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12第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法一一根根轨迹法的基本概念迹法的基本概念 二二 根根轨迹迹绘制的基本法制的基本法则三三 广广义根根轨迹迹四四 系系统性能分析性能分析本章主要内容：本章主要内容：3本章要求本章要求1 1、正确理解根、正确理解根轨迹的概念；迹的概念；2 2、掌握根、掌握根轨迹的迹的绘制法制法则，能熟，能熟练绘制根制根轨迹；迹；3 3、了解广、了解广义根根轨迹；迹；4 4、能根据根、能根据根轨迹定性分析系迹定性分析系统指指标随参数随参数变化的化的趋势；5 5、掌握确定、掌握确定闭环零极点及零极点及计算系算系统动态指指标的方法。的方法。第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1）本本节主要内容：主要内容：1、根根轨迹概念迹概念 2、根根轨迹与系迹与系统性能性能 3、闭环零极点与开零极点与开环零极点的关系零极点的关系 4、根根轨迹方程迹方程54-1-1 根根轨迹概念迹概念1、根根轨迹迹一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（2）开开环系系统（传递函数）的每一个参数从零函数）的每一个参数从零变化到无化到无穷大大时，闭环系系统特征方程根在特征方程根在 s s平面上的平面上的轨迹称迹称为根根轨迹。迹。2、举例例说明明A 控制系控制系统如如图6B 闭环传递函数函数一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（3）其其闭环传递函数函数为：C 闭环特征方程特征方程特征方程式可写特征方程式可写为 7一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（4）D 特征方程的根特征方程的根特征方程式的根特征方程式的根为E s s平面根平面根轨迹迹 见右右图84-1-2 根根轨迹与系迹与系统性能性能1、稳定性定性当开当开环增益从零增益从零变到无到无穷时，上面，上面图中的根中的根轨迹不会越迹不会越过虚虚轴进入右入右半半s s平面，因此平面，因此对所有的所有的K K值都是都是稳定的。定的。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（5）2、稳态性能性能开开环系系统在坐在坐标原点有一个极点，所原点有一个极点，所以系以系统属属I I型系型系统，因而根，因而根轨迹上的迹上的K K值就是静就是静态速度速度误差系数。如果差系数。如果给定定系系统的的稳态误差要求，差要求，则由根由根轨迹迹图可以确定可以确定闭环极点位置的容极点位置的容许范范围。93、动态性能性能当当0 0K K0.50.5时，所有，所有闭环极点位于极点位于实轴上，系上，系统为过阻尼阻尼系系统，单位位阶跃响响应为非周期非周期过程；程；当当K K0.50.5时，闭环两个两个实数极点重合，数极点重合，系系统为临界阻尼系界阻尼系统，单位位阶跃响响应仍仍为非周期非周期过程，但响程，但响应速度速度较0 0K K0.50.5情况情况为快；快；当当K K0.50.5时，闭环极极为复数极点，系复数极点，系统为欠阻尼系欠阻尼系统，单位位阶跃响响应为阻尼振阻尼振荡过程，且超程，且超调量将随量将随K K值的增大而加大。的增大而加大。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（6）104-1-3闭环零极点与开零极点与开环零极点的关系零极点的关系 1、典型控制系典型控制系统系系统特征方程特征方程为一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（7）11 2、前向通路前向通路传递函数函数 在一般情况下，前向通路在一般情况下，前向通路传递函数可表示函数可表示为 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（8）：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通道根：前向通道根轨迹增益迹增益 12 3、反反馈通路通路传递函数函数 在一般情况下，反在一般情况下，反馈通路通路传递函数可表示函数可表示为一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（9）：反：反馈通道根通道根轨迹增益迹增益13 4、开开环传递函数函数 系系统的开的开环传递函数可表示函数可表示为 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（10）145、闭环传递函数函数将前向通路将前向通路传递函数函数G(s)和反和反馈通路通路传递函数函数H(s)代入代入得得 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（11）15 6、开开闭环零极点关系零极点关系（1 1）闭环系系统根根轨迹增益，等于开迹增益，等于开环系系统前向通路根前向通路根轨迹增益。迹增益。对于于单位反位反馈系系统，闭环系系统根根轨迹增益迹增益等于开等于开环系系统根根轨迹益。迹益。（2 2）闭环零点由开零点由开环前向通路前向通路传递函数的零点和反函数的零点和反馈通路通路传递数的极点所数的极点所组成。成。对于于单位反位反馈系系统，闭环零点就是开零点就是开环零点。零点。（3 3）闭环极点与开极点与开环零点、开零点、开环极点以及根极点以及根轨迹增益迹增益 均有关。均有关。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（12）164-1-4 根根轨迹方程迹方程1、系系统闭环特征方程特征方程 由由闭环传函可得系函可得系统闭环特征方程特征方程为：一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（13）2、根根轨迹方程迹方程 当系当系统有有m m个开个开环零点和零点和n n个开个开环极点极点时，下，下式称式称为根根轨迹方程迹方程173、根根轨迹相角条件迹相角条件（充分必要条件）（充分必要条件）一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（14）4、根根轨迹模迹模值条件条件 用来确定根用来确定根轨迹上各点得迹上各点得 值，模，模值条件条件为 根据根据这两个条件，可以完全确定两个条件，可以完全确定s s平面上的根平面上的根 轨迹和根迹和根轨迹上迹上对应的的 值。18二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则本本节主要内容：主要内容：1、绘制根制根轨迹的基本方法迹的基本方法 2、根根轨迹法迹法则应用用举例例 3、闭环极点的确定极点的确定19 本本节讨论绘制概略根制概略根轨迹的基本法迹的基本法则和和闭环极极点的确定方法。点的确定方法。在下面的在下面的讨论中，假定所研究的中，假定所研究的变化参数是根化参数是根轨迹增迹增值 ，当可，当可变参数参数为系系统的其它参数的其它参数时，这些基本法些基本法则仍然适用。仍然适用。应当指出的是，用当指出的是，用这些基些基本法本法则绘出的根出的根轨迹，其相角遵循条件迹，其相角遵循条件 ，因此称因此称为 根根轨迹，相迹，相应的的绘制法制法则也就可以也就可以叫做叫做 根根轨迹的迹的绘制法制法则。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1）204-2-1 根根轨迹迹绘制基本法制基本法则 法法则1 1 根根轨迹的起点和迹的起点和终点。根点。根轨迹起始于开迹起始于开环极点，极点，终止于开止于开环零点。零点。证明：明：设闭环系系统特征方程特征方程为 式中式中可以从零可以从零变到无到无穷。当。当时，有，有 说明明 时，闭环特征方程式的根就是开特征方程式的根就是开环传递函数函数 G(s)H(s)G(s)H(s)的极点，所以根的极点，所以根轨迹必起于开迹必起于开环极点。极点。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2）21将特征方程改写将特征方程改写为如下形式：如下形式：当当 时，由上式可得，由上式可得 所以根所以根轨迹必迹必终于开于开环零点。零点。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（3）22法法则2 2 根根轨迹的分支数和迹的分支数和对称性称性 根根轨迹的分支数迹的分支数与开与开环极点数极点数n n相等（相等（nmnm），或与开），或与开 环有限零点数有限零点数m m相等（相等（nm)nm nm 时，则有（有（n-m)n-m)条根条根轨迹分支迹分支终止于无限零点。止于无限零点。这些根些根轨迹分支迹分支趋向无向无穷远的的渐近近线由与由与实轴的的夹角和角和交点来确定。交点来确定。与与实轴夹角角与与实轴交点交点二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（5）24 法法则4 实轴上的根上的根轨迹：迹：若若实轴的某一个区域是一部分根的某一个区域是一部分根轨迹，迹，则必有：必有：其右其右边（开（开环实数零点数数零点数+开开环实数极点数）数极点数）为奇数。奇数。这个个结论可以用相角条件可以用相角条件证明。明。任一点位于根任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。迹上的充要条件，是相角条件成立。考考虑到到这些相角中的每一个相角都等于些相角中的每一个相角都等于 ，减去，减去 就相当于就相当于 加上加上 角。于是，点位于根角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（6）25 法法则5 根根轨迹分离点迹分离点 两条或两条以上的根两条或两条以上的根轨迹分支在迹分支在 s s 平面上相遇又立即平面上相遇又立即分开的点称分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）。分离点分离点的坐的坐标 d d 由下列方程所决定：由下列方程所决定：二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（7）26或或注：注：（1 1）根）根轨迹出迹出现分离点分离点说明明对应是特征根出是特征根出现了重根。了重根。（2 2）若）若实轴上的根上的根轨迹的左右两迹的左右两侧均均为开开环零点（包括零点（包括 无限零点）或开无限零点）或开环极点（包括无限极点），极点（包括无限极点），则在此在此 段根段根轨迹上必有分离点。迹上必有分离点。（3 3）分离点若在复平面上，）分离点若在复平面上，则一定是成一定是成对出出现的。的。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（8）27例例 绘制制图示系示系统大致的根大致的根轨迹迹解：解：（1 1）开）开环零点零点 开开环极点极点 根根轨迹分支数迹分支数为3 3条，有两个无条，有两个无穷远的零点。的零点。（2 2）实轴上根上根轨迹迹二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（9）28（3 3）趋向无向无穷远处的的渐近近线的的夹角与交点角与交点（4 4）分离点（用）分离点（用试探法求解）探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（10）29法法则6根根轨迹的起始角和迹的起始角和终止角止角起始角：根起始角：根轨迹离开复平面上开迹离开复平面上开环极点极点处的切的切线与与实轴 的的夹角角 。终止角：根止角：根轨迹迹进入复平面上开入复平面上开环零点零点处的切的切线与与实轴 的的夹角角 。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（11）30 法法则7 根根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点 交点交点对应的根的根轨迹增益迹增益 和角和角频率率 可以用可以用劳斯判斯判据或令据或令闭环特征方程中的特征方程中的 ，然后分，然后分别令其令其实部和虚部和虚部部为零来确定。零来确定。实际上若根上若根轨迹与虚迹与虚轴相交，相交，则表示表示闭环系系统存在存在纯虚根，虚根，这意味着的数意味着的数值使使闭环系系统处于于临界界稳定状定状态。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（12）31 法法则8 根之和。根之和。系系统的的闭环特征方程在特征方程在nmnm的一般情况下，可以有不同的一般情况下，可以有不同形式的表示形式的表示式中，式中，为闭环特征根。特征根。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（13）32当当时，特征方程第二，特征方程第二项系数与系数与无关，无无关，无论取何取何值，开，开环n个极点之和个极点之和总是等于是等于闭环特征方程特征方程n个个根之和根之和在开在开环极点确定的情况下，极点确定的情况下，这是一个不是一个不变的常数。所以，的常数。所以，当开当开环增益增益 增大增大时，若，若闭环某些根在某些根在 平面上向左移平面上向左移动，则另一部分根必向右移另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（14）33例例 设单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为试绘制制闭环系系统根根轨迹。迹。解：解：首先将首先将 写成零、极点写成零、极点标准形式准形式 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（19）34由法由法则1 15 5可知，本例有两条根可知，本例有两条根轨迹分支，它迹分支，它们分分别起起于开于开环复数极点复数极点 ，终于有限零点和无限零点。于有限零点和无限零点。因此，在因此，在 上，必存在一个分离点上，必存在一个分离点，其方程，其方程为 经整理整理，可以求得可以求得和和 ，显然然应取取 ，根，根轨迹迹图见下下张片子。片子。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（20）35二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（21）36例例 设系系统开开环传递函数函数为 试绘制制该系系统概略根概略根轨迹。迹。解：解：将开将开环零、极点画在后面零、极点画在后面图中。按如下典型步中。按如下典型步骤 1 1）确定）确定实轴上的根上的根轨迹。本例迹。本例实轴上区域上区域 和和 为轨迹。迹。2 2）确定根）确定根轨迹的迹的渐近近线。本例。本例n n4 4，m m3 3，故只有，故只有 一条一条 的的渐近近线。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（22）373）确定分离点。本例无分离点。）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与）确定起始角与终止角。根止角。根轨迹在极点迹在极点处的的起始角起始角为类似方法可算出根似方法可算出根轨迹在复数零点迹在复数零点处的的终止角止角为根根轨迹迹图见下一下一张。各开各开环零、极点到零、极点到 的向量相的向量相角也在下面角也在下面图中中显示。示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（23）38二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（24）39二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（25）40例例 设系系统开开环传递函数函数为试绘制制闭环系系统的概略根的概略根轨迹。迹。解解:按下述步按下述步骤绘制概略根制概略根轨迹：迹：1 1）确定）确定实轴上的根上的根轨迹。迹。实轴上上 区域必区域必为根根轨迹。迹。2 2）确定根）确定根轨迹的迹的渐近近线。由于。由于 ，故有四条根，故有四条根轨迹迹 渐近近线，其，其二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（26）413 3）确定分离点。本例没有有限零点，故）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程于是分离点方程为 用用试探法算出探法算出4 4）起始角。量起始角。量测各向量相角，算得各向量相角，算得5 5）确定根）确定根轨迹与虚迹与虚轴交点。本例交点。本例闭环特征方程式特征方程式为 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（27）42应用用劳思判据，有思判据，有令令劳思表中思表中行的首行的首项为零，得零，得。根据。根据 行的行的系数，得如下系数，得如下辅助方程助方程代入代入 并令并令 ，解出交点坐，解出交点坐标。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（28）43根根轨迹与虚迹与虚轴相交相交时的参数，也可用的参数，也可用闭环特征方程直接求出。特征方程直接求出。将将 代入特征方程，可得代入特征方程，可得实部方程部方程为 虚部方程虚部方程为因此根因此根轨迹与虚迹与虚轴交点坐交点坐标应为 。将所得。将所得 值代入代入实部方程，立即解出部方程，立即解出 。所得。所得结果与果与劳思表法完全一思表法完全一样。整个系。整个系统概略根概略根轨迹如下一迹如下一张图所示。所示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（29）44二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（30）45 本本节主要内容：主要内容：1、参数根参数根轨迹迹 2、附加开附加开环零点的作用零点的作用 3、零度根零度根轨迹迹三、广义根轨迹三、广义根轨迹46三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1）广广义根根轨迹是指根迹是指根轨迹参数除了开迹参数除了开环增益之外的增益之外的所有根所有根轨迹。迹。通常，将通常，将负反反馈系系统中中 变化化时的根的根轨迹叫做常迹叫做常规根根轨迹。迹。474-3-1 参数根轨迹参数根轨迹参数根参数根轨迹迹：以非开：以非开环增益增益为可可变参数参数绘制的根制的根轨迹。迹。绘制参数根制参数根轨迹的法迹的法则与与绘制常制常规根根轨迹的法迹的法则完全相同。完全相同。只要在只要在绘制参数根制参数根轨迹之前，引入等效迹之前，引入等效单位反位反馈系系统和等效和等效传递函数概念，函数概念，则常常规根根轨迹的所有迹的所有绘制法制法则，均适用于参数根，均适用于参数根轨迹的迹的绘制。制。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2）48对闭环特征方程特征方程进行等效行等效变换，将其写，将其写为如下形式：如下形式：其中，其中，为除除 外，系外，系统任意的任意的变化参数，而化参数，而 和和为两个与两个与 无关的首一多无关的首一多项式。式。可得等效可得等效单位反位反馈系系统，其等效开，其等效开环传递函数函数为 画出的根画出的根轨迹，就是参数迹，就是参数 变化化时的参数根的参数根轨迹。迹。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（3）49例例 设位置随位置随动系系统如如图所示。所示。图中，系中，系统为比例控制系比例控制系统，系，系统为比例微分控制系比例微分控制系统，系，系统为测速反速反馈控制控制系系统，表示微分器表示微分器时间常数或常数或测速反速反馈系数。系数。试分析分析 对系系统性能的影性能的影 响，并比响，并比较系系统 和和在具有相在具有相 同阻尼比同阻尼比 时的有关特点。的有关特点。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（4）50解：解：显然，系然，系统和和具有相同的开具有相同的开环传递函数，即函数，即但它但它们的的闭环传递函数是不相同的，即函数是不相同的，即可以看出，两者具有相同的可以看出，两者具有相同的闭环极点极点，但是系但是系统具有具有闭环零点零点 。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（5）51现在将系在将系统或或的的闭环特征方程式写成特征方程式写成如果令如果令则上式代表一个根上式代表一个根轨迹方程，其根迹方程，其根轨迹如下迹如下张图所示。所示。图中，中，当当 时，闭环极点位置极点位置为 ，它即是系，它即是系统的的闭环极点。极点。为了确定系了确定系统和和在在 时的的闭环传递函数，在函数，在图中作中作 线，可得，可得闭环极点极点为 ，相，相应的的 值由由模模值条件算出条件算出为0.8。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（6）52系系统与与的根的根轨迹迹图如下如下三、广义根轨迹三、广义根轨迹（7）53于是于是和和而系而系统的的闭环传递函数与函数与 值无关，无关，应是是各系各系统的的单位位阶跃响响应，可以由拉氏反，可以由拉氏反变换法确定。法确定。对应的的阶跃响响应曲曲线见下一下一张图。对于系于系统，由于微分控制反映，由于微分控制反映了了误差信号的差信号的变化率，能在化率，能在误差信号增大之前，提前差信号增大之前，提前产生控生控制作用，因此具有良好的制作用，因此具有良好的时间响响应特性，呈特性，呈现最短的上升最短的上升时间，快速性，快速性较好；好；对于系于系统，由于速度反，由于速度反馈加加强了反了反馈作作用，具有最小的超用，具有最小的超调量。量。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（8）54单位位阶跃响响应图三、广义根轨迹三、广义根轨迹（9）554 3 2 附加开附加开环零点的作用零点的作用 在控制系在控制系统设计中，常用附加位置适当的开中，常用附加位置适当的开环零点的方零点的方法来改善系法来改善系统性能。因此，研究开性能。因此，研究开环零点零点变化化时的根的根轨迹迹变化，有很大的化，有很大的实际意意义。1 1、对系系统稳定性的改善定性的改善 设系系统开开环传递函数函数为:式中式中 为附加的开附加的开环实数零点。数零点。取取 为不同不同值时，根，根轨迹如下：迹如下：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（10）56当当时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（11）57当当时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（12）58当当时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（13）59当当时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（14）60 分析：分析：由由图可可见，当开，当开环极点位置不极点位置不变，而在系，而在系统中附加中附加 开开环负实数零点数零点时，将使系，将使系统的根的根轨迹迹图发生生趋向附加零向附加零 点方向的点方向的变形，而且形，而且这种影响将随开种影响将随开环零点接近坐零点接近坐标原点原点 的程度而加的程度而加强。如果附加的开。如果附加的开环零点不是零点不是负实数零点，而数零点，而 是具有是具有负实部的共部的共轭零点，那么它零点，那么它们的作用与的作用与负实数零点数零点 的作用完全相同。的作用完全相同。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（15）612、对系系统动态性能的改善性能的改善A、分析当分析当 即即 当根当根轨迹增益迹增益为 时，复数极点复数极点 和和 为闭 环主主导极点，极点，实数极点数极点 距虚距虚轴较远，为非主非主 导极点。在极点。在这种情下，种情下，闭环系系统近似近似为一个二一个二 阶系系统，具有良好的，具有良好的动 态性能。性能。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（16）62 B、当当 时，即，即 在在图中，中，实数极点数极点 为闭环主主导极点，此极点，此时系系 统等价于一等价于一阶系系统，其，其动 态过程程虽然可能是然可能是单的，的，但却具有但却具有较慢的响慢的响应速度速度 和和较长的的调节时间。也就。也就 是是说，此，此时稳态性能性能优于于 时，但，但动态性能性能 却却变差了。差了。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（17）63结论：只有当附加零点相只有当附加零点相对原有系原有系统开开环极点的位置极点的位置选配适当，才有可能使系配适当，才有可能使系统的的稳定性和定性和动态性能同性能同时得到明得到明显的改善。的改善。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（18）64 4-3-3 零度根零度根轨迹迹 在非最小相位系在非最小相位系统，此，此时相角条件相角条件为 在一些复在一些复杂系系统中，包含了正反中，包含了正反馈内回路，有内回路，有时为了了分析内回路的特性，分析内回路的特性，则有必要有必要绘制相制相应的根的根轨迹，其相角迹，其相角条件条件为 具有具有这类相角条件的相相角条件的相轨迹称迹称为：零度根：零度根轨迹迹三、广义根轨迹三、广义根轨迹（19）65零度根零度根轨迹的迹的绘制制以具有正反以具有正反馈内回路的的系内回路的的系统为例。具有正反例。具有正反馈内回内回路系路系统如如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就就相当于相当于绘制具有正反制具有正反馈系系统的根的根轨迹。迹。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（20）66正反正反馈的的闭环传函与开函与开环传函分函分别为：等效等效为相角方程（相角方程（幅角条件幅角条件）：）：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（21）67等效模方程（等效模方程（模模值条件条件）：）：与常与常规根根轨迹的相角条件和模迹的相角条件和模值条件相比：模条件相比：模值条件没条件没有有变化。化。所以零度根所以零度根轨迹的迹的绘制的制的规则只要考只要考虑相角条件所引起相角条件所引起的某些的某些规则的修改。的修改。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（22）68应调整的法整的法则有：有：规则3 渐近近线的的夹角角与与实轴夹角角与与实轴交点交点 规则4 实轴上的根上的根轨迹迹 若若实轴的某一个区域是一部分根的某一个区域是一部分根轨迹，迹，则必有：必有：其右其右边（开（开环实数零点数数零点数+开开环实数极点数）数极点数）为偶数。偶数。这个个结论可以用相角条件可以用相角条件证明。明。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（23）69规则6 根根轨迹的起始角和迹的起始角和终止角止角 起始角（出射角）：起始角（出射角）：终止角（入射角）：止角（入射角）：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（24）70例例 设具有正反具有正反馈回路系回路系统的内回路的内回路传递函数分函数分别为试绘制制该回路的根回路的根轨迹迹图。解：解：（1 1）系）系统的开的开环零极点分布零极点分布为 有三条根有三条根轨迹分支，迹分支，实轴上的根上的根轨迹（迹（-，-3-3，-2-2，）。）。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（25）71（2 2）根）根轨迹的迹的渐近近线（n-m)=2n-m)=2条，条，渐近近线夹角角（3 3）确定出射角）确定出射角三、广义根轨迹三、广义根轨迹（26）72（4 4）确定分离点）确定分离点（5 5）确定）确定临界开界开环增益，增益，显然根然根轨迹迹过坐坐标原点，坐原点，坐标 原点原点对应的开的开环增益增益为三、广义根轨迹三、广义根轨迹（27）73 整个系整个系统概略零度根概略零度根轨迹如下迹如下图所示。所示。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（28）74四、四、系统性能的分析系统性能的分析（1）闭环系系统零、极点位置零、极点位置对时间响响应性能的影响，性能的影响，可可总结如下：如下：1、稳定性定性。如果如果闭环极点全部位于极点全部位于s s左半平面，左半平面，则系系统一定一定是是稳定的，即定的，即稳定只与定只与闭环极点位置有关，而与极点位置有关，而与闭环零点位置无关。零点位置无关。2、运运动形式形式。如果如果闭环系系统无零点，且无零点，且闭环极点均极点均为实数极数极点，点，则时间响响应一定是一定是单调的；的；如果如果闭环极点均极点均为复数极点，复数极点，则时间响响应一般是一般是振振荡的。的。75 3、超超调量。量。超超调量主要取决于量主要取决于闭环复数主复数主导极点的衰减极点的衰减率率，并与其它，并与其它闭环零、极点接零、极点接近坐近坐标原点的程度有关。原点的程度有关。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（2）4、调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚主要取决于最靠近虚轴的的闭环复数复数极点的极点的实数数绝对值，如果，如果实数极点距虚数极点距虚轴最近，并且它附近没有最近，并且它附近没有实数零点，数零点，则调节时间主要取决于主要取决于该实数极点的模数极点的模值。765、实数零、极点影响。数零、极点影响。零点减小系零点减小系统阻尼，使峰阻尼，使峰值时间提前，超提前，超调量量增大；极点增加系增大；极点增加系统阻尼，使峰阻尼，使峰值时间滞后，超滞后，超调量减小。它量减小。它们的作用，随着其本身接近坐的作用，随着其本身接近坐标原点的原点的程度而加程度而加强。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（3）6、偶极子及其偶极子及其处理。理。如果零、极点之如果零、极点之间的距离比它的距离比它们本身模本身模值小一小一个数量个数量级，则它它们就构成了偶极子。就构成了偶极子。远离原点的离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必响必须考考虑。777、主主导极点极点。在在s平面上，最靠近虚平面上，最靠近虚轴而附近又无而附近又无闭环零点零点的一些的一些闭环极点，极点，对系系统性能影响最大，称性能影响最大，称为主主导极点，凡比主极点，凡比主导极点的极点的实部大部大6倍以上的其他倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。零、极点，其影响均可忽略。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（4）78例题例题（1）例例1某某单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为：要求：要求：（1）绘制系制系统的根的根轨迹草迹草图；（2）用根）用根轨迹法确定使系迹法确定使系统稳定的定的值范范围；（3）用根）用根轨迹法确定使系迹法确定使系统的的阶跃响响应不出不出现超超调的的最大取最大取值。解解：（1）闭环系系统特征方程特征方程为79分离点分离点整理得整理得解出解出与虚与虚轴交点交点令令解出解出例题例题（1）80系系统根根轨迹如下迹如下图例题例题（1）81（2）由（）由（1）中的）中的计算算结果可知，果可知，稳定范定范围为（3）依）依题意，也就是要求分离点意，也就是要求分离点处的的值：用模用模值条件解得条件解得例题例题（1）82例例2：单位位负反反馈系系统的开的开环传递函数函数为画出画出从从变化化时闭环系系统的根的根轨迹，并确定迹，并确定闭环系系统稳定定时的的值取取值范范围。解：解：开开环传函函变为如下形式如下形式例题例题（2）83渐进线与虚与虚轴交点交点令令解出解出由根由根轨迹及迹及计算算结果可以确定果可以确定的的稳定范定范围是是例题例题（2）84系系统根根轨迹如下迹如下图例题例题（2）85例例3：已知已知单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为要求要求：（：（1）当）当从从时，概略，概略绘制系制系统的的闭环根根轨迹；迹；（2）确定保）确定保证系系统稳定的定的值范范围；（3）求出系）求出系统在在单位位阶跃输入作用下入作用下稳态误差可能达差可能达到的最小到的最小绝对值。解：解：开开环传函函变为例题例题（3）86分离点分离点整理并解出整理并解出与虚与虚轴交点交点令令联立求解得立求解得例题例题（3）87画出的根画出的根轨迹如下迹如下图例题例题（3）88（2）由根）由根轨迹迹图可以看出，可以看出，值稳定范定范围对应于根于根轨迹与虚迹与虚轴的两个交点，所以有的两个交点，所以有（3）系）系统的静的静态位置位置误差系数差系数为由静由静态误差系数法，可求得系差系数法，可求得系统在在稳定范定范围内有内有例题例题（3）89例例4已知已知单位反位反馈系系统的开的开环传函函为该系系统在在取任何正取任何正值时均不均不稳定，利用根定，利用根轨迹迹图，说明在明在负实轴加一合适的开加一合适的开环零点零点可使系可使系统稳定。定。解：原系解：原系统的根的根轨迹如迹如图（a）所示，系）所示，系统不不稳定。定。若增加开若增加开环零点零点，系，系统开开环传函函变为则渐进线与与实轴的的夹角角渐近近线与与实轴的交点的交点例题例题（4）90根根轨迹迹图例题例题（4）91由由渐进线与与实轴的交点可知，当的交点可知，当时，交点在，交点在右半右半平面，系平面，系统仍不仍不稳定。定。当当时，交点在，交点在左半平面，可使原系左半平面，可使原系统稳定，相定，相应的根的根轨迹迹图见上一上一张图（b）、（）、（c）所示。）所示。该例例说明，适当增加开明，适当增加开环零点，可改善系零点，可改善系统的的稳定性。定性。例题例题（4）92例例5设单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为（1）画出）画出变化化时闭环系系统的根的根轨迹；迹；（2）求出系）求出系统处于于临界界稳定和定和临界阻尼界阻尼时的的值；（3）求出当）求出当时，闭环系系统的的单位位阶跃响响应。解解：（1）系）系统的特征方程的特征方程为得得例题例题（5）93进一步可改写成一步可改写成式中式中系系统的等效开的等效开环传函函为由此可画出以由此可画出以（或（或）为变量的广量的广义根根轨迹。迹。该广广义根根轨迹迹满足零度相角条件。足零度相角条件。例题例题（5）94实轴上的根上的根轨迹迹为令令代入相角条件，有代入相角条件，有得得可知上式可知上式为以以极点极点为圆心，以心，以为半径的半径的圆周。周。例题例题（5）95根根轨迹迹图如下如下例题例题（5）96（2）由）由劳思判据可求出系思判据可求出系统临界界稳定定时的两根的两根，响响应的的值为。系系统临界阻尼界阻尼时的的闭环极点可以由分离点方程求出，本极点可以由分离点方程求出，本题中也在园方程中，令中也在园方程中，令，得到，得到解得解得，这两个点就是根两个点就是根轨迹的分离点。迹的分离点。（3）时，系，系统的的闭环传函函为例题例题（5）97系系统输出出为单位位阶跃响响应为例题例题（5）98五、五、MATLABMATLAB在根轨迹中的应用在根轨迹中的应用绘制控制系制控制系统的根的根轨迹迹图 绘制根制根轨迹的常用命令迹的常用命令为rlocus(num,den)或或rlocus(num,den,K)。如果。如果K的范的范围给定，定，则MATLAB在在给定定K值范范围内内绘制制轨迹；否迹；否则K是自是自动确定。在确定。在绘制根制根轨迹迹时，MATLAB有有x，y坐坐标的自的自动定定标功能。如果用功能。如果用户需要，可自需要，可自行行设置坐置坐标的范的范围，只要在相，只要在相应的程序中加上如下的命令：的程序中加上如下的命令：V=-x x -y y；axis(V)它表示它表示x轴的范的范围为-xx，y轴的范的范围为-yy。99解解：K=1;Z=;P=0 -1 -2num,den=zp2tf(Z,P,K);Rlocus(num,den);V=-4 2-3 3;Axis(V);Title(Root-locus plot of G(s)=k/s(s+1)(s+2);Xlable(Re);Ylable(Im);运行运行结果如上果如上图所示。所示。例例 已知一已知一单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为试用用MATLAB绘制系制系统的根的根轨迹。迹。100num=1;Z=;den=1 3 2 0;Rlocus(num,den);V=-4 2-3 3;Axis(V);Title(Root-locus plot of G(s)=k/s(s+1)(s+2);Xlable(Re);Ylable(Im);运行运行结果所得的果所得的图形如右形如右图所示。所示。如本例中的如本例中的G（S）是以）是以传递函数的一般形式表示函数的一般形式表示时，可用下述程序求解。可用下述程序求解。101其中其中解：解：GC=tf(1 1.2,1);G0=tf(1,1 1 0);G0=tf(1,1 7);Rlocus(GC*G0*H);V=-10 1-6 6;Axis(V);Grid on;Xlable(Re);Ylable(Im);运行运行结果如果如图所示。所示。例一控制系例一控制系统如如图所示，所示，试用用MATLAB绘制制该系系统的根的根轨迹。迹。102由根由根轨迹迹图对系系统的性能的性能进行分析行分析在在对系系统性能的分析性能的分析过程中，一般需要确定根程中，一般需要确定根轨迹迹图上某一点上某一点的根的根轨迹增益和其它迹增益和其它对应的的闭环极点。极点。对此，只要在此，只要在rlocus指指令后，令后，调用下面的指令：用下面的指令：K2，P2=rlocfind(num,den)运行运行该指令后，在指令后，在显示根示根轨迹迹图形的屏幕上会生成一个十字光形的屏幕上会生成一个十字光标，同，同时在在MATLAB的命令窗口出的命令窗口出现“select a point in the graphics window”，提示用，提示用户选择一个点，当使用鼠一个点，当使用鼠标移移动十十字光字光标到希望的位置后，到希望的位置后，单击左左键，在，在MATLAB的命令窗口就的命令窗口就会会显示示该点的数点的数值、增益、增益K和和对应的其它的其它闭环极点。例如移极点。例如移动十十字光字光标至上一至上一页图中的中的A点，点，单击左左键后，在后，在MATLAB的命令的命令窗口窗口输出：出：103同法，可求得同法，可求得该图中中B点点对应的的输出出为：Selectd_point=-3.5000-0。0000i k2=13.1246 p2=-3.5000 0.2500+1.9203i由于在由于在B点点处根根轨迹的增益迹的增益值为13.1246，另外两个，另外两个闭环极点极点为0.2501.9203，因而相因而相应的系的系统为不不稳定。定。Selectd_point=0.0000+1.4091i k2=5.9571 p2=-2.9961 0.0020+1.4101i