2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案.doc

绝密启用前2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 50 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：1正棱台、圆台的侧面积公式1sina ×cos b = sin(a + b) + sin(a - b)S = (c¢ + c)l22台侧1cosa ×sin b = sin(a + b) - sin(a - b)c¢ c其中 、 分别表示上、下底面21cosa ×cos b = cos(a + b) + cos(a - b)周长， 表示斜高或母线长.l214sina ×sin b = - cos(a + b) - cos(a - b)pV = R球体的体积公式：3，其中23球R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1设集合 A= x | x -1 > 0, B = x | log x > 0 |,则A Ç B2等于（）2Ax | x > 1Cx | x < -1Bx | x > 0Dx | x < -1或x > 112设 y= 4 , y = 8 , y = ( )0.90.44-1.5 ，则（）2123Ay >y >yBy >y >yCy >y >yDy >y >y31221312313235p3“cos 2a = -”是“a p= k +,k Î Z ”的212 A必要非充分条件C充分必要条件B充分非必要条件D既非充分又非必要条件4已知，是平面，m，n 是直线.下列命题中不正确的是（）A若 mn，m，则 nC若 m，m，则B若 m，=n，则 mnD若 m，m Ì b ，则r cos 2q 2r cosq 1-=表示的曲线是5极坐标方程A圆（2B椭圆C抛物线的最小值是C4D双曲线D56若 zÎC | z + 2 - 2i |= 1,则 | z - 2 - 2i |且）A2B37如果圆台的母线与底面成 60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（322 33122ppA pBCpD8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有A24 种 B18 种（）C12 种D6 种3 + 2 + (-1) (3 - 2 ) -n-nn-n-na的通项公式是a=,n = 1,2,L，则9若数列2nnlim(a + a +L+ a )等于12nn®¥11241724192425DABC2410某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令ì1,第 号同学同意第 号同学当选.ija = íî0,第i号同学不同意第j号同学当选.ij其中 i=1，2， ，k，且 j=1，2，k，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为（）A aB a+ a +L + a + a + a +L + a11121k21222kk 2+ a +L + a + a + a +L + a11211k1222C a a+ a a +L + a a11 1221 22k1 k 2 2,ï(x) = lg(1+ x2), g(x) = 0| x |£ 1.íï- x + 2, x > 1.îx2y2= 1右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.已知函数 f(x) = cos x - 2 sin x cos x - sin x.44（）求 f (x) 的最小正周期；（）若 xÎ0, 2.16（本小题满分 13 分）已知数列 a 是等差数列，且an1123（）求数列 a 的通项公式；n （）令b求数列nnnn17（本小题满分 15 分） 如图，正三棱柱 ABCA B C 的底面边长的 3，侧棱 AA =11111111118（本小题满分 15 分）如图，椭圆的长轴 A A 与 x 轴平行，短轴 B B 在 y 轴上，中心为 M（0，r）（b121 2（）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；交椭圆于两点C(x , y ), D(x , y )(y > 0);直线；1112222点G(x , y ), H (x , y )(y > 0).求证：=3433444124（）对于（）中的 C，D，G，H，设 CH 交 x 轴于点 P，GD 交 x 轴于点 Q.（证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形）19（本小题满分 14 分） 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C 三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处，（建立坐标系如图）（）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，点 P 应位于何处？20（本小题满分 14 分）（i） f（）证明：对任意的x（）在区间1，1上是否存在满足题设条件的奇函数 y = f (x)，且使得1ìïï2í1ï| f (u) - f (v) |=| u - v |,当u,v Î ,1 .ïî2 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 50 分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8C 9C 10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.14f (x); g(x)y 22pr2(a + b) 14= -36( - 4)x111213+ 4p三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13 分. （）解：因为 f(x) = cos x - 2 sin xcos x - sin x44= (cos x + sin x)(cos x - sin x) - sin 2x2222p= cos 2x - sin 2x = 2 cos(2x + )42pf (x) 的最小正周期T= p.=所以2ppp5p（）解：因为 0 £ £ ,所以 £ 2 + £x.x2444pp pp2 + = ppx2当时，取得最大值；当时，取得最小2x + =cos(2 + )cos(2 + )x4x44442pf (x) 0, 在2.值1. 所以2 上的最大值为 1，最小值为16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分 13 分.a a = 2,d = 2.a + a + a = 3a + 3d = 12,又d公差为 ，则（）解：设数列n12311a = 2n.nS = b + b +L + b ,b = a x = 2nx ,则由 n 得所以（）解：令nn12nnnS = 2x + 4x+nL(2 - 2)xn-1+ 2nx xS,= 2 + 4 + L + (2 - 2) + 2xxnx, nxn+12n23nnn2x(1- xn )x ¹ 1当时，式减去式，得 (1- ) = 2( +x S x x2+Lxn) - 2nxn+1=- 2nxn+1 ,1- xn2x(1- x ) 2nx所以 S =-n+1.n(1- x)21- xnx =1时, S= 2 + 4 + + 2n = n(n +1)综上可得当x =1时,LSn n= ( +1)当当nnx ¹ 12x(1- x ) 2nx时， S =n+1n-.(1- x)21- xn17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分 15 分.（）证明：CD/C B ，又 BD=BC=B C ， 四边形 BDB C 是平行四边形， BC /DB .11111111ÌË平面 AB D，直线 BC /平面 AB D.又 DB1 平面 AB D，BC11111 11111BD=BC=AB，1.BE = AC =2133B B 2tgÐB BE =113211113, V= 1SAF平面 BB C C，且 AF=22A -BB C113111=.112288解法二：在三棱柱 ABCA B C 中， SV111C -AA BA-A B CDABB1111133 3 27278=.211342811+ (y - r) = 1, 焦点坐标为 Fx212ab2- ba2 2e =.ay = k xb x + a (k x - r) = a b ,222222（）证明：将直线 CD 的方程112222222212k a r2a2r2x x= r2x + x =, x x =1b + a k212b212222212y = k xx x= r- b22将直线 GH 的方程2x + x2k r342- b2 =k x x由，得 1 121x + x12rx + x212（）证明：设点 P（p,0），点 Q（q,0），由 C、P、H 共线， p =121=11x - p k x22222由 D、Q、G 共线，同理可得由=12231221231234=234k x - k xk x - k x12231124(k - k )x x(k - k )x x即-=1223121412231124所以| p |=| q |,即| OP |=| OQ | .19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由题设可知，-,22yh2f (y) = 2(b) + (h - y)+ h平方和为22222233122数3ìï b2+ y ,当 b + y ³| h - y |,222（）解法一：P 至三镇的最远距离为 ( ) =îh- b2hy³ h22, y =*22b222h20, h³ b 时，³即,当y ³ y,22*当 yn*数，而 | h - y | 在(-¥, y* 上是减函数 . 由此可知 ,当 y = yn 时,函数 g(y) 取得最小值 . 当< 0, 即 h < b 时 , 函 数+ y2 在 b2上 , 当 y = 0 时 , 取 得 最 小 值b , 而2y*y*| h - y | 在(-¥, y* 上为减函数,且| h - y |> b. 可见, 当 y = 0时, 函数 g(y) 取得最小值. 答22); h < b当 时,点 P 的坐标为(0,0),其中22-当2ìï b22,当 b+ y2 ³| - | 解得b2 h yb2î h2- b2h22yì2*y* ³ 0,即h ³ b时,z = g(y),即 h < b时,z = g(y)的图象如图 (b) ，因此，当y = 0 时，函数 g(y) 取得最小值.*h < bh= a -b .22- 2b2，点 的坐标为（0，0），其中P222 a - b221222若P C 和 P A，且 P CMC，P AMA，所以点 P 与外心 M12122212且 P COC，P AOC，所以点 P 与 BC 边中点 O 重合时，12bP 到三镇的最远距离最小为 .答：当 h22= a -b < b时，点 P 的位置在原点 O.222)220本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.x Î-1,1时，有| f (x) =| f (x) - f (1) £| x -1|= 1- x, x -1 £ f (x) £ 1- x.即u,v Î-1,1,当| u - v |£ 1时,有 | f(u) - f(v) |£| u - v |£ 1.（）证法一：对任意的当| u - v |> 1时,u ×v < 0,不妨设 u < 0, v > 0且v - u > 1,则所以，| f (u) - f (v) |£| f (u) - f (-1) | + | f (v) - f (1) |£| u +1| + | v -1|= 1+ u +1- v = 2 - (v - u) < 1. 综上可知，对任意的 u,v Î-1,1,都有| f (u) - f (v) |£ 1.证法二：由（）可得，当 xÎ 0,1时, f(x) £1- x, xÎ-1,0时,| f (x) |=| f (x) - f (-1) £1+ x =1- | x |.x Î-1,1时,| f (x) £ 1- | x | . 因此，对任意的 u,v Î-1,1 ,所以，当当| u - v |£ 1u ×v < 0时，| ( ) - ( ) |£| - |£ 1.当| - |>1时，有f u f v u v u v且1 <| u - v |=| u | + | v |£ 2.所以| ( ) - ( ) |£| ( ) | + | ( ) |£ 1- | | +1- | |= 2 - (| | + | ) £ 1.f u f v f u f vuvuvu,v Î-1,1 ,综上可知，对任意的都有| ( ) - ( ) |£ 1.f u f v（）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数 f (x) 满足条件，则由1| f (u) - f (v) |=| u - v |,u, v Î ,1 ,211111f (1) = 0,所以| f ( ) |= .| f ( ) - f (1) |=| -1|= .得又22222又因为 f (x) 为奇数，所以 f (0) = 0.由条件1| f (u) - f (v) |<| u - v |,u, v Î0, ,2111| f ( ) |=| f ( ) - f (0) |< .得 与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.222