数学思想方法与高考数学复习课件.ppt

数学思想方法与高考数学复习2021/8/8 星期日1一一.高考对数学思想方法的要求：高考对数学思想方法的要求：1.考试说明的要求考试说明的要求:2021/8/8 星期日2一一.高考对数学思想方法的要求：高考对数学思想方法的要求：1.考试说明的要求考试说明的要求:“数数数数学学学学科科科科的的的的命命命命题题题题，在在在在考考考考查查查查基基基基础础础础知知知知识识识识的的的的基基基基础础础础上上上上，注注注注重重重重对对对对数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法的的的的考考考考查查查查，注注注注重重重重对对对对数数数数学学学学能能能能力力力力的的的的考考考考查查查查”（考考考考试试试试说说说说明明明明（理理理理科科科科，2006200620062006年）年）年）年）2021/8/8 星期日3一一.高考对数学思想方法的要求：高考对数学思想方法的要求：1.考试说明的要求考试说明的要求:“数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法是是是是数数数数学学学学知知知知识识识识在在在在更更更更高高高高层层层层次次次次的的的的抽抽抽抽象象象象和和和和概概概概括括括括，它它它它蕴蕴蕴蕴涵涵涵涵在在在在数数数数学学学学知知知知识识识识的的的的发发发发生生生生、发发发发展展展展和和和和应应应应用用用用的的的的过过过过程程程程中中中中，因因因因此此此此，对对对对于于于于数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法的的的的考考考考查查查查要要要要与与与与数数数数学学学学知知知知识识识识的的的的考考考考查查查查结结结结合合合合进进进进行行行行，通通通通过过过过数数数数学学学学知知知知识识识识的的的的考考考考查查查查，反反反反映映映映考考考考生生生生对对对对数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法理理理理解解解解和和和和掌掌掌掌握握握握的的的的程程程程度度度度考考考考查查查查时时时时，要要要要从从从从学学学学科科科科整整整整体体体体意意意意识识识识和和和和思思思思想想想想含含含含义义义义上上上上立立立立意意意意，注注注注意意意意通通通通性性性性通通通通法法法法，淡淡淡淡化化化化特特特特殊殊殊殊技技技技巧巧巧巧，有有有有效效效效地地地地检检检检测测测测考考考考生生生生对对对对中中中中学学学学数数数数学学学学知知知知识识识识中中中中所所所所蕴蕴蕴蕴涵涵涵涵的的的的数数数数学学学学思思思思想想想想和和和和方方方方法法法法的的的的掌掌掌掌握握握握程程程程度度度度”（考试说明（理科，（考试说明（理科，（考试说明（理科，（考试说明（理科，2006200620062006年）年）年）年）2021/8/8 星期日4一一.高考对数学思想方法的要求：高考对数学思想方法的要求：2.高考评价报告要求高考评价报告要求:数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具工具工具工具”或者或者或者或者“方法方法方法方法”，更重要的是一种思维模式，表现为，更重要的是一种思维模式，表现为，更重要的是一种思维模式，表现为，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出数学思想。高考数学科提出数学思想。高考数学科提出数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题以能力立意命题以能力立意命题以能力立意命题”，正是为，正是为，正是为，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。面的考查。面的考查。面的考查。”(”(”(”(2006200620062006年普通高考数学科试题评价报告年普通高考数学科试题评价报告年普通高考数学科试题评价报告年普通高考数学科试题评价报告（教育部考试中心）（教育部考试中心）（教育部考试中心）（教育部考试中心）)2021/8/8 星期日5一一.高考对数学思想方法的要求：高考对数学思想方法的要求：3.考试中心对教学与复习的建议考试中心对教学与复习的建议:在考试中心对数学复习的建议中指出：在考试中心对数学复习的建议中指出：在考试中心对数学复习的建议中指出：在考试中心对数学复习的建议中指出：“数学思想方数学思想方数学思想方数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，中学数学思想和方法有数形结合思想，函数和方程思想，中学数学思想和方法有数形结合思想，函数和方程思想，中学数学思想和方法有数形结合思想，函数和方程思想，中学数学思想和方法有数形结合思想，函数和方程思想，分类讨论思想，化归和转化思想分类讨论思想，化归和转化思想分类讨论思想，化归和转化思想分类讨论思想，化归和转化思想”2021/8/8 星期日6 “数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查.同样同样同样同样,这些高考试题也成为检验数学知识这些高考试题也成为检验数学知识这些高考试题也成为检验数学知识这些高考试题也成为检验数学知识,同时又是检验数学同时又是检验数学同时又是检验数学同时又是检验数学思想方法的良好素材思想方法的良好素材思想方法的良好素材思想方法的良好素材,复习时可以有意识地加以运用复习时可以有意识地加以运用复习时可以有意识地加以运用复习时可以有意识地加以运用.”.”.”.”2021/8/8 星期日720052005年对数学思想的考查年对数学思想的考查函数和方函数和方程思想程思想数形结数形结合思想合思想分类讨分类讨论思想论思想化归思想化归思想理工类理工类2 2，3 3，5 5，7 7，8 8，1717，1919，22223 3，1010，1717，21213 3，1515，1919，2121，22226 6，1010，1212，1818，1919，2121，2222文史类文史类1 1，4 4，5 5，7 7，9 9，1818，1919，2121，2 2，6 6，7 7，1111，1818，22227 7，2020，2121，22228 8，1010，1212，1717，1818，22222021/8/8 星期日8二二.数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次:数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方法逻辑学中的方法逻辑学中的方法逻辑学中的方法(或思维方法或思维方法或思维方法或思维方法)数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、待配方法、换元法、待配方法、换元法、待配方法、换元法、待定系数法、判别式法、定系数法、判别式法、定系数法、判别式法、定系数法、判别式法、割补法等割补法等割补法等割补法等 分析法、综合法、归分析法、综合法、归分析法、综合法、归分析法、综合法、归纳法、反证法等纳法、反证法等纳法、反证法等纳法、反证法等函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等2021/8/8 星期日9三三.用数学思想指导解题用数学思想指导解题 2021/8/8 星期日10三三.用数学思想指导解题用数学思想指导解题 1.函函数数和和方方程程思思想想-用用变变量量和和函函数数来来思思考考 著著著著名名名名数数数数学学学学家家家家克克克克莱莱莱莱因因因因说说说说“一一一一般般般般受受受受教教教教育育育育者者者者在在在在数数数数学学学学课课课课上上上上应应应应该该该该学学学学会会会会的的的的重重重重要要要要事事事事情情情情是是是是用用用用变变变变量量量量和和和和函函函函数来思考数来思考数来思考数来思考”2021/8/8 星期日11三三.用数学思想指导解题用数学思想指导解题 1.函函数数和和方方程程思思想想-用用变变量量和和函函数数来来思思考考用函数思想指导解题包括下面几个内容用函数思想指导解题包括下面几个内容用函数思想指导解题包括下面几个内容用函数思想指导解题包括下面几个内容:A A A A 视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题 B B B B 用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题 C C C C 构造函数解题构造函数解题构造函数解题构造函数解题 D D D D 解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区2021/8/8 星期日12AA视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题 2021/8/8 星期日13AA视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题 例例例例1 1 1 1 甲甲甲甲、乙乙乙乙两两两两地地地地相相相相距距距距S S千千千千米米米米，汽汽汽汽车车车车从从从从甲甲甲甲地地地地匀匀匀匀速速速速行行行行驶驶驶驶到到到到乙乙乙乙地地地地，速速速速度度度度不不不不得得得得超超超超过过过过c c千千千千米米米米/小小小小时时时时，已已已已知知知知汽汽汽汽车车车车每每每每小小小小时时时时的的的的运运运运输输输输成成成成本本本本（以以以以元元元元为为为为单单单单位位位位）由由由由可可可可变变变变部部部部分分分分和和和和固固固固定定定定部部部部分分分分组组组组成成成成：可可可可变变变变部部部部分分分分与与与与速速速速度度度度v v（千千千千米米米米/小小小小时时时时）的的的的平平平平方方方方成成成成正正正正比比比比，且且且且比比比比例例例例系系系系数数数数为为为为b b，固固固固定部分为定部分为定部分为定部分为a a元元元元（1 1 1 1）把全程运输成本）把全程运输成本）把全程运输成本）把全程运输成本y y（元）表示为速度（元）表示为速度（元）表示为速度（元）表示为速度v v（千米（千米（千米（千米/小时）小时）小时）小时）的函数，并指出这个函数的定义域的函数，并指出这个函数的定义域的函数，并指出这个函数的定义域的函数，并指出这个函数的定义域（2 2 2 2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行 驶？驶？驶？驶？(1997 (1997 (1997 (1997年年年年,全国高考全国高考全国高考全国高考)2021/8/8 星期日14AA视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题视代数式为函数，用函数的性质解题 例例例例2 2 2 2 已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线 与与与与有公共点，求实数有公共点，求实数有公共点，求实数有公共点，求实数 a a a a 的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围2021/8/8 星期日15BB用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题 例例例例33设设设设a a0 0为常数，且为常数，且为常数，且为常数，且（）证明对任意）证明对任意）证明对任意）证明对任意，；（）假设对任意）假设对任意）假设对任意）假设对任意，有，有，有，有 a an n a an-1n-1，求，求，求，求a a0 0的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。（20032003年年年年,新课程卷）新课程卷）新课程卷）新课程卷）2021/8/8 星期日16BB用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题 例例例例44设设设设，其中其中其中其中a a为实数，为实数，为实数，为实数，n n是给定的自然数，且是给定的自然数，且是给定的自然数，且是给定的自然数，且，如果，如果，如果，如果f(x)f(x)在在在在(-,1(-,1上有意义，求上有意义，求上有意义，求上有意义，求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围(1990(1990年年年年,全国高考全国高考全国高考全国高考)2021/8/8 星期日17BB用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题 例例例例55定义在定义在定义在定义在-1,1-1,1上的奇函数上的奇函数上的奇函数上的奇函数 f(x)f(x)满足满足满足满足 f(f(1 1)=1=1，且当，且当，且当，且当a,ba,b-1,1-1,1，a+ba+b00时，有时，有时，有时，有0 0(I)(I)证明当证明当证明当证明当时，时，时，时，f(x)3x f(x)3x；(II)(II)若若若若 f(x)mf(x)m2 2+2 2am+am+1 1对所有对所有对所有对所有x x-1,1-1,1，a a-1,1-1,1上上上上恒成立，求恒成立，求恒成立，求恒成立，求mm的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围2021/8/8 星期日18BB用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题用极值原理解题 例例例例66对于在区间对于在区间对于在区间对于在区间 m,nm,n 上有意义的两个函数上有意义的两个函数上有意义的两个函数上有意义的两个函数f(x)f(x)和和和和g(x)g(x)，如果对任意的如果对任意的如果对任意的如果对任意的x x m,nm,n,均有均有均有均有|f(x)f(x)-g(x)|g(x)|1,1,则称则称则称则称f(x)f(x)与与与与g(x)g(x)在在在在 m,nm,n 上是接近的，否则称上是接近的，否则称上是接近的，否则称上是接近的，否则称f(x)f(x)与与与与g(x)g(x)在在在在 m,nm,n 上是非接近的上是非接近的上是非接近的上是非接近的现有两个函数现有两个函数现有两个函数现有两个函数f f1 1(x)=log(x)=loga a(x-3ax-3a)与与与与 ，给定区间给定区间给定区间给定区间 a a+2,+2,a a+3+3（I I）若）若）若）若f f1 1(x)(x)与与与与f f2 2(x)(x)在给定区间在给定区间在给定区间在给定区间 a a+2,+2,a a+3+3都有意义，求都有意义，求都有意义，求都有意义，求实数实数实数实数a a 的取值范围；的取值范围；的取值范围；的取值范围；(II)(II)讨论讨论讨论讨论 f f1 1(x)(x)与与与与 f f2 2(x)(x)在给定区间在给定区间在给定区间在给定区间 a a+2,+2,a a+3+3上是否是上是否是上是否是上是否是接近的接近的接近的接近的2021/8/8 星期日19CC构造函数解题构造函数解题构造函数解题构造函数解题 例例例例77设二次函数设二次函数设二次函数设二次函数 f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a(a0)0)方程方程方程方程 f(x)-xf(x)-x=0=0的的的的两个根两个根两个根两个根x x1 1 ,x x2 2满足满足满足满足0 0 x x1 1x x2 2(I)(I)当当当当x x(0,(0,x x1 1)时，证明时，证明时，证明时，证明x x f(x)f(x)x x1 1；(II)(II)设函数设函数设函数设函数f(x)f(x)的图像关于直线的图像关于直线的图像关于直线的图像关于直线x=xx=x0 0对称，对称，对称，对称，证明证明证明证明x x0 0 (1997 (1997 (1997 (1997年年年年,全国高考全国高考全国高考全国高考)2021/8/8 星期日20CC构造函数解题构造函数解题构造函数解题构造函数解题 例例例例88函数函数函数函数y=logy=loga ax x(a a0 0，aa0)0)具有性质，具有性质，具有性质，具有性质，请举出一个符合条件的函数请举出一个符合条件的函数请举出一个符合条件的函数请举出一个符合条件的函数g(x)g(x)满足满足满足满足，其定，其定，其定，其定义域义域义域义域D D满足满足满足满足2021/8/8 星期日21CC构造函数解题构造函数解题构造函数解题构造函数解题 例例例例99已知已知已知已知 i,m,n i,m,n 是正整数，且是正整数，且是正整数，且是正整数，且1 1i i mmn n(I)(I)证明证明证明证明 n ni iA Ai imm mmi iA Ai in n；(II)(II)(II)(II)证明证明证明证明(1+m1+m)n n(1+n1+n)mm （2001200120012001年年年年,全国高考）全国高考）全国高考）全国高考）2021/8/8 星期日22CC构造函数解题构造函数解题构造函数解题构造函数解题 例例例例1010若若若若a,b a,b R R，且，且，且，且a a3 3-3 3a a2 2+5 5a a=1=1，b b3 3-3 3b b2 2+5 5b b=5=5，求，求，求，求a+ba+b2021/8/8 星期日23D D解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区）定义域和值域）定义域和值域）定义域和值域）定义域和值域例例例例1111已知函数已知函数已知函数已知函数（1 1）定义域是）定义域是）定义域是）定义域是R R，求，求，求，求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.（2 2 2 2）值域是）值域是）值域是）值域是R R ，求，求，求，求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日24D D解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区）定义域和有意义）定义域和有意义）定义域和有意义）定义域和有意义例例例例1212已知函数已知函数已知函数已知函数.(1)(1)若此函数在若此函数在若此函数在若此函数在(-,1(-,1上有意义，求上有意义，求上有意义，求上有意义，求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.(2)(2)(2)(2)若此函数的定义域为若此函数的定义域为若此函数的定义域为若此函数的定义域为(-,1(-,1 ，求，求，求，求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日25D D解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区）值域和取值范围）值域和取值范围）值域和取值范围）值域和取值范围例例例例1313已知函数已知函数已知函数已知函数f(x)=f(x)=3 3x x2 2-(-(2 2m+m+6 6)x+m+)x+m+3.3.(1)(1)若若若若f(x)f(x)00恒成立，求恒成立，求恒成立，求恒成立，求mm的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.(2)(2)若若若若f(x)f(x)的值域为的值域为的值域为的值域为，求，求，求，求mm的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日26D D解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区）自身对称和互相对称）自身对称和互相对称）自身对称和互相对称）自身对称和互相对称例例例例1414设设设设 f(x)f(x)定义在实数集定义在实数集定义在实数集定义在实数集R R上上上上.（）若（）若（）若（）若f(1+x)=f(1+x)=f(1-x)f(1-x)，求，求，求，求f(x)f(x)图象的对称轴图象的对称轴图象的对称轴图象的对称轴.（）若（）若（）若（）若y y=f(1+x)f(1+x)与与与与y y=f(1-x)f(1-x)的图像关于直线的图像关于直线的图像关于直线的图像关于直线l l 对称，对称，对称，对称，求直线求直线求直线求直线l l 的方程的方程的方程的方程.2021/8/8 星期日27D D解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区解函数问题的几个误区 V)V)恒成立恒成立恒成立恒成立,能成立能成立能成立能成立,恰成立恰成立恰成立恰成立 例例例例15 15 15 15 求实数求实数求实数求实数a a a a的范围的范围的范围的范围:(1)(1)(1)(1)x x2 2-ax-a-ax-a 0 0 0 0恒成立恒成立恒成立恒成立.(2)(2)(2)(2)存在存在存在存在x,x,使使使使-x x2+2+ax+aax+a 0 0 0 0成立成立成立成立.(3)(3)(3)(3)设设设设a a 1,1,1,1,不等式不等式不等式不等式 的的的的解集为解集为解集为解集为(1,+(1,+(1,+(1,+).).2021/8/8 星期日282数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 数数数数与与与与形形形形是是是是事事事事物物物物的的的的两两两两个个个个方方方方面面面面，正正正正是是是是基基基基于于于于对对对对数数数数与与与与形形形形的的的的抽抽抽抽象象象象研研研研究究究究才才才才产产产产生生生生了了了了数数数数学学学学这这这这门门门门学学学学科科科科，才才才才能能能能使使使使人人人人们们们们能能能能够够够够从从从从不不不不同同同同侧侧侧侧面面面面认认认认识识识识事事事事物物物物，数数数数形形形形结结结结合合合合思思思思想想想想就就就就是是是是要要要要使使使使抽抽抽抽象象象象的的的的数数数数学学学学语语语语言言言言与与与与直直直直观观观观的的的的图图图图形形形形结结结结合合合合起起起起来来来来，使使使使抽抽抽抽象象象象思思思思维维维维与与与与形形形形象象象象思思思思维维维维结结结结合合合合起起起起来来来来，华华华华罗罗罗罗庚庚庚庚先先先先生生生生说说说说过过过过:“:“:“:“数数数数与与与与形形形形本本本本是是是是两两两两依依依依倚倚倚倚,焉焉焉焉能能能能分分分分作作作作两两两两边边边边飞飞飞飞.数数数数缺缺缺缺形形形形时时时时少少少少直直直直观观观观,形形形形少少少少数数数数时时时时难难难难入入入入微微微微.”.”.”.”.数数数数形形形形结结结结合合合合思思思思想想想想是是是是一一一一种种种种重重重重要要要要的的的的解解解解题题题题思思思思想想想想，用用用用这这这这种种种种思思思思想想想想指指指指导导导导，一一一一些些些些几几几几何何何何问问问问题题题题可可可可以以以以用用用用代代代代数数数数方方方方法法法法来来来来处处处处理理理理，例例例例如如如如解解解解析析析析几几几几何何何何，一一一一些些些些代代代代数数数数问问问问题题题题又又又又可可可可以以以以用用用用几几几几何何何何图图图图形形形形帮帮帮帮助助助助解解解解决决决决，下下下下面面面面主主主主要要要要讲讲讲讲如如如如何何何何用用用用图图图图形形形形帮帮帮帮助助助助解解解解题题题题，这这这这也也也也是是是是高高高高考考考考命题中主要考查的一个内容命题中主要考查的一个内容命题中主要考查的一个内容命题中主要考查的一个内容2021/8/8 星期日292数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 A A 利用图形求解的个数利用图形求解的个数利用图形求解的个数利用图形求解的个数例例例例1 1圆圆圆圆x x2 2+2 2x+yx+y2 2+4 4y-y-3=03=0到直线到直线到直线到直线x+y+1x+y+1=0=0的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于的点共有（）的点共有（）的点共有（）的点共有（）（）个（）个（）个（）个 （）个（）个（）个（）个 （）个（）个（）个（）个（）个（）个（）个（）个 （1991199119911991年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）用图形分析法求解的个数，实际上是转化用图形分析法求解的个数，实际上是转化用图形分析法求解的个数，实际上是转化用图形分析法求解的个数，实际上是转化为求图象交点的个数为求图象交点的个数为求图象交点的个数为求图象交点的个数 2021/8/8 星期日302数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题求最值问题实际上是探讨图形的极端位置求最值问题实际上是探讨图形的极端位置求最值问题实际上是探讨图形的极端位置求最值问题实际上是探讨图形的极端位置 B B B B 利用图形求最值利用图形求最值利用图形求最值利用图形求最值 例例例例22如果实数如果实数如果实数如果实数x,yx,y满足等式满足等式满足等式满足等式(x-(x-2 2)2 2+y+y2 2=3=3，那么，那么，那么，那么 的最大值的最大值的最大值的最大值是（）是（）是（）是（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（19901990年，全国高考年，全国高考年，全国高考年，全国高考)2021/8/8 星期日312数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 C C C C 利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围 例例例例3 3 橢圆橢圆橢圆橢圆的焦点为的焦点为的焦点为的焦点为F F1 1,F,F2 2 ,点点点点P P为其上的动点为其上的动点为其上的动点为其上的动点,当当当当F F1 1PFPF2 2为钝角时为钝角时为钝角时为钝角时,点点点点P P的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是_ (2002(2002(2002(2002年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷).).).).2021/8/8 星期日322数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 C C C C 利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围 例例例例4 4 4 4 已已已已知知知知两两两两条条条条直直直直线线线线l l1 1:y=x,ly=x,l2 2:ax-yax-y=0,=0,其其其其中中中中a a为为为为实实实实数数数数,当当当当这这这这两两两两条条条条直线的夹角在直线的夹角在直线的夹角在直线的夹角在内变动时内变动时内变动时内变动时,a a的变化范围是的变化范围是的变化范围是的变化范围是().().().().(A)(A)(A)(A)(0,1)(B)(C)(D)(0,1)(B)(C)(D)(0,1)(B)(C)(D)(0,1)(B)(C)(D)(2000 (2000 (2000 (2000年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷)2021/8/8 星期日332数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 C C C C 利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围利用图形求参数的范围 求参数的范围实质上是弄清参数的几何意义，求参数的范围实质上是弄清参数的几何意义，求参数的范围实质上是弄清参数的几何意义，求参数的范围实质上是弄清参数的几何意义，然后讨论参数所代表的几何意义的变化状态然后讨论参数所代表的几何意义的变化状态然后讨论参数所代表的几何意义的变化状态然后讨论参数所代表的几何意义的变化状态 例例例例55设函数设函数设函数设函数f(xf(x )=若若若若f(xf(x0 0)11，则，则，则，则x x0 0的取值范围是（的取值范围是（的取值范围是（的取值范围是（）。）。）。）。(A)(-1,1)(A)(-1,1)(B)(-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-2)(C)(-,-2)(1,+)(1,+)(D)(-,-1)(D)(-,-1)(1,+)(1,+)(2003(2003年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷年，新课程卷)2021/8/8 星期日342数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 D D D D 利用图形解不等式利用图形解不等式利用图形解不等式利用图形解不等式 例例例例66设函数设函数设函数设函数,其中其中其中其中a a0,0,解不等式解不等式解不等式解不等式f(x)f(x)11；求求求求a a的取值范围，使的取值范围，使的取值范围，使的取值范围，使f(x)f(x)在在在在(0,+)(0,+)上单调上单调上单调上单调（20002000年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）2021/8/8 星期日352数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 D D D D 利用图形解不等式利用图形解不等式利用图形解不等式利用图形解不等式 用图形解不等式实际上是研究图象中符合条用图形解不等式实际上是研究图象中符合条用图形解不等式实际上是研究图象中符合条用图形解不等式实际上是研究图象中符合条件的变量的变化范围件的变量的变化范围件的变量的变化范围件的变量的变化范围 例例例例77已知已知已知已知 i,m,n i,m,n 是正整数，且是正整数，且是正整数，且是正整数，且1 1i i mmn n(II)(II)(II)(II)证明证明证明证明(1+m1+m)n n(1+n1+n)mm （2001200120012001年年年年,全国高考）全国高考）全国高考）全国高考）2021/8/8 星期日362数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 E E E E 利用图形求值利用图形求值利用图形求值利用图形求值 例例例例8 8 求求求求的值的值的值的值（19921992年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）年，全国高考）2021/8/8 星期日372数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 E E E E 利用图形求值利用图形求值利用图形求值利用图形求值 用图形分析法求值实际上是构造几何图形解题用图形分析法求值实际上是构造几何图形解题用图形分析法求值实际上是构造几何图形解题用图形分析法求值实际上是构造几何图形解题 例例例例9 9 过过过过原原原原点点点点的的的的直直直直线线线线与与与与圆圆圆圆x x2 2+y+y2 2+4+4x x+3=0+3=0相相相相切切切切,若若若若切切切切点在第三象限点在第三象限点在第三象限点在第三象限,则该直线的方程是则该直线的方程是则该直线的方程是则该直线的方程是().().(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)(2000(2000年年年年,新课程卷新课程卷新课程卷新课程卷)2021/8/8 星期日383分类讨论思想分类讨论思想-分情况解决问题分情况解决问题例例例例1 1 设设设设a a为常数为常数为常数为常数,函数函数函数函数f(x)=f(x)=x x2 2+|+|x-ax-a|+1,|+1,x x R R.(I)(I)讨论讨论讨论讨论f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性的奇偶性的奇偶性;(II)(II)求求求求f(x)f(x)的最小值的最小值的最小值的最小值.(2002(2002年，全国高考年，全国高考年，全国高考年，全国高考)2021/8/8 星期日393分类讨论思想分类讨论思想-分情况解决问题分情况解决问题例例例例2 2 设设设设a a0,0,求函数求函数求函数求函数的单调区间。的单调区间。的单调区间。的单调区间。(2003(2003年年年年,新课程卷，理工新课程卷，理工新课程卷，理工新课程卷，理工)2021/8/8 星期日403分类讨论思想分类讨论思想-分情况解决问题分情况解决问题例例例例33某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 6个部分个部分个部分个部分（如图），现要栽种（如图），现要栽种（如图），现要栽种（如图），现要栽种4 4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相种不同颜色的花，每部分栽种一种且相种不同颜色的花，每部分栽种一种且相种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有_ 种种种种（以数字作答）（以数字作答）（以数字作答）（以数字作答）（20032003年年年年,新课程卷）新课程卷）新课程卷）新课程卷）2021/8/8 星期日413分类讨论思想分类讨论思想-分情况解决问题分情况解决问题例例例例44设设设设y=f(x)y=f(x)是定义在区间是定义在区间是定义在区间是定义在区间-1,1-1,1上的函数，且满足条件：上的函数，且满足条件：上的函数，且满足条件：上的函数，且满足条件：f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)=0=0；对任意的对任意的对任意的对任意的u,vu,v-1,1-1,1，都有，都有，都有，都有|f(u)-f(v)f(u)-f(v)|u-vu-v|；（）证明：对任意的）证明：对任意