圆的有关性质(共12页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上圆的有关性质（一） 一、内容综述： 1.圆的有关概念： (1).圆的对称性： 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还有旋转不变性。 (2).点和圆的位置关系： 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则: 点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r 2.有关性质： （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。 （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 3.难点讲解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示) 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质 推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 如图中，若ABCD，则 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 三、例题分析： 例1如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。 证明：过O作OMCD于M， CM=DM， AECD，BFCD， AE/OM/FB， 又O是AB中点， M是EF中点（平行线等分线段定理）， EM=MF， CE=DF。 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2已知ABC内接于O，且AB=AC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 分析：因为不知道ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1）假若ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得ADBC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在RtOBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在RtABD中可求出AB的长。 （2）若ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证ODBC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在RtADB中求出AB的长。 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 在RtOBD中，由勾股定理得：BD=4， 在RtADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB=4(cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB=4(cm)， AB=4cm或4cm。 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例3已知如图：直线AB与O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OEAB于点E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。 例4如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=600，求CD的长。 解：作OFCD于F，连结OD， AE=1，EB=5， AB=6，OA=3， OE=OA-AE=3-1=2， 在RtOEF中， DEB=600，EOF=300，EF=OE=1， OF=， 在RtOFD中，OF=，OD=OA=3， DF=(cm)， OFCD，DF=CF， CD=2DF=2(cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。 三、自测题 （一）判断正误： 1直径是圆的对称轴。 2三点确定一个圆 3平分弦的直径垂直弦 4在同圆中，等弦对等弧 5圆心角相等，它们所对的弧相等 6在同圆中，等弧对等弦 7线段AB是O的直径，点C在直线AB上，如果AC<AB，则点C一定在O的内部 8正方形ABCD，根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，它可以确定四个圆。 9在O中， ，那么它们所对弦的关系是AB=2CD。 10O的半径为5cm，点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为1cm。 （二）解答题： 1如图，在O中，弦AB/EF，连结OE，OF交AB于C，D， 求证：AC=DB。 2如图，AB是O直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，连结OE，OF，求证：OEF=OFE 四：答案 （一） 1×（直径所在直线是圆的对称轴） 2×（经过不在同一直线上的三个点确定一个圆） 3×（平分弦（不是直径）的直径垂直弦） 4×（在同圆中，等弦所对的优（劣）弧等，因为一条弦对两条弧） 5× 6、 7、× 8、× 9、× 10、×（OP的长是1cm或25cm） （二） 1证明：作ONEF交AB于M， AB/EF， OMAB， OE=OF， OEF=OFE， OCD=OEF，ODC=OFE， OCD=ODC， OC=OD， CM=DM， AM=BM， AC=BD 2证明：作OMCD于M， AECD于E，BFCD于F， AE/OM/BF， OA=OB，EM=FM， OE=OF，OEF=OFE 圆的有关性质（二） 一、内容综述： 这部分圆的内容中，解题时常添加的辅助线。 1连半径。目的：因为同圆的半径相等，所以可以产生等腰三角形。 2作弦心距。目的：可以利用垂径定理。 若既连半径，又作弦心距，则可产生Rt。 3连结弧的中点与圆心，目的：可以利用垂径定理的推论。 4作直径所对的圆周角，目的：产生Rt。 5补全圆内接四边形，例如：连结AD， 目的：利用圆内接四边形的性质：ADE=B。 二、例题分析： 例1已知：如图，AB是O直径，弦AC半径OD，求证: 分析：此题证弧等 证弧等常采用的方法有： 1圆的两条平行弦所夹的弧等。 2由垂径定理及其推论可得两弧等。 3在同圆或等圆中，如果两个圆心角等（或两条弦，两条弦的弦心距等）那么它们所对应的弧等。 4在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等，因此这题可以通过添加辅助线采取不同的方法来证明， 方法1： 证明：延长DO交O于E， ACOD， 又AOE=DOB， 此方法是：利用圆的两条平行弦所夹的弧等，及在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等，进行证明。 方法2： 证明：连结BC，交OD于E， AB是直径，ACB=900， 又ACOD， OEB=ACB=900，即ODBC， 此方法是：利用垂径定理，证明。 方法3： 证明：连结AD，OA=OD，1=2， 又ACOD，2=3，1=3， 此方法是：利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等进行证明。 方法4： 证明：连结OC， OA=OC，A=C，又ACOD， A=1，2=C，1=2， 此方法是：利用在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等进行证明。 例2如图，已知：AD是半圆的直径， AB=BC=1cm，AD=4cm.求CD的长。 分析：若连结AC，则CD在RtACD中，AD长已知，若能求出AC的长，则可利用勾股定理求出CD，如何求AC的长呢？从已知可推得，即B为的中点，连结OB，由垂径定理推论得OB垂直平分AC，求出AC的一半即可。 解：连结AC，OB，交AC于P， AB=BC， AP=CP，BPAC， 设BP为xcm, 则OP=OB-BP= 2-x，在RtABP中：AB2-BP2=AP2， 在RtAPO中：AO2-OP2=AP2， AB2-BP2=AO2-OP2， 1-x2=4-(2-x)2 x=, 即BP=, AP=， AC=2AP=， AD是直径， ACD=900， 在RtACD中，由勾股定理得： CD=， 答：CD为cm。 说明：连结AC的目的产生Rt，连结OB的目的是利用垂径定理的推论使OB垂直平分AC。 例3如图，AB为O的直径，CD为弦，ABCD于K，E为劣弧上的点，且，AE的延长线交DC的延长线于F，求证：AE·CF=AB·KD。 分析：欲证等积式，化成比例式=，由于这个比例式不能直接证出，则要寻找“代换”，由已知可得KD=CK，因此要证比例式=，这个比例式也不能直接证出，则要进行“等比代换”或“等积代换”。因此要找出比例式，这个比例式中至少有两条线段是要证的比例式中的线段。由已知，可得C为的中点，连结OC可推得OCAE，所以=，即=，现在只要能证=即可。就是“中间比”。由已知可推得OCKABE，所以=即=。 证明：连结OC，BE， ， A=1，OCAF， =，OA=OC， =， AB是直径，AEB=900，AKCD， CK=DK，OKC=AEB=900，OCKABE， =，=， =， AE·CF=AB·KD。 三、自我测试： 1四边形ABCD内接于圆，AB、DC的延长线相交于E，BC、AD的延长线相交于F，求证：=。 2已知O是以等腰ABC的一腰AB为直径的圆，它交另一腰AC于E，交BC于D，求证：BC=2DE。 3如图（1）圆内接四边形ABCD中，AC>AD，延长AD到D'，使AD'=AC，连结BD'交圆于点E，交AC于C'，且AC'=AD。 求证（1）ABE是等腰三角形； （2）AB2=AC·AD。 4已知如图（2），AB是O的直径，弦PQ交AB于M，并且PM=MO。 求证： = 。 四、答案： 1证明：如图（3），连结AC，BD， DEB = ACFBDF = = 2证明：如图（4），连结AD。 = 3证明：如图（5），连结BD。 (1)ADC D'+EAD=ABD+EBD AEB=ABEAB=AE ABE是等腰三角形。 (2)AB=AE ABCAC'B = AB2=AC·AD。 4证明：如图（6），连结PO并延长PO交O于N，连结OQ， PM=MO，P=AOP， P，AOP ， =， 又AOP=BON， ， =。 专心-专注-专业