信号与线性系统课件.ppt

教材内容纲要教材内容纲要 绪论绪论第一章第一章连续时域连续时域 第二章第二章离散时域 第七章 信号分解 第三章 付氏变换 第四章拉普拉斯 变换 第五章系统函数 第六章 状态变量 第十一章付氏变换付氏变换Z Z变换变换 第八第八九九章章基本概念引导基本概念引导 核心内容核心内容 应用和拓宽应用和拓宽 加深部分加深部分Compendiumoftextbook教材内容纲要教材内容纲要第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析会建立描述系统激励会建立描述系统激励e(t)与响应与响应r(t)关系的微分方程，深刻理解转移算关系的微分方程，深刻理解转移算子子H(p)的意义与应用。的意义与应用。深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的(自然频率自然频率)的意的意义，并会求解。义，并会求解。深刻理解系统的全响应深刻理解系统的全响应,r(t)可分解为：零输入响应可分解为：零输入响应 rzi(t)与零状态响应与零状态响应 rzs(t)；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输入响应入响应rzi(t)。深刻理解单位冲激响应深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。的意义，并会求解。深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。基本要求：基本要求：2.1 引 言2.2 系统方程的算子表示法2.3 系统的零输入响应 2.4 奇异函数2.5 信号的脉冲分解2.6 阶跃响应和冲激响应2.7 叠加积分2.8 卷积及其性质2.9 线性系统响应时域求解第二章第二章连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续时间系统的时域分析法：连续时间系统的时域分析法：在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。的一种分析方法。连续时间系统的变换域分析法：连续时间系统的变换域分析法：为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。2.1引引言言连续时间系统的分析方法连续时间系统的分析方法:时域分析法时域分析法;变换域分析法变换域分析法所所谓谓系系统统的的模模型型是是指指对对系系统统物物理理特特性性的的抽抽象象，用用数数学学表表达达式式或或具具有有理想特性的符号图形来表征系统特性。理想特性的符号图形来表征系统特性。数学模型数学模型-以数学表达式表征系统特性。以数学表达式表征系统特性。举例举例1：RLC串联电路串联电路一、建立数学模型一、建立数学模型:线性系统输入线性系统输入输出方程输出方程/状态方程状态方程 数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统而言，电路分析课程中已经提供了相应的理论和方法，而言，电路分析课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有主要有KCL和和KVL方程方程或选取变量：电流选取变量：电流i(t)列方程列方程举例举例2：双耦合电路：双耦合电路对图示电路列写电流和电压的微分方程。对图示电路列写电流和电压的微分方程。解：解：选取变量：电流选取变量：电流i1(t)、i2(t)列方程列方程由两类约束关系，分别列两回路方程得：由两类约束关系，分别列两回路方程得：回路回路1的的KVL方程：方程：电阻电阻R R的伏安关系：的伏安关系：整理后得：整理后得：回路回路2 2的的KVLKVL方程：方程：举例举例3.对图示电路，写出激励对图示电路，写出激励e(t)和响应和响应r(t)间的微分方程。间的微分方程。解：由图列方程KCL:KVL:将（2）式两边微分，得 将（3）代入（1）得*由以上例题可以得出如下结论：由以上例题可以得出如下结论：1.1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。例例2：含有：含有4个储能元件，故为四阶电路。个储能元件，故为四阶电路。例例3：含有：含有2个储能元件，故为二阶电路。个储能元件，故为二阶电路。2.2.无论是电流无论是电流i(t)或电压或电压 u(t),他们的齐次方程相同。他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。推广到一般推广到一般：对于一线性系统其激励和响应函数或输入函数与输出函数之对于一线性系统其激励和响应函数或输入函数与输出函数之间的关系，总可用下列的微分方程间的关系，总可用下列的微分方程输入输入输出方程描述输出方程描述：n 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程全响应全响应=齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程特解非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）卷积，杜阿美尔积分时域分析法时域分析法变换域法变换域法（傅氏变换 拉普拉斯变换法）微分方程求解微分方程求解二二、常系数常系数n 阶线性常微分方程的求解方法阶线性常微分方程的求解方法（经典法）古典解法解题过程：古典解法解题过程：齐次方程的齐次方程的通解通解：为：为n个指数项之和，其包含的个指数项之和，其包含的n个待定常数，个待定常数，要用要用n个初始条件确定。个初始条件确定。该部分解为系统的自然响应或自由响应。该部分解为系统的自然响应或自由响应。非齐次方程的非齐次方程的特解特解：可根据系统激励函数的具体形式求取。：可根据系统激励函数的具体形式求取。该部分解为系统的受迫响应。该部分解为系统的受迫响应。根据不同观点根据不同观点,全响应可分解为全响应可分解为：自由：自由响应分量响应分量和强迫响应分量；和强迫响应分量；零输入响应和零状态响应分量；零输入响应和零状态响应分量；暂态响应分量和稳态响应分量。暂态响应分量和稳态响应分量。1.时域分析法时域分析法1)古典解法（直接解法）古典解法（直接解法）系统系统建立微分方程建立微分方程求非齐次方程特解求非齐次方程特解求齐次方程通解求齐次方程通解全响应全响应2)叠加积分法（卷积积分、杜阿美尔积分）叠加积分法（卷积积分、杜阿美尔积分）2.变换域法变换域法 系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等.如：傅氏变换、拉氏变化等如：傅氏变换、拉氏变化等将求系统的微分方程转换求代数方程将求系统的微分方程转换求代数方程系统的零输入响应：系统的零输入响应：当系统外加激励信号为零时由初始状态当系统外加激励信号为零时由初始状态 单独作用产生的响应。单独作用产生的响应。系统的零状态响应：系统的零状态响应：当系统初始状态为零时由外加激励信号当系统初始状态为零时由外加激励信号 单独作用产生的响应。单独作用产生的响应。求解方法：求解方法：激励激励e(t)为零，只需求解齐次方程的解，为零，只需求解齐次方程的解，并利用初始条件确定解中的待定系数。并利用初始条件确定解中的待定系数。求解方法：求解方法：需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。方法方法1 时域分析法时域分析法:A直接解方程法直接解方程法 B叠加积分法叠加积分法(卷积积分、杜阿美尔积分卷积积分、杜阿美尔积分)方法方法2 变换域法变换域法零输入响应和零状态响应的求解零输入响应和零状态响应的求解1.微分、积分算子定义微分、积分算子定义 在在n 阶常系数线性常微分方程式阶常系数线性常微分方程式 中的中的 和和 为时域中的微分运算符号为时域中的微分运算符号,为方便起见为方便起见,把把微分运算符号微分运算符号用用p 表示，表示，即令：即令：把把积分算子符号用积分算子符号用1/p表示，表示，即令：即令：n 阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下：阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下：2.2系统方程的算子表示法系统方程的算子表示法一、一、微分、积分算子定义微分、积分算子定义规则规则 1 以以 p 的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像 代数多项式那样进行相乘和因式分解。代数多项式那样进行相乘和因式分解。mp+np=(m+n)ppmpn=p(m+n),其中其中m,n为任意整数为任意整数 例如例如:规则规则 2 设设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式，二、微分、积分算子的运算规则二、微分、积分算子的运算规则规则规则 3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边 p 的公因式不能随便消去的公因式不能随便消去。例如方程例如方程 规则规则 4 对函数进行先除后乘算子对函数进行先除后乘算子 p 的运算时，公式的分子与分母的运算时，公式的分子与分母 中共有中共有 p 算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时,则则 不能相消不能相消.也就是说也就是说,对函数乘除算子对函数乘除算子p的顺序不能随意颠倒的顺序不能随意颠倒可见可见:大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用对于对于n 阶连续系统阶连续系统,其输入其输入-输出方程是输出方程是n 阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程若设系统输入为若设系统输入为e(t)，输出为，输出为r(t)，则可表示为：，则可表示为：利用微分算子将上式表示成：利用微分算子将上式表示成：或简记为或简记为：又可进一步写成：又可进一步写成：转移算子转移算子H(p)它代表了系统对输入的传输作用它代表了系统对输入的传输作用,故称为响应对激励的传输算子故称为响应对激励的传输算子,或系统的或系统的传输算子传输算子三、转移算子三、转移算子求系统的零输入响应：求系统的零输入响应：激励激励 e(t)为零，求解齐次方程为零，求解齐次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。条件确定解中的待定系数。求系统的零状态响应：求系统的零状态响应：系统的初始状态为零，求解系统的初始状态为零，求解 的非齐次方程。的非齐次方程。四、系统算子方程的一般表达式四、系统算子方程的一般表达式例例电路如图电路如图(a)所示，试写出所示，试写出u1(t)对对f(t)的传输算子的传输算子。解解 画出算子模型电路如图(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为 所以所以u1(t)对对f(t)的传输算子的传输算子为为它代表的实际含义是它代表的实际含义是 电容：电容：C1/Cp电感：电感：LLp 例例如如图图(a)所所示示电电路路，电电路路输输入入为为f(t)，输输出出为为i2(t)，试试建建立立该电路的输入输出算子方程。该电路的输入输出算子方程。电容：电容：C1/Cp电感：电感：LLp 解解 画画出出算算子子模模型型电电路路如如图图(b)所示。列出网孔电流方程如下：所示。列出网孔电流方程如下：整理：整理：该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法可以用代数方法求解，得求解，得系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。求系统的零输入响应：求系统的零输入响应：激励激励 e(t)为零，求解齐次方程为零，求解齐次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。条件确定解中的待定系数。-称为系统的称为系统的特征方程特征方程，方程解，方程解为特征方程的为特征方程的特征根特征根2.3系统的零输入响应系统的零输入响应一、零输入响应的概念一、零输入响应的概念二、特征方程二、特征方程转移算子：转移算子：转移算子分母转移算子分母D(p)：特征多项式特征多项式简单系统简单系统1：1阶齐次方程阶齐次方程 ，特征方程只有一个特征根，特征方程只有一个特征根 p=。积分常数积分常数C可根据可根据t=0时由未加激励前的初始储能决定的初始值时由未加激励前的初始储能决定的初始值r(t)=r(0)来确定。来确定。上式为上式为 一般情况下一般情况下：初始条件为初始条件为t=t0时，时，r(t)=r(t0)此时此时r(t)=r(t0)e(t-t0)1.简单系统简单系统将上述结论推广到一般情况，将上述结论推广到一般情况，n 阶齐次方程阶齐次方程，若其特征方程有，若其特征方程有 n 个单根个单根。则其解的一般形式为：则其解的一般形式为：式中：各各为响应中的为响应中的自然频率自然频率，也是也是H(p)的的极点极点；c1、c2cn是是n 个应由系统初始条件确定的系数。个应由系统初始条件确定的系数。三、简单系统的零输入响应三、简单系统的零输入响应简单系统简单系统2：系统特征方程在系统特征方程在 p=处，具有一个二阶重根。处，具有一个二阶重根。其解的通解其解的通解 积分常数积分常数c0、c1可根据可根据t=0时由未加激励前的初始储能决定的时由未加激励前的初始储能决定的初始值初始值r(t)=r(0)和和r(t)=r(0)来确定来确定。将上述结论将上述结论推广到一般情况，推广到一般情况，在在 p=处，具有一个处，具有一个k阶重根阶重根,有有 式中，系数式中，系数c0、c1、c2ck-1 由系统初始条件确定。由系统初始条件确定。2.一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应对于一般情况，设对于一般情况，设n阶连续系统，其特征方程具有阶连续系统，其特征方程具有n个特根个特根，设设1是是k 阶重根。阶重根。解题步骤：解题步骤：A、将将特征多项式特征多项式D(p)进行因式分解，即进行因式分解，即求出系求出系统统特征方程的根特征方程的根。其中设。其中设1有有k 阶阶重根重根，B、根据下式，求出第根据下式，求出第1个根个根1对应的零输入响应对应的零输入响应 C、将将所有所有特征特征根的根的响应相加，得到系统的零输入响应，即响应相加，得到系统的零输入响应，即D、根据给定的零输入响应初始条件根据给定的零输入响应初始条件 r(k)(0)k=0,1,2,n-1 确定常数确定常数 C1,C2,C(r i-1)（i=1,2,k）。.小结小结图示图示RLC串联电路中，设串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2。若激励。若激励电压电压e(t)为零，且电路的初始条件为零，且电路的初始条件（1）i(0)=1A/s,i(0)=0;(2)i(0)=0,uc(0)=10V,这里压降这里压降uc 的正方向设与电流的正方向设与电流i的正方向一致。分别求上述两种初始条件时电路的零输入的正方向一致。分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。响应电流。例题例题2-1：上题中如将电路电阻改为上题中如将电路电阻改为1 1，初始条件为（，初始条件为（1 1），求），求 零输入响应电流。零输入响应电流。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为求系数求系数C C1 1、C C2 2：将将 和和 代入式（代入式（2-19C2-19C）得：得：例题例题2-2：解：解：一、奇异函数的定义一、奇异函数的定义有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法不好确定，这样的函数统称奇异函数有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法不好确定，这样的函数统称奇异函数二、典型奇异函数二、典型奇异函数1.阶跃函数阶跃函数连续时间单连续时间单位位阶跃阶跃信号用信号用(t t)表示，定义为表示，定义为 当当t=0时时,取值没有定义取值没有定义 函数函数 (t-t1):在在 t=t1 处由处由0 跃变为跃变为1 的单位阶跃函数，它较的单位阶跃函数，它较 (t)延迟一时间延迟一时间 t1 2.4奇异函数奇异函数举例举例：在电路分析中，单位直流电压源或电流源，通过一个在在电路分析中，单位直流电压源或电流源，通过一个在t=0时刻闭合的开关时刻闭合的开关,加到电路上的电压信号或电流信号，就可数学抽加到电路上的电压信号或电流信号，就可数学抽象为象为(t)。*单位阶跃函数单位阶跃函数(t)乘以任何一个函数乘以任何一个函数 f(t)后后,其乘积在阶跃之前其乘积在阶跃之前为零为零,在阶跃之后保持原在阶跃之后保持原f(t)值值*单位阶跃函数单位阶跃函数(t-t1)和另一函数相乘，有将后者从和另一函数相乘，有将后者从t1 之前全部之前全部切除的作用切除的作用。KEu(t)u(t)t=0时时,K闭闭合合u(t)=Et=0 (t)移位移位:tt(a)(b)(c)画出画出sin t、sin t(t-t0)、sin(t-t0)(t-t0)波形波形例例：画出f(t-2)(t-2)的波形1t1 f(t)0-11t1 f(t-2)(t-2)02由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号例例11t0tf(t)0(t)tf(t)10t0-(t-t0)例例21t1 f(t)01t1 f(t)0f(t)=t(t)-(t-1)+(t-1)=t(t)-(t-1)(t-1)2.冲激函数冲激函数定义定义1：从某些函数的极限来定义函数：从某些函数的极限来定义函数 冲激函数有几种不同的定义方式，本课程介绍两种定义。冲激函数有几种不同的定义方式，本课程介绍两种定义。单位冲激函数单位冲激函数(t)可视为幅度可视为幅度1/与脉宽与脉宽的乘积（矩形面积）的乘积（矩形面积）为为1个单位的矩形脉冲，当个单位的矩形脉冲，当趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极限情况。限情况。1矩形脉冲的极限矩形脉冲的极限:冲激函数常用图示带箭头的线段来表示。冲激函数常用图示带箭头的线段来表示。函数只在函数只在t=0处有处有“冲激冲激”，而在，而在t 轴上其它各点取值为零。轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁注上，则在带箭头的线段旁注上(1)，表明表明冲激强度冲激强度为单位值。如果在图形上将为单位值。如果在图形上将(A)注于注于箭头旁，则表示冲激强度为箭头旁，则表示冲激强度为A单位值的单位值的(t)函数。函数。单位冲激函数单位冲激函数又称又称狄拉克（狄拉克（Dirac）函数）函数，函数的定义式为：，函数的定义式为：(t-t0）则表示在则表示在 t=t0 处所出现的冲激，处所出现的冲激，如图所示。显然有如图所示。显然有：冲激函数还可是三角形脉冲、高斯脉冲、抽样等函数的极限情况。冲激函数还可是三角形脉冲、高斯脉冲、抽样等函数的极限情况。定义定义2：利用广义函数（或称分配函数）定义函数：利用广义函数（或称分配函数）定义函数 考虑任何一个函数考虑任何一个函数 f（t）（该函数必须在（该函数必须在 t=0 处连续）乘以单位冲激函数后处连续）乘以单位冲激函数后在在 -t m2）一般系统：）一般系统：系统的特征根系统的特征根D(p)=0的根的根无重根无重根ki的计算公式：的计算公式：情况情况2：n=m系统的冲激响应除包含指数函数外，还包含冲激函数。系统的冲激响应除包含指数函数外，还包含冲激函数。对于一般微分方程的系统的冲激响应为：对于一般微分方程的系统的冲激响应为：bm 为转移算子中为转移算子中Pm的系数的系数情况情况3：nm 系统的冲激响应除包含指数函数、冲激函数外，还包含有系统的冲激响应除包含指数函数、冲激函数外，还包含有直到直到(m-n)(t)的冲激函数的各阶导数：的冲激函数的各阶导数：3）一般系统，系统的特征根（）一般系统，系统的特征根（D(p)=0的根）中的根）中1有有s个重根个重根假设假设mn，有可以证明：可以证明：则：则：重根系数重根系数2.系统的冲激响应的计算方法系统的冲激响应的计算方法2初始条件法初始条件法 将冲激响应的影响看成是将冲激响应的影响看成是t=0+时的初始条件。时的初始条件。只要确定这只要确定这一组初始条件，冲激响应可用求零输入响应的方法求取一组初始条件，冲激响应可用求零输入响应的方法求取线性系统的算子方程：线性系统的算子方程：当当 e(t)=(t)时时:r(t)=h(t)单位冲激激励引起的在单位冲激激励引起的在t=0+时的时的n个初始条件：个初始条件：将冲激激励转化成将冲激激励转化成0+时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例例2-4分析过程：分析过程：3.系统的冲激响应的计算方法系统的冲激响应的计算方法3系数平衡法系数平衡法比较等式两边相同函数的系数，得到解答比较等式两边相同函数的系数，得到解答例例题题2-4例题例题2-3例题例题2-5例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。解：解：由冲激响应的定义，当由冲激响应的定义，当e(t)=(t)时，时，rzs(t)=h(t)推导推导:初始条件法小结初始条件法小结解解：试求该系统的冲激响应r(t)的求解方法的求解方法方法方法1 1：方法方法2：利用叠加原理，把系统对激励信号的各分量利用叠加原理，把系统对激励信号的各分量(阶跃函数序列阶跃函数序列或冲激函数序列或冲激函数序列)的响应进行叠加以求取系统的零状态响应的响应进行叠加以求取系统的零状态响应(杜阿美尔积分或杜阿美尔积分或卷积积分卷积积分)。本节只介绍卷积积分本节只介绍卷积积分*1.杜阿美尔积分杜阿美尔积分任意一函数任意一函数 f（t）可用若干个阶跃函数之和近似表示：可用若干个阶跃函数之和近似表示：用用 e(t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为代表激励函数，则激励函数可近似表示为:（2-56）阶跃幅值阶跃幅值时移为时移为k t的阶跃函数的阶跃函数2.7 2.7 叠加积分叠加积分变换积分变量杜阿美尔积分的另一种形式变换积分变量杜阿美尔积分的另一种形式:或或:在时域中利用叠加积分由阶跃响应求系统对激励函数的零状态在时域中利用叠加积分由阶跃响应求系统对激励函数的零状态响应的积分公式响应的积分公式杜阿美尔积分杜阿美尔积分将积分下限改为将积分下限改为0-系统对激励函数系统对激励函数e(t)的总响应为的总响应为:任意一函数任意一函数f(t)可用若干个冲激函数之和近似表示：可用若干个冲激函数之和近似表示：用用 e(t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为代表激励函数，则激励函数可近似表示为:2.卷积积分卷积积分 冲激强度冲激强度位于位于k t处的冲激函数处的冲激函数系统对激励函数系统对激励函数e(t)的总响应可近似为的总响应可近似为:当当t无限趋小时无限趋小时:td,kt ,e(kt)e(),对各项取和变成取积对各项取和变成取积分分系统对激励函数系统对激励函数e(t)的总响应为的总响应为:变换积分变量卷积积分的变换积分变量卷积积分的另一种形式另一种形式:在时域中利用叠加积分由冲激响应求系统对激励函数的零状态响在时域中利用叠加积分由冲激响应求系统对激励函数的零状态响应的积分公式应的积分公式 卷积积分卷积积分 （2-60）（2-61a）（2-61b）设：系统的单位冲激响应为设：系统的单位冲激响应为h(t)：(t)h(t)当当系统在系统在t=k t处处激励函数为激励函数为则系统在则系统在t=k t处的冲激响应为处的冲激响应为tkte(kt)t h(t-kt)e(t)tktte(kt)(a)激励函数分解成若干个脉冲函数(b)第k 个脉冲的冲激响应(c)冲激响应叠加后的总响应图2-20 卷积积分示意图tr(t)e(kt)t h(t-kt)r(t)kt用冲激响应用冲激响应求系统的零状态响应方法：求系统的零状态响应方法：给定一系统或其微分方程，可求出系统的冲激响应给定一系统或其微分方程，可求出系统的冲激响应(或阶跃或阶跃响应响应),然后用叠加积分就可求出系统的零状态响应。然后用叠加积分就可求出系统的零状态响应。激励信号可以分解为一系列冲激函数的积分激励信号可以分解为一系列冲激函数的积分-卷积积分卷积积分 卷积积分 结论：结论：如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算出系统对任意信号出系统对任意信号e(t)的响应。的响应。激励激励:响应响应:与杜阿美积分相比,这里并不需要信号连续、可导,所以其实用性大大优于杜阿美积分叠加积分可推广用于叠加积分可推广用于线性线性时变时变系统：系统：系统响应为：系统响应为：激励函数激励函数e(t)=(0.5t+1)(t)-(t-2)+(t+1)(t-2)加于加于RC串串联电路。设联电路。设R=0.5,C=2F,且初始状态为零，求响应电流且初始状态为零，求响应电流i(t).解：由例题解：由例题2-3解得解得RC电路的冲激响应为：电路的冲激响应为：激励函数激励函数响应电流为响应电流为例题例题2-6e(t)=(0.5t+1)(t)-0.5t(t-2)一、一、卷积的卷积的定义定义 一般而言，如果有两个函数一般而言，如果有两个函数f1(t)、f2(t)，积分，积分称为称为f1(t)、f2(t)的卷积积分，简称卷积：的卷积积分，简称卷积：2.8卷积及其性质卷积及其性质 信信号号f1(t)与与f2(t)的的卷卷积积运运算算可可通通过过以以下下几几个个步步骤骤来来完完成成：第第一一步步，画画出出f1(t)与与f2(t)波波形形，将将波波形形图图中中的的t轴轴改改换换成成轴，分别得到轴，分别得到f1()和和f2()的波形。的波形。第二步，第二步，将将f2()波形以纵轴为中心轴翻转波形以纵轴为中心轴翻转180,得到得到f2(-)波形。波形。第第三三步步，给给定定一一个个t值值，将将f2(-)波波形形沿沿轴轴平平移移|t|。在在t0时时，波波形形往往右右移移。这这样样就就得得到到了了f2(t-)的的波形。波形。换积分变量换积分变量反褶反褶平移平移相乘相乘叠加（积分）叠加（积分）二、卷积的图解机理二、卷积的图解机理 第第四四步步，将将f1()和和f2(t-)相相乘乘，得得到到卷卷积积积积分分式式中中的的被积函数被积函数f1()f2(t-)。第第五五步步，计计算算乘乘积积信信号号f1()f2(t-)波波形形与与轴轴之之间间包包含含的净面积，便是式的净面积，便是式卷积在卷积在t时刻的值。时刻的值。第第六六步步，令令变变量量t在在(-，)范范围围内内变变化化，重重复复第第三三、四四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。求求f(t)与与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数的卷积，实质上是求一个新函数f()h(t )在在 由由0到到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在在0到到t区间内的定积分值，决定于被积函数区间内的定积分值，决定于被积函数f()h(t )的的曲线在该区间内与曲线在该区间内与 轴之间所限定的面积。轴之间所限定的面积。举例（）变量替换后，将其中一信号反折（）变量替换后，将其中一信号反折（）平移（）平移（左移到与另一信号没有重合后左移到与另一信号没有重合后,再右移再右移)*解解:t-2（）相乘（）相乘（）相乘（）相乘（4）相加：以上各图中的）相加：以上各图中的阴影面积阴影面积，即为，即为相乘积分的结果相乘积分的结果 最后，最后，若以若以t为横坐标，将与为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是对应积分值描成曲线，就是卷积积分卷积积分e(t)*h(t)函数图像。函数图像。附附：序序号号0102030405060708091011121314卷卷积积表表1.卷积代数卷积代数 作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律：作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律：（1）互换律互换律设有设有u(t)、v(t)两函数，则两函数，则 这表明这表明卷积结果与两函数的次序无关卷积结果与两函数的次序无关（2）分配律：分配律：设有设有u(t)、v(t)、w(t)三函数，则三函数，则 实际上这个结果也是线性系统实际上这个结果也是线性系统叠加特性叠加特性的体现的体现（3）结合律：）结合律：设有设有u(t)、v(t)、w(t)三函数，则三函数，则（2-63）（2-65）（2-64）卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。三、三、卷积的性质卷积的性质 卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分却与函数相乘的微分或积分性质不同。却与函数相乘的微分或积分性质不同。(4)函数相卷积后的微分函数相卷积后的微分 两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积。函数的卷积。其表示式为：其表示式为：(5)函数相卷积后的积分函数相卷积后的积分 两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积。函数的卷积。其表示式为：其表示式为：（2-66）（2-67）第4号公式 （2-68）此外：有卷积的微分和积分卷积的微分和积分（6）函数延时后的卷积函数延时后的卷积两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。为两函数分别延时量的和。如果则有（2-69）卷积的延时性质卷积的延时性质互相关函数定义：互相关函数定义：两时间实函数两时间实函数x(t)、y(t)的相关运算由积分定义的相关运算由积分定义Rxy(t)函数称为函数称为x(t)与与 y(t)的互相关函数，的互相关函数，而而Ryx(t)函数称为函数称为y(t)与与 x(t)的互相关函数的互相关函数令令=-t 作变量置换，且置换后将积分变量作变量置换，且置换后将积分变量 仍用仍用 表示表示,有：有：（2-70a）（2-70b）Rxy(t)与与Ryx(t)的关系：的关系：（2-71a）（2-71b）比较（2-70）与（2-71）（2-72）相关与卷积相关与卷积自相关函数定义：自相关函数定义：进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得结果进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得结果为自相关函数。为自相关函数。相关运算与卷积运算的关系：相关运算与卷积运算的关系：自相关函数为时间自相关函数为时间 t 的偶函数的偶函数（2-73）（2-74a）（2-74b）(t)(t)=t(t)，e t(t)e t(t)=te t(t)若若f(t)=fa(t)*fb(t)fa(t)定义在定义在(ta1，ta2)fb(t)定义在定义在(tb1，tb2)则则f(t)的定义范围为：的定义范围为：(ta1+tb1，ta2+tb2)几个特殊函数的卷积：几个特殊函数的卷积：例例图解法：图解法：解析法：直接根据卷积定义式计算解析法：直接根据卷积定义式计算方法四方法四应用卷积的微分与积分性质求解应用卷积的微分与积分性质求解方法方法1：图解法：图解法例题 2-7 P58 例题2-8 P65 方法方法2：解析法：解析法根据卷积定义求解根据卷积定义求解f(t)=f1(t)*f2(t)方法方法3：应用卷积的微分与积分性质求解：应用卷积的微分与积分性质求解 例2-8 P65例题例题 2-9求矩形脉冲求矩形脉冲f1(t)=(t-t1)-(t-t2),t2t1和指数函数和指数函数f2(t)=e-t(t)的卷积的卷积解：解：方法方法1：图解法：图解法tt2t11g(t)方法方法2：应用卷积的微分与积分性质求解：应用卷积的微分与积分性质求解已知已知 f f1 1(t)=t(t)=t(t)-(t)-(t+1),f(t+1),f2 2(t)=(t)=(t)-(t)-(t-1)(t-1)求求 f(t)=f f(t)=f1 1(t)*f(t)*f2 2(t)(t)f(t)=0.5(1-t2)(t+1)-(t+1)-(t)+0.5(1-t)(t)+0.5(1-t)2 2 (t)-(t)-(t-(t-1)1)f f2 2(t-(t-)1-1tf f1 1()-11f f1 1()f)f2 2(t-(t-)-11t当-1t0时梯形面积为梯形面积为0.5(-t+1)(1+t)-1+tf f1 1()f)f2 2(t-(t-)f f2 2(t-(t-)1-1tf f1 1()-11-11当0t1时面积为面积为0.5(1-t)2f f1 1(-(-)-11tf f2 2()11tf f2 2(t-(t-)1-1t=0例例:例例 图2(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分g(t)*g(t)。由于门函数是偶函数，故其波形绕由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转纵轴翻转180后与原波形重叠，图后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，中用虚线表示。注意，t=0时，门函时，门函数左边沿位于数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位位置，右边沿位于于x=/2位置，如图位置，如图(b)所示。所示。方法一方法一图解法。图解法。在任一在任一t时刻，移动门函数左边沿时刻，移动门函数左边沿位于位于x=t-/2位置，位置，右边沿则位于右边沿则位于x=t+/2位置，如图位置，如图(c)所示所示按照图卷积过程的图解表示，可计算求得：按照图卷积过程的图解表示，可计算求得：方法一图 图解法图解法方法二方法二应用卷积运算的微积分和时移性质应用卷积运算的微积分和时移性质方法二图 1.解析法：根据卷积定义式求解解析法：根据卷积定义式求解2.2.图解法求解图解法求解3.3.利用卷积性质求解利用卷积性质求解例：求te(t)312th(t)1卷积积分的求解方法小结：卷积积分的求解方法小结：举例1 举例2 如图所示系统的如图所示系统的e(t)e(t)、h(t)h(t)，求其零状态响应，求其零状态响应解：举例3 P84 习题 2.27 齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解例例4a解解：一、线性系统响应的时域求解方法一、线性系统响应的时域求解方法 一个线性非时变系统对于某一激励函数的响应可看成一个线性非时变系统对于某一激励函数的响应可看成由由零输响应和零状态响应零输响应和零状态响应部分组成。部分组成。零输入响应零输入响应由系统的特征和开始计算时间由系统的特征和开始计算时间 t=0 时系统的初始时系统的初始储能决定，储能决定，它可由齐次方程得到。它可由齐次方程得到。零状态响应零状态响应则由则由系统的特征和外加激励决定，系统的特征和外加激励决定，它可由外加激励它可由外加激励函数与系统的单位激响应相卷积得到。函数与系统的单位激响应相卷积得到。2.9线性系统响应时域求解线性系统响应时域求解系统微分方程的一般形式为：系统微分方程的一般形式为：其中其中 为转移算子为转移算子设特征方程无重根，且考虑设特征方程无重根，且考虑 N(p)的幂次一般低于的幂次一般低于 D(p)，则有：则有：j 为为特征方程特征方程 D(p)=0 的的 n 个根中的第个根中的第 j 个根；个根；Kj 是是转移算子展开为部分分式后的相应项的系数。转移算子展开为部分分式后的相应项的系数。线性系统全响应时域求解的步骤如下：线性系统全响应时域求解的步骤如下：第一步：第一步：由系统微分方程求转移算子由系统微分方程求转移算子第二步：第二步：求零输入响应求零输入响应 设特征方程无重根，设特征方程无重根，i 为为特征方程特征方程 D(p)=0 的的 n 个根中的个根中的第第 j 个根，则系统的零输入响应为个根，则系统的零输入响应为 相应的各系数相应的各系数Cj 须由未加输入的初始条件确定。须