无穷大与无穷小极限性质.ppt

第二章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 问题问题:根据极限的定义根据极限的定义,只能验证某个常数只能验证某个常数 A A 是是否为某个函数否为某个函数(x x)的极限的极限,而不能求出函数而不能求出函数(x x)的的极限极限.为了解决极限的计算问题为了解决极限的计算问题,下面介绍极限下面介绍极限的运算法则的运算法则.当一、一、无穷小无穷小定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：无穷小 是一个量，和变化过程有关.定理定理定理定理1.1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论.常数与无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.求求解解:利用定理1 可知二、二、无穷大无穷大定义定义2（直观定义）（直观定义）.若当 时，|f(x)|无限增大，则称函数当时为无穷大,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.例如：任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有 使对正数正数 X,总存在三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理定理2.在自变量的同一变化过程中,机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理 4 4 .若若则有推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)定理定理定理定理 5.5.若若且 B0,则有因此有：1、设 n 次多项式则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:1、因为数列是一种特殊的函数,因此定理3,4,5 对数列也是成立的.2、上述定理可推广到有限个情形.2 2、设分式函数、设分式函数其中都是多项式,则 若 x=3 时分母为 0!例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.求例例例例5.5.5.5.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例6 6 6 6.求求解解:分子分母同除以则原式比如比如：例例7.7.=0定理定理7.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则例例例例7.7.求求求求解解:令已知 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例8.8.求求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例9.9.试确定常数试确定常数 a a 使使解解:令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小性质(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法1）对型,约去公因子（有理化，因式分解等）(2)复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）对型，分子分母同除以最高次幂3）对 ，化为 型思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束