方程式 （3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。解此方程，求出基本未知力。（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图出基本体系的内力图,也就是原结构的内力图。也就是原结构的内力图。（6）校核。）校核。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-1 用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。剪力图。解解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。确定超静定次数、选择基本体系。原结构原结构基本体系基本体系（2）列出力法典型方程）列出力法典型方程（a）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3)计算系数及自由项。作计算系数及自由项。作 、图图由图乘得由图乘得 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。解方程求未知力。将将 与与 代入式（代入式（a a），），消去公因子消去公因子 ，得，得解此方程得解此方程得(5)求作弯矩图。求作弯矩图。（左侧受拉）（左侧受拉）（右侧受拉）（右侧受拉）（下侧受拉）（下侧受拉）（）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例由由 ,得支座得支座B 的竖向反力为的竖向反力为7.5 kN（）。）。(6)作剪力图。作剪力图。利用利用BE 杆力偶系平衡条件得杆力偶系平衡条件得同理同理7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 支座支座A 的竖向反力为的竖向反力为22.5kN（），），杆杆DC 的的D 端剪力应等于端剪力应等于(7)作轴力图。作轴力图。根据根据最后剪力图可最后剪力图可作出最后轴力图。作出最后轴力图。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。用力法计算图示刚架，作弯矩图。解解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。确定超静定次数并选定基本结构。原结构原结构 基本体系基本体系 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例作作 、图图 (3)计算系数及自由项。计算系数及自由项。(2)列出力法典型方程。列出力法典型方程。（a）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例两个梯形相乘两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘可将梯形划分为两个三角形相乘.再令图再令图a与图与图b中的中的C d D相图乘，得相图乘，得将结果相加，得最终图乘结果：将结果相加，得最终图乘结果：令图令图a a与图与图b b中的中的c d C相图乘，得相图乘，得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例计算计算 ij 由图的由图的 与与 的对称性的对称性,有有7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例将将 、代入式代入式(a)并消去公因子并消去公因子 得得(4)解方程求未知力。解方程求未知力。、即为原刚架上铰即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。两侧截面上的剪力和轴力。解得解得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。（外侧受拉）（外侧受拉）（内侧受拉）（内侧受拉）（内侧受拉）（内侧受拉）最后弯矩图最后弯矩图 弯矩图弯矩图具有反对称具有反对称性质，这是由荷载与结性质，这是由荷载与结构的对称性决定的。构的对称性决定的。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-3 用力法计算图用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已知所示排架，作弯矩图。已知 ，。忽略排架顶部拉杆的轴向。忽略排架顶部拉杆的轴向变形变形,将拉杆视为刚性杆。将拉杆视为刚性杆。解解:(1)确定超静定次数并选定基本体系。确定超静定次数并选定基本体系。基本体系基本体系(2)列出力法方程。列出力法方程。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3)计算系数及自由项。计算系数及自由项。作作MP、M1、M2图。注意图。注意11与与22都包括两部分，令都包括两部分，令M1图左边柱、中间柱的计算结果分别为图左边柱、中间柱的计算结果分别为 、由由M1图图得得 ，7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例计算自由项计算自由项 (4)解方程求未知力。解方程求未知力。将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公因子后得因子后得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例解得解得 ，(5)将将 、及荷载加在基本结构上，利用平衡条件及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计算弯矩计算弯矩表明轴力杆表明轴力杆DE、FG均受拉。均受拉。（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）作出弯矩图如图所示。作出弯矩图如图所示。M图图(kN.m)7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-4 用力法计算图用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆示桁架，作轴力图。各杆EA相同。相同。基本体系基本体系(3)计算系数及自由项。计算系数及自由项。解解:(1)确定超静定次数及选定基本体系确定超静定次数及选定基本体系。(2)列出力法方程为列出力法方程为:计算计算FN1和和FNP。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例将将 、代入式代入式a，消去公因子，消去公因子 后得后得(4)解方程求未知力解方程求未知力负号表明杆负号表明杆CD 受压。受压。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：计算轴力时应用公式：（拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉）（压）（压）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例注意：注意：1.排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。2.超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆件超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆件截面刚度截面刚度EI 的绝对值无关的绝对值无关,只与各杆截面刚度的相只与各杆截面刚度的相对值有关。对值有关。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例7-5 用力法计算图用力法计算图a a所示组合结构。已知梁式杆所示组合结构。已知梁式杆 ，压杆压杆DC、EF的，的，拉杆拉杆AD、DE、BE的的 。解解:(1)一次超静定。一次超静定。(2)列出力法方程列出力法方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3)作作 、图。图。利用位移的公式：利用位移的公式：7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例自相图乘的结果为自相图乘的结果为自相图乘的结果为自相图乘的结果为7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例梁的轴向变形对梁的轴向变形对11的影响为的影响为占占11的0.28%，故计算，故计算11时可以略去。时可以略去。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。解方程求未知力。算得算得（拉）（拉）(5)作内力图。作内力图。（上侧受拉）（上侧受拉）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 讨讨论论：由由于于撑撑杆杆DC、EF的的存存在在，使使梁梁上上C、F截截面面出出现现了了负负弯弯矩矩，整整根根梁梁的的弯弯矩矩分分布布比比简简支支梁梁均均匀匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为本例中拉杆与压杆的变形之比为 增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉杆截面杆截面,其轴力下降，导致梁上其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值截面上负弯矩值减小；当减小；当EA30 0时，组合结构趋近简支梁。时，组合结构趋近简支梁。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例基本体系基本体系 解解:(1)原结构是三次超静定。原结构是三次超静定。力法基本方程为：力法基本方程为：例例7-6 试列出用力法求解图示刚架的力法方程。试列出用力法求解图示刚架的力法方程。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例作作MP、图。图。(2)计算系数和自由项。计算系数和自由项。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时,多余未知力分成对称与反对称的两组多余未知力分成对称与反对称的两组,使得副系数使得副系数32=23=0,31=13=0,方程方程a化为相互无关的两组。化为相互无关的两组。由于结构对称，由于结构对称，对称，而对称，而 反对称，有反对称，有 ，方程式简化为方程式简化为7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例如果荷载对称如果荷载对称,则则MP图也对称图也对称,因而因而3P=0。如果荷载反对称如果荷载反对称,则则MP图也反对称图也反对称,1P=0,2P=0。这样这样,就可以使计算进一步简化。就可以使计算进一步简化。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-7 试试用用力力法法计计算算图图示示单单跨跨梁梁。梁梁的的B支支座座为为弹弹簧簧支支承承，弹弹簧簧的的刚刚度度系系数数为为k(当当B点点产产生生单单位位位位移移弹簧所产生的反力弹簧所产生的反力)。基本基本体系体系 式中负号表示未知力式中负号表示未知力 X1 与位移的方向相反与位移的方向相反,未未知力知力X1 与位移与位移 的关系满足的关系满足 X1=k解：一次超静定结构，力法基本方程为解：一次超静定结构，力法基本方程为因而因而,得得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例得到力法方程：得到力法方程：由图乘得到由图乘得到M1 ，所以有所以有M令令 ，代入式上式可解得，代入式上式可解得作作M 图图7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 1.当当kk，即即弹弹簧簧非非常常刚刚硬硬。这这时时X1过过渡渡到到3ql/8，即，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。端过渡到刚性链杆支座的情况。k是悬臂梁是悬臂梁(基本结构基本结构)B点的刚度点的刚度,表示使悬臂表示使悬臂梁梁B点产生一单位位移时所需的力。点产生一单位位移时所需的力。讨论：讨论：2.当当k0（或或k t1，梁梁的的线线膨膨胀胀系系数数，截截面面高高度度为为h,求求梁的内力。梁的内力。基本体系基本体系解解:此梁为此梁为3次超静定梁次超静定梁力法典型方程：力法典型方程：7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算作单位力弯矩图作单位力弯矩图由图乘法：由图乘法：7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算将系数和自由项代入力法典型方程将系数和自由项代入力法典型方程解得：解得：，X2=0，X3=EAt0 弯矩图由弯矩图由 而得；而得；剪力为零；剪力为零；轴力为一常数轴力为一常数 EAt0 （压力）压力）.M图图 结论：结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移对于任一等截面直杆只要知道杆件位移（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 例例：设设图图示示刚刚架架外外侧侧温温度度不不变变，内内侧侧温温度度升升高高10。各各杆杆EI=常常量量，截截面面高高度度h=常常量量，截截面面形形心心在在截截面面高高度度h 的的0.5 处处,线线膨膨胀胀系系数数为为，试试求求由由于于温温度度变变化化在在刚刚架架中中引引起反力和内力。起反力和内力。（a）自由项自由项1t与与2t为基本结构内侧温度升高为基本结构内侧温度升高10时在自时在自由端由端C沿沿X1、X2方向产生的位移。方向产生的位移。解解:1.刚架为二次超静定结构。刚架为二次超静定结构。2.根据变形条件建立力法方程根据变形条件建立力法方程7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算刚架内外侧温度差刚架内外侧温度差 可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。轴线伸长，内侧受位。3.计算系数和自由项计算系数和自由项温度参量温度参量t、t0 的计算的计算说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1)计算自由项计算自由项7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算在基本结构在基本结构C 处沿处沿X1、X2方向加单位力方向加单位力，作相应的内力图。作相应的内力图。同理同理7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 将将1t、2t、11、22、12、21、的的表表达达式式代入式（代入式（a）得得(2)系数的计算系数的计算,只计弯曲影响。只计弯曲影响。（b），7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算解得：解得：由叠加法作由叠加法作M图图7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 1.温度变化在超静定结构中引起的内力大小与温度变化在超静定结构中引起的内力大小与杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改来改善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的途径。途径。要点：要点：2.超静定结构因温度变化而引起的变形与静定超静定结构因温度变化而引起的变形与静定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉.多多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可能导致室外或室内开裂。能导致室外或室内开裂。7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不同于静定结构的一种力学性质。同于静定结构的一种力学性质。支座位移情形下的计算支座位移情形下的计算 式式中中等等号号左左边边是是基基本本体体系系的的相相应应位位移移，右右边边是是实际结构在该点的实际位移。实际结构在该点的实际位移。在支座位移问题中在支座位移问题中,力法典型方程的一般形式力法典型方程的一般形式可写成可写成:7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 例例:图示梁的图示梁的A端产生了转角位移端产生了转角位移A，求解梁的求解梁的反力和内力并作弯矩图和剪力图。反力和内力并作弯矩图和剪力图。基本体系基本体系基本结构基本结构变形条件为：变形条件为：基本体系基本体系在在B点的位移与原结构相同。点的位移与原结构相同。（a）解解:(1)取支座取支座B的竖向反力的竖向反力X1为多余未知力。为多余未知力。(2)根据变形条件建立力法方程。根据变形条件建立力法方程。7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 1c 是是当当支支座座A产产生生角角位位移移A时时在在基基本本结结构构中中产产生的沿生的沿 X1方向引起的位移，由几何关系得出方向引起的位移，由几何关系得出 系数系数11可由可由M1图求得图求得（1 1C C 与与X1反向，取负号反向，取负号）基本体系的位移基本体系的位移1 是由是由X1和支座和支座A的角位移的角位移A共同作用产生的，因此式共同作用产生的，因此式(a)可写成可写成也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得（b b）7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的X1与与B端剪力的关系为端剪力的关系为 可可见见：支支座座位位移移在在超超静静定定结结构构中中引引起起的的内内力力的的大大小小与与杆杆件件截截面面刚刚度度和和支支座座位位移移值值有有关关。这这是是与与荷荷载载作作用下的情况不同的。用下的情况不同的。(4)作弯矩图和剪力图作弯矩图和剪力图 FS图图(3)解方程求未知力解方程求未知力将将11与与1c 代入式代入式(b)，解得解得7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 例例:图图示示单单跨跨梁梁支支座座A产产生生转转角角A，